I libri di matematica per la scuola la

I libri di matematica per la scuola: la proposta culturale di Peano e dei suoi allievi Erika Luciano Roma, 16 Marzo 2009

Obiettivo Ø contesto istituzionale e scientifico sulle “questioni didattiche e metodologiche” Ø esame delle proposte di Peano e della sua Scuola Ø dibattiti Ø ricezione ed eredità culturale G. Ascoli, I motivi fondamentali dell’opera di Giuseppe Peano, 1955, pp. 23, 28 -29 tutta la sua attività appare illuminata da un’unica forma mentale, guidata da pochi e semplici fili conduttori. […] Sin dall’inizio della sua carriera scientifica, il Peano si annunzia didatta, e in tale veste egli apparirà poi costantemente: maestro di maestri, forse più che di scienziati o di professionisti, egli volle essere per tutta la sua vita. […] La sua critica, derivata dagli studi sopra i fondamenti della matematica, è per ciò stesso profonda e spietata; e se si può sorridere oggi di certe opinioni estreme, di certe innocue insistenze, resta il fatto che […] il valore di quella critica fu incalcolabile, e il rogo cui dannò tante opere che infestavano le nostre scuole fu salutare. Fautori e avversari, tutti ne hanno sentito gli effetti; e la scuola italiana, superate le esagerazioni di qualche fanatico, ne ha avuto un miglioramento decisivo.

Giuseppe Peano 1858 -1932 27 agosto 1858 nasce a Spinetta (Cuneo) 1876 -1880 studi liceali (L. Cavour) e universitari a Torino; allievo del R. Collegio Carlo Alberto per gli studenti delle Provincie 1880 laurea in matematica. Tesi: Sul connesso di secondo ordine e di seconda classe Docenti universitari suoi professori Angelo Genocchi Analisi inf. Francesco Faà di Bruno Analisi sup. Enrico D’Ovidio Geometria sup. Francesco Siacci Meccanica sup. Giuseppe Basso Fisica matematica

1880 -1900 1880 -90 assistente di E. D'Ovidio e di A. Genocchi 1884 libera docenza di Calcolo infinitesimale 1886 -1901 docente all’Accademia Militare di Torino 1889 Arithmetices Principia nova methodo exposita e I Principii della Geometria logicamente esposti 1890 -91 prof. Straordinario 1895 -1908 Formulario Mathematico 1900 congresso internazionale di Filosofia e dei Matematici a Parigi

1900 -1920 1903 -04 pubblica i primi articoli in latino sine flexione, la lingua internazionale di sua invenzione 1910 scontro con i colleghi sui metodi di insegnamento dell’Analisi 1915 istituisce con T. Boggio e M. Bottasso le Conferenze Matematiche Torinesi 1917 patrocina l’edizione delle Tavole numeriche a basso costo (Utet) 1925 -32 docente complementari di Matematiche di 1926 inizia a collaborare alla rivista Schola et Vita, che dirige con N. Mastropaolo 20 aprile 1932 muore a Torino

G. Casati Il contesto istituzionale 1859 legge G. Casati 1875 regolamento R. Bonghi (Scuole di Magistero) 1895 -96 fondazione della Mathesis (Rodolfo Bettazzi, Aurelio Lugli, Francesco Giudice) 1898 primo congresso della Mathesis, a Torino (Conversazione sul Formulario) 1902 riforma dell’insegnamento in Francia (E. Borel) 1904 opzione tra lo studio del greco e della matematica 1905 Commissione Reale per l’Insegnamento della Matematica 1908 fondazione dell’ICMI 1912 nuovi programmi di Matematica (G. Castelnuovo) 1923 riforma Gentile G. Vailati G. Castelnuovo G. Gentile

Il contesto scientifico problematiche fondazionali; nascita della teoria degli insiemi e della logica matematica Ricadute sull’insegnamento § disponibilità dei migliori matematici ad occuparsi di questioni metodologiche (F. Klein, H. Poincaré, E. Borel, F. Enriques, G. Castelnuovo, G. Scorza, C. Segre, G. Vitali, . . . ) § nuovi periodici dedicati all’insegnamento: L’Enseignement mathématique (1899), il Periodico di Matematiche (1895), il Bollettino di Matematica (1900) § Elementi di Euclide di Betti e Brioschi (1868) § pensiero funzionale § matematica di precisione e matematica di approssimazione § dibattito su rigore ed intuizione

