I monomi ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I

I monomi ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE I monomi A cura della Prof. ssa Monica Secco e del Prof. Roberto Orsaria

Obiettivi: • Prendere confidenza con le operazioni con le lettere • Iniziare a ragionare assegnando dei valori numerici alle lettere • Utilizzare lo strumento informatico in modo pluridisciplinare per imparare le lingue straniere • Capire come si risolvono gli esercizi • Rendere la materia meno impossibile per gli allievi stranieri A cura della Prof. ssa Monica Secco e del Prof. Roberto Orsaria

Cosa sono i monomi? I monomi sono i più piccoli “mattoni” con cui vengono costruite le espressioni del calcolo letterale. 3 a 2 + 2 ab - 5 b 3 + -6 c Un’espressione letterale è formata da una catena di più monomi legati tra di loro dai segni di operazione +; -; ·; :

Come si può definire un monomio? Un monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo moltiplicazioni e divisioni tra numeri e lettere.

Ad esempio sono monomi le seguenti espressioni: +3 ab -5 xy 2/z -¾a 3 bc 2 ¼x 2 y x -12 a 4

Sono monomi anche le espressioni formate da una sola lettera: a y x

oppure le espressioni formate da un solo numero: +5 ¼ -3

Quando un monomio si dice intero? Un monomio si dice intero se non compaiono lettere al denominatore Ad esempio sono interi i monomi seguenti: 3 a 5 b 3 ¼x -2 x 3 y

Quando un monomio si dice fratto? Un monomio si dice fratto se compaiono lettere al denominatore Ad esempio sono fratti i monomi seguenti: 2 x/y 3 ab/c 1/x

In un monomio si distinguono: • una parte numerica, detta coefficiente • una parte letterale Ad esempio nel monomio ¾a 3 b 5 ¾ si distinguono: il coefficiente ¾ e la parte letterale a 3 b 5

Come si calcola il grado di un monomio? Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. 3 x 2 y 3 grado: 2+3=5 23 a 2 b 4 c grado: 2+4+1=7 -5 xy grado: 1+1=2

Quale è il grado di un monomio formato da un solo numero? Il grado di un monomio privo di parte letterale è zero: infatti ricordati che, qualsiasi sia a (diverso da zero) a 0=0 Hanno grado zero i seguenti monomi: -4 +5 +½

Quale è il grado di un monomio rispetto ad una lettera? Il grado di un monomio rispetto ad una lettera è l’esponente di quella lettera. Ad esempio: 3 x 3 y 5 z grado rispetto a x=3 grado rispetto a z=1 grado rispetto a y=5

Quando due monomi sono uguali? Due monomi sono uguali se hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale. Ad esempio sono uguali i due monomi: +3 xy 2 z +3 zxy 2

Quando due monomi sono simili? Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale. Ad esempio sono simili i monomi: 4 a 2 b -7 a 2 b +¼a 2 b

Quando due monomi sono opposti? Due monomi sono opposti se hanno la stessa parte letterale e coefficienti opposti. Ad esempio sono opposti i monomi: +5 xy -5 xy

Come si opera con i monomi? Con i monomi si possono effettuare operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza come con i numeri, basta osservare alcune regole.

Come si sommano due monomi? Per quanto riguarda la somma di monomi bisogna tener presente che: si possono sommare due monomi solo se essi sono simili: si ottiene in tal caso un monomio simile ai precedenti monomi e avente come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Ad esempio: I due monomi +5 a 3 b 2 e -2 a 3 b 2 sono simili e quindi possono essere sommati ed il monomio somma è: (+5 a 3 b 2) + (-2 a 3 b 2 ) = (+5 -2) a 3 b 2 =+3 a 3 b 2 +5 a 3 b 2 + -2 a 3 b 2 = +3 a 3 b 2

E’ importante invece ricordarsi che: due monomi non simili non possono essere sommati. Ad esempio i due monomi +6 xy e +3 x 2 y non possono essere sommati

Come si moltiplicano due monomi? Per moltiplicare due monomi bisogna moltiplicare tra loro i coefficienti e le parti letterali, applicando le proprietà delle potenze (cioè sommando gli esponenti) +3 x 2 y · -2 x 3 y 2 = -6 x 5 y 3

