I NUMERI INTERI Il secondo insieme che prenderemo

  • Slides: 8
Download presentation
I NUMERI INTERI Il secondo insieme che prenderemo in esame è quello dei numeri

I NUMERI INTERI Il secondo insieme che prenderemo in esame è quello dei numeri interi. Esso si indica con la lettera Z (dal tedesco Zahl = numero) e i suoi elementi sono i numeri naturali, più i numeri negativi (interi): Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1 , 2 , 3 , 4. . . } Possiamo pensare a Z come ottenuto da N "aggiungendo" ad esso una "nuova copia" dei numeri 1, 2, 3, . . . che però si distingue da quella precedente per quel segno "-" posto in fronte ad essi; possiamo pensarli come numeri "rossi" se ci immaginiamo un conto in banca: infatti il primo uso dei numeri negativi è quello di rappresentare dei debiti (già in papiri egizi si trovano numeri che hanno questo significato).

Come si definiscono le operazioni in Z ?

Come si definiscono le operazioni in Z ?

La somma Dobbiamo definire come sommare due elementi a, b є Z: se a,

La somma Dobbiamo definire come sommare due elementi a, b є Z: se a, b є N non ci sono problemi, eseguiamo la somma come facciamo in N; altrimenti procediamo così: - se a > 0 e b < 0 con |a|> |b| : a+b = a - |b|; - se a > 0 e b < 0 con |a|< |b| : a+b = - (|b| - a) ; - se a > 0 e b < 0 con |a|= |b| : a+b = 0 ; - se a = 0: 0+b = b + 0 = b; - se a < 0 e b < 0 : a+b = - (|a|+ |b| ). L'idea intuitiva, pensando a quantità di denaro, è che sommare un numero negativo significa "acquisire un debito" e quindi equivale a sottrarre il corrispondente numero positivo.

 In Z la somma ha una nuova proprietà : esistenza dell‘elemento inverso: per

In Z la somma ha una nuova proprietà : esistenza dell‘elemento inverso: per ogni a є Z , esiste un numero a' є Z , tale che a+a' = 0. Infatti se a >0, basta prendere a' = -a , mentre se a < 0, a' = |a| (se invece a = 0, anche a' = 0). Poiché questa notazione è immediata per i numeri positivi, indicheremo l'inverso di un numero a є Z , con -a , ad esempio: -(-4)= 4.

Il Prodotto Il prodotto di due numeri interi relativi si calcola moltiplicando i valori

Il Prodotto Il prodotto di due numeri interi relativi si calcola moltiplicando i valori assoluti dei numeri e associando il segno + al prodotto se i due fattori sono concordi (positivi o negativi) o il segno – se i due fattori sono discordi. Semplicemente possiamo riassumere: Più per più fa più, più per meno fa meno, meno per meno fa più.

La Sottrazione Questa è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un

La Sottrazione Questa è l'operazione per la quale abbiamo un cambiamento sostanziale: in un certo senso si può dire che abbiamo introdotto i numeri negativi proprio per rendere la sottrazione sempre possibile. Vediamolo, ricordiamo che si tratta dell'operazione inversa della somma: Definizione: Dati due numeri interi a, b є Z , si dice a - b quel numero intero x, che sommato a b dia a. Cioè : a - b = x se e solo se a = b + x. Questa operazione è ora definita su tutto Z poiché in Z esiste l‘elemento inverso rispetto alla somma: se denotiamo con b' l'inverso di b, avremo: a - b = a + b‘ Quindi, in Z , "sottrarre è uguale a sommare l'opposto"; ad esempio: 4 - (-5) = 4 + 5 = 9 ; -3 - 7 = -3 + (-7) = -10 ; -2 - (-2) = -2 + 2 = 0.

Il segno " - " E' importante notare che il segno "-" , per

Il segno " - " E' importante notare che il segno "-" , per come lo abbiamo usato in Z , assume ben tre significati diversi! - Usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come -5 , -4, -3. . . In questa accezione il segno "-" non è usato per indicare un' operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per caratterizzare i nuovi numeri , - "-" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, - il segno meno si usa per indicare "l'opposto di " : - (-7) = " l'opposto di -7 " = 7 ; (In quel "- (-7)" , il primo ed il secondo simbolo "meno" hanno due significati diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre il secondo è quello che abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi. )

La Divisione Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo

La Divisione Per questa operazione, le cose non cambiano molto: come non la potevamo eseguire sempre in N, così non possiamo in Z. Notiamo soltanto che, quando si può effettuare la divisione, essa si esegue con regole fra i segni analoghe a quelle del prodotto. Ad esempio: 12 : (-3) = -(12 : 3) = -4 ; (-15) : 5 = - (15 : 5) = -3 ; (-28) : (-7) = 28 : 7 = 4.