Attività di Peano per gli insegnanti Ø docenza di Analisi e di Matematiche complementari Ø corsi per i neo-dottori (1925 -32) in preparazione dei concorsi ordinari Ø Conferenze Matematiche Torinesi (1915 -1925) Ø presidente di commissione negli esami di maturità Ø corrispondenze con insegnanti Ø partecipazione ai congressi della Mathesis e alle sezioni di didattica dei congressi internazionali Conferenze matematiche torinesi, 1915 Il 27 febbraio si riunirono, in un’aula della R. Università, una quarantina di professori di matematica per iniziare le conferenze promosse dai professori Peano, Boggio e Bottasso. Il prof. Peano spiegò lo scopo di queste riunioni, che è quello di servire come scambio di idee sulle questioni riguardanti le matematiche elementari.

Attività editoriale Rivista di Matematica (1891 -1906), Formulario di Matematica (1894 -1908), Dizionario di Matematica (1901), Schola et Vita (1926 -1932) libri per insegnanti: Aritmetica generale e Algebra elementare, 1902, Giochi di Aritmetica e problemi interessanti, 1924 articoli di carattere didattico: Sul § 2 del Formulario, t. II: Aritmetica, 1898, Sui fondamenti dell’Analisi, 1910, Sui libri di testo per l’Aritmetica nelle scuole elementari, 1924 … studi logico-fondazionali: Sul concetto di numero, 1891, I fondamenti della geometria, 1894, Le definizioni in matematica, 1921 … articoli di divulgazione: La numerazione binaria applicata alla stenografia, 1898, Calculo super Calendario, 1922, Theoria simplice de logarithmos, 1924, Quadrato magico, 1926, Jocos de Arithmetica, 1926, Historia de numeros, 1928, … altri interventi: risposte a quesiti, recensioni, lettere ai curatori di riviste sulla didattica

G. Peano, Dizionario di logica matematica, 1901, p. 1 Un Dizionario di Matematica, cioè una raccolta dei termini che si incontrano nelle opere matematiche attuali, insieme alle osservazioni che servono a precisare il significato o i significati d’ogni termine, quali l’etimologia, la storia, la definizione, quando è possibile, riuscirà un lavoro utile tanto sotto l’aspetto scientifico quanto sotto quello didattico. La molteplicità dei termini usati per rappresentare una stessa idea, e la molteplicità dei significati in cui è usato uno stesso termine costituiscono un inconveniente troppo diffuso e ben noto. Il dizionario potrà guidare individualmente ogni autore nella scelta dei termini più opportuni pel suo lavoro. Esso è pure il lavoro preparatorio onde ottenere una terminologia scolastica uniforme.

A. Conti, In memoria di Giuseppe Peano, 1932, p. 52 Egli che già aveva segnato orme profonde nei campi più elevati della matematica, non disdegnava d’occuparsi. . . delle questioni più elementari e dava un forte incoraggiamento a chi si occupava di modeste questioni scientifico-didattiche. Egli aveva già data la sua autorevole adesione al Boll. da me fondato nel 1899 e rivolto agli alunni delle Scuole Normali e ai maestri. . . elementari. Fu poi dei primi ad accogliere il sorgere nel 1902 del Bollettino di Matematica e nei 30 anni susseguitisi … spesso, a poca distanza dall’invio di un nuovo Fascicolo, Egli mi comunicava le sue impressioni sui vari articoli contenuti. . . e talvolta aggiungeva notizie bibliografiche di speciale interesse. collaborazione di Peano ai periodici didattici: Bollettino di Matematica, Periodico di Matematiche, Rendiconti dell’Unione Professori di Milano, … Ø

Mettere la scienza al servizio dell’istruzione Vi insegnerò a trasformare la matematica in pane § opportunità di riversare nell’insegnamento le ricerche sui Fondamenti § rigore (definizioni, enunciati, dimostrazioni dei teoremi) § considerazioni sul linguaggio: economia, rifiuto dei circoli viziosi § importanza della logica e dei simboli § ruolo marginale dell’intuizione § importanza della storia della matematica e della filologia § legami con la realtà: distanze fra città, calcolo di date, cambi monete. . . § aspetto ludico: giochi, indovinelli, quadrati magici, . . . § democrazia culturale § rifiuto dell’insegnamento dogmatico