Come si divide un monomio per un altro? Per dividere un monomio per un altro basta dividere tra loro i coefficienti numerici e tra loro le parti letterali, applicando le proprietà delle potenze (cioè sottraendo gli esponenti) +12 a 3 b 5 : +3 ab 2 = +4 a 2 b 3

Come si calcola la potenza di un monomio? Per elevare a potenza un monomio bisogna elevare all’esponente dato il coefficiente e ogni lettera che compare nella parte letterale applicando le proprietà delle potenze (cioè moltiplicando gli esponenti) +4 a 3 b 5 2 = +42 a 3· 2 b 5· 2 = +16 a 6 b 10

Esempi: (-2 x 2 y 3)3=(-2)3 x 2· 3 y 3· 3=-8 x 6 y 9 (-½bc 4)2=(-½)2 b 2 c 4· 2=+¼b 2 c 8 (+3 x-1 y 2)2= (+3)2 x-1· 2 y 2· 2=+9 x-2 y 4

DRŽAVNI INSTITUT ZA EKONOMIJU, TRGOVINU, TURIZAM I HOTELIJERSTVO “B. STRINGHER”- UDINE

I monomi Šta su monomi? Monomi predstavljaju najmanje čestice pomocu kojih se konstruišu izrazi izraženi slovima. 3 a 2 + 2 ab - 5 b 3 + -6 c Jedan izraz izražen je sastavljen od niza monoma povezanih medjusobno znacima sledećih operacija +; -; ·; :

Kako se može definisati jedan monom? Monom je izraz izražen slovima na kome se mogu primenjivati samo operacije množenja i deljenja izmedju brojeva i slova.

Na primer, monomima se mogu nazvati sledeći izrazi: +3 ab -5 xy 2/z -¾a 3 bc 2 ¼x 2 y x -12 a 4

Monomi takođe i izrzi sačinjeni od jednog jedinog slova: a y x

Ili izrazi sačinjeni od jednog jedinog broja: +5 ¼ -3

Kada se za jedan monom kaže da je ceo? Za monomse kaže da je ceo kada se deliocu ne dodaju slova. Na primer, celim monoma se mogu nazvati sledeći izrazi: 3 a 5 b 3 ¼x -2 x 3 y

Kada se za jedan momonm kaže da je razlomak? Za monom se kaže da je razlomak kada se u njegovom deliocu nalazi slovo. Na primer, razlomci su sledeći monomi: 2 x/y 3 ab/c 1/x

U jednom monomu možemo razlikovati sledeće: • Numerički deo, nazvan koeficijenat • Deo koji sadrži slova Na primer u jednom monomu ¾a 3 b 5 razlikujemo: ¾ koeficijenat ¾ i deo sa slovima a 3 b 5

Kako se izračunava stepen jednog monoma? Stepen monoma je zbir eksponenata svih njegovih slova. 3 x 2 y 3 stepen: 2+3=5 23 a 2 b 4 c stepen: 2+4+1=7 -5 xy stepen: 1+1=2

Koji stepen ima monom sačinjen od samo jednog broja? Stepen monoma lišenog dela sa slovima je nula: što znači da, treba zapamtiti da bilo koje a (različito od nule) a 0=0 Stepen nula imaju sledeći monomi: -4 +5 +½

Kakav je stepen jednog mnoma u odnosu na jedno slovo? Stepen jednog mnoma u odnosu na jedno slovo je eksponent tog slova. Na primer: 3 x 3 y 5 z stepen u odnosu na a x=3 stepen u odnosu na y=5 stepen u odnosu na z=1

Kada su dva monoma isti? Dva monoma su isti ako imaju isti koeficijenat i isti slovni deo. Na primer, sledeća dva monoma su isti: +3 xy 2 z +3 zxy 2

Kada su dva monoma slični? Dva monoma su slični ako imaju isti slovni deo. Na primer, sledeća dva monoma su slični: 4 a 2 b -7 a 2 b +¼a 2 b

Kada su dva monoma različiti? Dva monoma su različiti ako imaju isti slovni deo i različite koeficijente. Na primer, sledeća dva monoma su različiti: +5 xy -5 xy

Koje se operacije primenjuju na monomima? Nad monomima se mogu primeniti operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i stepenovanja, dovoljno je samo zapaziti nekoliko pravila:

Kako se sabiraju dva monoma? Kada je u pitanju sabiranje monoma treba imati u vidu da: se dva monoma mogu sabrati smo ako su slični: u tom slučaju dobija se monom sličan predhodnima i koeficijent mu je zbir svih ostalih koficijenata.