Il rigore G. Peano, Sui fondamenti dell’analisi, 1910, p. 32 Chi non conosce bene i fondamenti d’una parte qualunque della matematica, rimane sempre titubante, e con una esagerata paura del rigore. Altri credono la matematica, almeno nei suoi fondamenti, immobile, sempre occupata a ripetere che due fanno ventidue. A sentir parlare di nuovi studii, e di dubbi sui metodi che comunemente si seguono, se la prendono come offesa personale, ed in ogni occasione manifestano il loro odio contro il rigore, fino a diventare pericolosi. Cave canem! Il rigore matematico è molto semplice. Esso sta nell’affermare tutte cose vere, e nel non affermare cose che sappiamo non vere. Non sta nell’affermare tutte le verità possibili.

Gli studi sui Fondamenti nell’insegnamento G. Peano, Sui fondamenti dell’analisi, 1910, p. 32 Lo studio di queste questioni filosofico-didattiche è anzitutto una soddisfazione della mente umana, alla continua ricerca della verità. È interessante il trovare nella trita via percorsa per secoli da tutte le generazioni, nuovi studii, nuove teorie, che esigono tutto l’acume della nostra mente. Ma essenzialmente questo studio è di utilità immediata al nostro prossimo, al pari di una scoperta, che ci permetta di correre più veloci, o che abbassi il prezzo del pane. Perché la conoscenza di quelle questioni, e del modo di risolverle, ha per effetto di perfezionare il nostro insegnamento, di far procedere più veloci gli alunni nello studio, e dare a minore prezzo di fatica le cognizioni necessarie. Le persone che ai piaceri della filosofia preferiscono piaceri più materiali, scartano questi studii con una pregiudiziale. Siffatte questioni, essi dicono, non si potranno mai trattare nelle scuole secondarie, perciò ogni loro discussione e studio è inutile. È vero che questioni non si possono trattare nella scuola; ma è necessario che l’insegnante conosca la soluzione, o le soluzioni di esse, affinché sappia scegliere la migliore, e non ripetere quella sola che ha studiato in scuola; ed essenzialmente conosca le questioni che non hanno soluzione, e su cui si deve tacere.

G. Peano, Sul § 2 del Formulario …, 1898, pp. 83 -84, 86 Il Formulario d’Aritmetica, nello stato attuale, contiene già l’analisi completa delle idee d’Aritmetica. […] Questa analisi che io ho fatta in massima parte nel citato lavoro del 1889, è ciò che differenzia nella forma e nella sostanza questo Formulario dagli altri libri. Alcuni di questi studii già furono introdotti in trattati scolastici, quali: C. Burali-Forti e A. Ramorino, Aritmetica, Torino 1898; P. Gazzaniga, Libro di Aritmetica e di Algebra elementare, Padova, a. 1897; M. Nassò, Algebra elementare, Torino 1898. […] Ma si può tener conto di questi studii anche nell’insegnamento secondario ed elementare, col sopprimere tutte quelle definizioni di numero, e di somma, che sono pure parole […]. Da alcuni anni meditavo come si potrebbe compilare un libro di Aritmetica elementare, che seguisse fedelmente il mio lavoro del 1889 […]. Il Formul. § 2 potrebbe forse essere usato nelle scuole liceali come libro di consultazione, quali tavole di logaritmi.

Il problema delle definizioni A. Padoa, Note critiche al libro di aritmetica … di Paolo Gazzaniga, 1899, pp. 4 -6, 8, 11 In queste brevi Note critiche io analizzo, per l’appunto, le proposizioni assunte dall’Autore quali primitive nei primi due Capitoli, i cui inizii mi sembrano molto imperfetti dal punto di vista logico. … Anzitutto, le idee primitive enunciate dall’A. non sono sufficienti: infatti, nella (1) si trova il simbolo 1 che rappresenta un’idea non definita (e non definibile) mediante le sole idee numero e il successivo di. Converrebbe completare il sistema delle idee primitive dell’aritmetica con l’idea uno, rappresentata dal simbolo 1. In un trattato in cui non sono enunciate tutte le proposizioni di logica che vi trovano applicazione, mi sembra inutile enunciarne alcune. … È vero che le definizioni son libere; però quelle d’un trattato scolastico non devono, senza necessità, scostarsi da quelle comunemente accettate. G. Peano, Sui fondamenti dell’analisi, 1910, pp. 32 -33 … della scienza che conosciamo, noi dobbiamo insegnare solo quella parte che è maggiormente utile agli alunni. Quindi per essere rigorosi, non è necessario di definire tutti gli enti che consideriamo. … E anche dove si può definire, non è sempre utile il farlo. …. Così oggi è noto che tutti gli enti si possono definire mediante due: punto e distanza di due punti. Ma prima che il prof. Pieri nel 1898, e il

I simboli G. Peano, Importanza dei simboli in matematica, 1915, p. 172 Perciò il simbolismo è più chiaro; perché permette di costruire serie di ragionamenti quando l’immaginazione sarebbe interamente inabile a sostenere se stessa senza aiuto simbolico. G. Peano, Logica matematica, 1919, p. 960 Con questa decina di simboli, uniti ai simboli per rappresentare le idee di aritmetica e di geometria, si possono esprimere tutte le proposizioni di matematica, come si può vedere nel Formulario mathematico di Peano. Già alcuni libri scolastici sono informati alla logica matematica, ed è nel campo dell’insegnamento che questa scienza può dimostrare la sua fulgida semplicità.

Il linguaggio G. Peano a F. Klein, 25 agosto 1894 La Logica matematica con un numero limitatissimo di segni (7 usati, e riduttibili ancora fra loro) è riuscita ad esprimere tutte le relazioni logiche immaginabili fra classi e proposizioni; o meglio l’analisi di queste relazioni ha portato ad usare quei segni, coi quali tutto si esprime, anche le relazioni più complicate, che difficilmente e faticosamente si esprimono col linguaggio ordinario. Ma il suo vantaggio non si limita alla semplificazione della scrittura; l’utilità sua sta specialmente nell’analisi delle idee e dei ragionamenti che si fanno in matematica. G. Peano a G. Vacca, 23 agosto 1897 Altro è formare un linguaggio che possa essere parlato da tutto il mondo, per tutti gli usi, altro è costruire un sistema di simboli atti a rappresentare e ad analizzare le idee di matematica. È questo lo scopo mio; e mi tengo strettamente ad esso, perché la precisione del soggetto ci impedisce di introdurre idee confuse. … In questo campo c’è ancora molto da fare; diffondere queste teorie, mal conosciute; farne nuove applicazioni; e in conseguenza perfezionarle.

La storia nell’insegnamento § accresce la cultura degli scolari e attira la loro attenzione. § aiuta a comprendere l’origine e l’utilità di concetti, regole, simboli, … § stimola l’approfondimento individuale (bibliografie) § porta alla pratica con la “critica letteraria” dei classici matematici (fonti originali, edizioni critiche, …) G. Peano, Aritmetica generale, p. 33, 50 {Bachet a. 1621 p. 241: «Omnem autem numerum vel quadratum esse vel ex duobus aut tribus aut etiam quatuor quadratis componi, satis experiendo deprehendis» }. Questo modo di introdurre i numeri negativi trovasi in Mac Laurin a. 1748 p. 6: «a Quantity that is to be added is called a Positive Quantity; and a Quantity to be subtracted is said to be Negative. » Cauchy, a. 1821, p. 333: «… on acquiert l’idée de quantité (positive ou négative) … Pour indiquer cette destination …» .

Il ruolo del gioco L. Romano, Una giovinezza inventata Gli zii abitavano all’ultimo piano di un grande palazzo d’angolo sulla piazza Castello … c’era un divano, – il mio letto – e tutt’intorno alle pareti, fin nel mezzo della stanza, pile e pile di libri intonsi dalla copertina celeste. Erano il Formulario e altri testi di Analisi Matematica. La stanza da pranzo aveva nel mezzo un grosso tavolo scuro, di quelli da osteria. Facendo ribaltare il piano, appariva un fondo assai capace, pieno di giochi matematici; alcuni erano modellini ricavati dai trucchi dei baracconi. Il mago raccontò zia Nina aveva pregato lo zio di non rivelarli al pubblico. G. Peano, Giochi di Aritmetica e Problemi Interessanti, 1924, p. 1 In tutti i tempi, e presso tutti i popoli, si insegnavano dei giochi per rendere dilettevole o meno noiosa l’aritmetica. Saggiamente questi giochi si trovano nei nuovi programmi delle scuole elementari. Credo far cosa utile agli insegnanti col pubblicarne alcuni. G. Peano, Sui libri di testo per l’Aritmetica nelle scuole elementari, 1924, p. 240 I calcoli sui numeri astratti diventano più divertenti, se fatti sotto forma di giochi. I quadrati magici, che esercitano nella somma, si trovano ad esempio in Amodeo e le operazioni curiose in cui i risultati presentano qualche eleganza, si trovano in pochi libri. Dovrebbero essere più diffusi.