Na primer: Dva monoma +5 a 3 b 2 i -2 a 3 b 2 su slični, što znači da se mogu sabrati i njihov zbir je: (+5 a 3 b 2) + (-2 a 3 b 2 ) = (+5 -2) a 3 b 2 =+3 a 3 b 2 +5 a 3 b 2 + -2 a 3 b 2 = +3 a 3 b 2

Takođe je važno zapamtiti da: čak i dva monoma koji nisu slični ne mogu biti sabrati: Na primer, dva monoma +6 xy e +3 x 2 y se ne mogu sabrati.

Kako se množe dva monoma? Da bismo pomnožili dva monoma neophodno je medjusobno pomnožiti njihove koeficijente i slovni deo primenjujući stepenovanje (tj. sabirajući njihove stepenove). +3 x 2 y · -2 x 3 y 2 = -6 x 5 y 3

Kako se dele dva monoma? Da bi podelili dva monoma dovoljno je podeliti njihove koeficijente i njihov slovni deo, primenjujući stepenovanje (tj. oduzeti njihove eksponente). +12 a 3 b 5 : +3 ab 2 = +4 a 2 b 3

Kako se izračunava stepen jednog monoma? Da bismo stepenovali monom potrebno je podignuti koeficijent i svako slovo koje se nalazi u slovnom delu na dati eksponent primenjujući stepenovanje (tj. izmnožiti eksponente). +4 a 3 b 5 2 = +42 a 3· 2 b 5· 2 = +16 a 6 b 10

Primeri: (-2 x 2 y 3)3=(-2)3 x 2· 3 y 3· 3=-8 x 6 y 9 (-½bc 4)2=(-½)2 b 2 c 4· 2=+¼b 2 c 8 (+3 x-1 y 2)2= (+3)2 x-1· 2 y 2· 2=+9 x-2 y 4

I MONOMIOS ISTITUT PROFESIONAL DI STAT PAR I SERVIZIOS COMERCIAI TURISTICS ALBELGHIERS E DALE RISTORAZION “B. STRINGHER”-UDIN

CE SONO I MONOMIOS? I monomios son i plui piciui “modons” cui quai vegni costruidis lis espresions dal calcul leteral. - 5 b 3 + -6 c 3 a 2 + 2 ab Un’ espresion leteral a iè formade di une cjadene di plui monomios peas tra di lor dai simbui di operazion +; -; ·; :

CEMUT SI PODIE DEFINI UN MONOMIO? Un monomio al è une espresion letteral tal qual a vegnin fur dome moltiplicazions e divisions tra numars e letaris.

Ad esempli son monomios lis seguentis espresions: +3 ab -5 xy 2/z -¾a 3 bc 2 ¼x 2 y x -12 a 4

Son monomios ancje lis espresions formadis dome di une letare: a y x

Opur lis espresions formadis di un sol numar: +5 ¼ -3

Quant un monomio si dis inter? un monomi si dis inter se no vegnin fur letaris al denominator Par esempli sono inters i monomios che vegnin: 3 a 5 b 3 ¼x -2 x 3 y

Quant un monomio si dis frat? Un monomio si dis frat se vegnin fur letaris al denominator Par esempli son frats i monomios che vegnin: 2 x/y 3 ab/c 1/x

In tun monomio si distinguin: • une part numeriche, dite coefficent • une part letteral • Par esempli in tal monomio ¾a 3 b 5 si distinguin: ¾ il coefficent ¾ e le part letteral a 3 b 5