8 1 6 3 5 7 4 9 2 Quadrati magici Abachi e pallottolieri Regoli Tangram e origami

Rifiuto del dogmatismo, democrazia culturale G. Vailati, Idee pedagogiche di H. G. Wells, 1906, pp. 293 -294 Se nell’insegnamento delle scienze fisiche, il concetto della scuola come luogo ove si va ad assistere a delle lezioni va gradatamente cedendo il posto al concetto della scuola come laboratorio, come luogo dove all’allievo è dato il mezzo di addestrarsi, sotto la guida e il consiglio dell’insegnante, a sperimentare e a risolvere questioni, a misurare e soprattutto a misurarsi e a mettersi alla prova di fronte ad ostacoli e difficoltà atte a provocare la sua sagacia e coltivare la sua iniziativa, nel campo invece degli altri insegnamenti siamo più che mai ancora sotto l’impero del pregiudizio che ci spinge ad attribuire alle lezioni orali … un non so quale misterioso privilegio, come mezzo per illuminare le menti … G. Peano, Sui libri di testo …, 1924, pp. 237 -238 I trattati di Aritmetica variarono di forma ogni secolo. Or sono cinquant’anni si insegnava l’aritmetica sotto forma di catechismo. Il maestro domanda “che cosa è il numero” cui risponde quale eco la voce dolente dell’allievo: “il numero è la riunione di più unità. ” Ancora uno dei libri oggi sottoposti al giudizio della commissione è per domande e risposte. Ma poi si soppressero le domande conservando le risposte.

R. Bettazzi, Aritmetica razionale ad uso dei ginnasi, 1902; I problemi di Aritmetica pratica, 1900; Complemento dell’Aritmetica razionale ad uso dei Ginnasi, 2 a ediz. , 1905 C. Burali Forti, Aritmetica razionale, 1892; Lezioni di Aritmetica pratica ad uso delle scuole secondarie inferiori, 1897 (1925, 14 a edizione); Elementi di Aritmetica Razionale ad uso della 3 a Classe della Scuola Tecnica, 1898 C. Burali Forti, A. Ramorino, Aritmetica e norme per l’insegnamento nelle scuole elementari – Elementi di algebra, 1898 M. Nassò, Aritmetica generale ed Algebra ad uso dei Licei secondo il programma governativo, 1898 (1920, 10 a edizione, nel 1925 nuova edizione riveduta e corretta da A. Borio, presso la Società Editrice Internazionale di Torino) A. Padoa, Aritmetica intuitiva per le Scuole Medie, 1923 S. Catania, Aritmetica razionale, 1904; Trattato di aritmetica ed algebra, 1910 C. Ciamberlini, Aritmetica e Geometria per le scuole complementari, 1909 -10 A. Natucci, Elementi di Aritmetica ragionata e Algebra per le Scuole Medie Superiori, 1920 G. Vivanti, Aritmetica razionale e algebra per il Corso Magistrale Superiore,

R. Bettazzi, Il fanciullo e la matematica, 1939, pp. 5 -6 L’apprendimento dell’Aritmetica costituisce una difficoltà tutta speciale per i bambini e i ragazzi. … Il fatto si spiega. L’Aritmetica presenta un grado di astrazione superiore a quello delle altre discipline e gli stessi insegnanti non sempre adoprano tutti gli accorgimenti didattici che le sono propri: e qualche volta, nessuno se ne offenda!, si lasciano sfuggire qualche erroruccio che, anche se è errore di forma e rispecchia vecchie o viete abitudini non ancora bene scomparse dalle scuole, finisce, data la delicatezza della materia, coll’essere errore di sostanza. Cosa fanno i genitori quando vedono i loro bambini alle prese con qualche piccola o grande difficoltà di Aritmetica (e dicasi altrettanto delle nozioni di Geometria, se pure, per brevità, nominerò soltanto l’Aritmetica) che li angustia? Fanno quel che possono. Ma generalmente poco, giacché di quelle cose – per loro lontane ormai di anni e senza più interesse – ne sanno spesso poco più dei bambini e lo sanno per conto loro e alla meglio; cosicché le spiegazioni che possono dare, se anche giuste nella sostanza, sono spesso di una forma strampalata che o serve poco ai bambini, oppure insegna o ribadisce qualche erroruccio se non qualche vero sproposito.