Cemut si calcolie il grat di un monomio? Il grat di un monomio a ie le some dai esponents di dutis lis sos letaris. 3 x 2 y 3 grat: 2+3=5 23 a 2 b 4 c grat: 2+4+1=7 -5 xy grat: 1+1=2

Qual esal il grat di un monomio format di un sol numar? Il grat di un monomio prif di part letteral al è zero: infati riquarditi che, qualsiasi sedi (diferent da zero) a 0=1 An dan grat zero i seguents monomios: -4 +5 +½

Qual esal il grat di un monomio rispiet ad une letare? Il grat di un monomio rispiet ad une letare al è l’esponent di che letare. Par esempli: 3 x 3 y 5 z grat rispiet a x=3 grat rispiet a z=1 grat rispiet a y=5

Quant doi monomios a son compains? Doi monomios a son compains se an dan el stes coefficient e le stese part letteral. Par esempli a son compains i doi monomios: +3 xy 2 z +3 zxy 2

Quant doi monomios a si samein? Doi monomios a si samein se an dan le stese part letteral. Par esempli si samein i monomios: 4 a 2 b -7 a 2 b +¼a 2 b

Quant doi monomios son opostcj? Doi monomios a son opostcj se an dan le stese part letteral e i coefficens opostcj. Par esempli son opostcj i monomios: +5 xy -5 xy

Comut si operie cun i monomios? Cui monomios si puedin efetuà operazions di adizion, sotrazion, moltiplicazion, division ed elevament a la potenz come cui numars, baste oservà qualchi regule.

Cemut si somino doi monomios? Par chel cal riguarde le some dai monomios bisugne tignì prisint che: si puedin sommà doi monomios dome se a si samein: si oten in chistu cas un monomio simil ai precedenz monomios e al ha come coefficient le some algebriche dai coeficenz.

Par esempli: I doi monomios +5 a 3 b 2 e -2 a 3 b 2 si samein e quindi podin esi somas e il monomio somat al è: (+5 a 3 b 2) + (-2 a 3 b 2 ) = (+5 -2) a 3 b 2 =+3 a 3 b 2 +5 a 3 b 2 + -2 a 3 b 2 = +3 a 3 b 2

Al è important invecit riquardasi che: doi monomios ca no si samein no podin esi somas. Par esempli i doi monomios +6 xy e +3 x 2 y no podin esi somas

Cemut si moltiplichino doi monomios? Par moltiplicà doi monomios bisugne moltiplicà tra di lor i coefficienz e lis parts letteralis, aplicant le proprietat dale potenze (cioè somant i esponents) +3 x 2 y · -2 x 3 y 2 = -6 x 5 y 3

Cemut si divide un monomio par un atri? Par dividi un monomio par un atri a baste dividi tra lor i coefficients numerics e tra di lor le part letteral, aplicant le proprietat dale potenze (cioè sottrainto i esponents) +12 a 3 b 5 : +3 ab 2 = +4 a 2 b 3

Cemut si calcolie le potenze di un monomio? Par elevà a potenza un monomio bisugne elevà all’esponent dat il coefficient e ogni lettare che a par tale part letteral applicant le proprietat dale potenze (cioè moltiplicant i esponents) +4 a 3 b 5 2 = +42 a 3· 2 b 5· 2 = +16 a 6 b 10

Esempli: (-2 x 2 y 3)3=(-2)3 x 2· 3 y 3· 3=-8 x 6 y 9 (-½bc 4)2=(-½)2 b 2 c 4· 2=+¼b 2 c 8 (+3 x-1 y 2)2= (+3)2 x-1· 2 y 2· 2=+9 x-2 y 4

THE MONOMIALS VOCATIONAL SHETE HIGH SCHOOL FOR BUSINESS, CATERING, HOTEL AND TOURISM SERVICES “B. STRINGHER” THE MONOMIALS Research made by Roberto Orsaria and Monica Secco

What are the monomials? The monomials are the smallest “bricks” with which the expression of literal calculation are built. 3 a² + 2 ab - 5 b 3 + -6 c A literal expression is formed by a chain of monomials bound between them by the operation signs: +; -; ·; : .

How can it be defined? A monomial is a literal expression in which only multiplications and divisions between numbers and letters appear.