R. Bettazzi, Il fanciullo e la matematica, 1939 Ø rigore dell’Aritmetica come elemento dell’educazione morale dei bambini Ø importanza dell’aiuto domestico Ø correggere, riordinare, suggestionare, prevenire nella scoperta del mondo matematico Ø la pedagogia è “un’arte” Ø collaborazione fra maestri, pedagogisti, genitori attraverso incontri periodici Ø dialogo matematico vs. “lezione”: metodo suggestivo Ø interessare, non stancare Ø importanza della formazione matematica ingenua, negli anni prescolari § § § § “far dire di seguito i numeri” far contare oggetti concreti, portando al concetto di equinumerosità mutare l’ordine degli oggetti contare senza oggetti far nascere il “senso” del numero concetto di “più”, “meno”, “zero” attenzione agli aspetti linguistici: “lo zero è niente”; i “numeri precisi”, …

A. Padoa, Aritmetica intuitiva per le scuole medie, 1924, p. 3 O fanciullo d’Italia, ho scritto questo libro per te, con animo paterno; in modo che ogni sua pagina possa dare qualche alimento al tuo pensiero, ma senza che la fatica o la noia abbiano a contristare il tuo animo giocondo. E perciò ti invito a leggerlo con fiducia: nulla contiene, che tu non possa comprendere; nulla domanda, cui tu non possa rispondere; e nulla propone, che tu non possa eseguire. Leggendolo attentamente, per capire e rammentare, accrescerai ogni giorno il tuo sapere; e così ti avvierai a diventare utile a te, alla famiglia ed alla patria.

A. Padoa, Aritmetica intuitiva, 1923 Struttura dell’opera I, per le scuole medie di primo grado I numeri naturali, Il sistema metrico decimale, Addizione, Sottrazione, Moltiplicazione, Divisione, Applicazioni, Elevazione a potenza, Divisibilità, Massimo divisore e minimo multiplo, Applicazioni geometriche II per le scuole medie, I numeri razionali con applicazioni geometriche (Programmi ufficiali del 14 ottobre 1923) III per le scuole medie, I numeri reali (Programmi ufficiali del 14 ottobre 1923) Caratteristiche assenza del simbolismo logico-ideografico esercizi di calcolo mentale domande insidiose, giochi problemi concreti calendario pochi cenni di storia della matematica

Allo 0 aggiungendo successivamente i numeri dispari 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …, Ottenete i numeri 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 … Cioè i valori di 01, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102, …. Da due cartoncini, uno bianco ed uno grigio, Carletto ha ritagliato alcuni quadratini. Ne posa sulla tavola uno bianco e gliene mette accanto 3 grigi, in modo da comporre il quadrato di due. Poi, con altri 5 quadratini bianchi, compone il quadrato di tre, con altri 7 quadratini grigi compone il quadrato di quattro ecc. Il giuoco di Carletto vi insegna a costruire la successione dei quadrati (dei numeri naturali), mediante addizioni successive.

G. Burnengo, A. Padoa, Aritmetica intuitiva …, 1924, pp. LIX-LX Ora vide la luce una nuova opera del genere “aritmetica intuitiva” del prof. Padoa, che ai pregi delle opere succitate altri ne aggiunge non trascurabili: a) esposizione in forma chiara ed assolutamente elementare b) trattazione delle proprietà delle operazioni con metodo esclusivamente induttivo c) stile non espositivo ma narrativo mediante l’impostazione di problemi interessanti già risolti o avviati alla risoluzione d) ricca collezione di problemi, esercizi e giuochi capaci di abilitare la mente dell’allievo al calcolo mentale e di svegliare in esso interesse e curiosità per le questioni aritmetiche. ” • G. Vivanti, Aritmetica ad uso delle scuole medie inferiori, 1920 • A. Conti, Aritmetica pratica ad uso delle scuole medie inferiori, 1920