The following expressions are example of monomials: +3 ab -5 xy 2/z -¾a 3 bc 2 ¼x 2 y x -12 a 4

The monomials are expressions formed by letters only: a y x

or the expression formed by a single number: +5 ¼ -3

When can a monomial be defined as entire? A monomial is defined entire when the denominator does not contain letters. As an example the following monomials are entire: ¼x 3 a 5 b 3 -2 x 3 y

When can a monomial be defined as fractional? A monomial is defined fractional when the denominator contains letters As an example the following monomials are fractional: 2 x/y 3 ab/c 1/x

In a monomial you can find: • A part made of numbers, which is said coefficient • A part made of letters As an example in the monomial: ¾a 3 b 5 You can distinguish: ¾ the coefficent ¾ a 3 b 5 and the part made of letters a 3 b 5

How is the degree of a monomial estimated? The degree of a monomial is the sum of the exponents of all its letters. 3 x 2 y 3 degree: 2+3=5 23 a 2 b 4 c degree: 2+4+1=7 -5 xy degree: 1+1=2

Which is the degree of a monomial formed from a single number? The degree of a monomial lacking the part made of letters is nought: in fact remembers that, any monomial with “a” (different from nought). a 0=0 The following monomials have nought degree: -4 +5 +½

Which is the degree of a monomial with reference to one letter? The degree of a monomial with refernce to a letter is the exponent of that letter. As an example: 3 x 3 y 5 z Degree with references to x=3 Degree with references to z=1 Degree with reference to y=5

When are two monomials equal? Two monomials are equal if they have the same coefficient and the same part made by letters. As an example the two monomials are equal: +3 xy 2 z +3 zxy 2

When are two monomials similar? Two monomials are similar if they have the same part made by letters. As an example the monomials are similar: 4 a 2 b -7 a 2 b +¼a 2 b

When are two monomials opposite? Two monomials are opposite if they have the same part made by letters and opposite coefficients. As an example the monomials are opposite : +5 xy -5 xy

How can we work with the monomials? Operations addition removal, multiplication, division and raising to power just of can be carried out with the monomials, like with the numbers, but it is in porheur.

How can be two monomials added? As far as the sum of monomials you must keep in mind that: two monomials can be added only if they are similar: a monomial similar to the previous monomials in such case you will obtain and having as coefficient the algebrica sum of the coefficients.

An example: The two monomials +5 a 3 b 2 and -2 a 3 b 2 are similar and therefore they can be added and the monomial sum is : (+5 a 3 b 2) + (-2 a 3 b 2 ) = (+5 -2) a 3 b 2 =+3 a 3 b 2 +5 a 3 b 2 + -2 a 3 b 2 = +3 a 3 b 2

It is important to remember that: Two monomials which are not similar cannot be added. as an example the two monomials +6 xy e +3 x 2 y cannot be added.

How are multiply two monomials? In order to multiply two monomials the literal coefficients and parts in letters must be multiplied between them, applying the property of the powers (that is adding the exponents). +3 x 2 y · -2 x 3 y 2 = -6 x 5 y 3

How can you divide a monomial for an other? In order to divide a monomial by another the numerical coefficients and the parts made of letters, must be divided between them applying the property of the powers (that is subtracting the exponents) +12 a 3 b 5 : +3 ab 2 = +4 a 2 b 3

How is the power of a monomial estimated? In order to elevate to power a monomial the coefficient and every letter must be elevated to the given exponent applying in the monomial the property of the powers (multiplying the exponents) +4 a 3 b 5 2 2 a 3· 2 b 5· 2 +4 = = +16 a 6 b 10

Examples: (-2 x 2 y 3)3=(-2)3 x 2· 3 y 3· 3=-8 x 6 y 9 (-½bc 4)2=(-½)2 b 2 c 4· 2=+¼b 2 c 8 (+3 x-1 y 2)2= (+3)2 x-1· 2 y 2· 2=+9 x-2 y 4

Ringraziamenti • Si ringraziano Bassi Gabriele per le applicazioni informatiche, Sant Silvia per la traduzione in friulano, Milosavljevic Suzana per la traduzione in serbo