S. Caramella, La didattica dell’intuizione e un nuovo testo di matematica, 1923, pp. 474 -475 Per solito, il principio dell’intuitività nell’insegnamento delle matematiche sembra essere un privilegio dei pedagogisti, non un concreto criterio degli scienziati e degli autori di testi: e, così astratto dalla realtà didattica proprio là dove dovrebbe meglio valorizzarsi, incontra lo scetticismo e l’ostilità generale. Sicché assume un valore particolarissimo, soprattutto oggi che le recenti riforme hanno sconvolto questo ramo degli studi secondari, il tentativo iniziato da Alessandro Padoa nel primo volumetto della sua Aritmetica intuitiva … Ora questo suo manuale di aritmetica rivela ad un tempo la precisione del logico e la comprensione didattica dell’insegnante. Da una parte, le nozioni vi sono presentate con semplice ma compiuto svolgimento, senza lacune o sottintesi, senza formule e convenzioni, come vuole il raziocinio puerile; dall’altra, non un’idea è lasciata sospesa nel vuoto, né un problema è fondato su termini irreali o insignificanti, né un principio resta oscuro e inapplicato. Il Padoa vuole giustamente che per il fanciullo l’aritmetica si identifichi con la soluzione di bisogni e casi della più concreta esperienza; egli è ricorso persino a ingegnosi raccontini matematici, ossia fondati sullo scioglimento progressivo di qualche problema, per agevolare l’intelligenza del calcolo e la sua applicazione.

C. Burali Forti, A. Ramorino, Aritmetica e norme per l’insegnamento nelle scuole elementari, 1898, p. V Dopo aver dimostrato che i termini maggiore, minore, differenza, prodotto, parte intera del quoto, resto di una divisione, multiplo, sottomultiplo, numero primo, … possono esser definiti mediante il termine somma, questo, e in conseguenza, tutti i termini che compariscono nella parte dell’Aritmetica pratica che si occupa dei numeri interi, vengono fatti dipendere dai termini numero intero, uno ( o unità), seguente di un numero intero, (1) che hanno tutti un significato comunemente noto e dei quali il terzo ha pure un significato concreto, derivante dall’azione materiale del contare. Su questa analisi, assai semplice, del concetto di numero, ho basato tanto la parte teorica, che deduco tutta da sei postulati esprimenti proprietà comunemente note dei termini (1), quanto le norme didattiche per l’insegnamento dei primi elementi della numerazione e delle operazioni fondamentali. … Ho pure cercato dimostrare in ogni caso come al maestro sia necessario conoscere la parte teorica contenuta nel testo, per potersi rendere esatto conto dei metodi dei quali deve far uso nella scuola elementare.

C. Burali Forti, A. Ramorino, Aritmetica e norme per l’insegnamento nelle scuole elementari, 1898, p. 12 È questo il momento di accennare brevemente come il maestro può utilizzare le precedenti nozioni scientifiche per introdurre nella scuola elementare, in modo semplice, facile, non contraddicente ai principii scientifici e alle regole del linguaggio comune, le prime nozioni sulla numerazione e sul concetto di somma. In primo luogo abitui i bambini a contare degli oggetti, valendosi dei termini uno, due, tre … dei quali darà contemporaneamente la rappresentazione grafica 1, 2, 3, …. I termini ordinali primo, secondo, terzo, … potrà dedurli dei termini uno, due, tre, … come forme grammaticali diverse di questi. … Il maestro, dando le precedenti nozioni, non mancherà di far rilevare come nell’azione del contare enunciamo il 2 dopo l’ 1, il 3 dopo il 2, … e farà dire che 2 è il successivo o il seguente di 1, che 3 è il successivo o il seguente di 2, … Dopo aver fatto osservare che è in generale troppo lunga la scrittura dei segni grafici indicanti le frasi successivo di 1, successivo di 2, … tal quale come si enunciano, farà scrivere al posto di esse 1+1, 2+1, 3+1, …

C. Pacchiani, C. Burali-Forti, A. Ramorino, Aritmetica e Norme, 1898, p. 230 … pare che fin dai primi giorni si debba abituare i bimbi a considerare i numeri interi in se soli, cioè indipendentemente dalle grandezze che possono rappresentare. Non nego che questo metodo possa avere l’approvazione di qualche sindaco, in vista dell’economia che si raggiungerà colla soppressione dei pallottolieri, dei dischetti, delle scatoline e di tanti eleganti ninnoli immaginati per invitare i bimbi a contare, ma sono certo che sarà respinto dai maestri, a ragione seguaci del principio pedagogico procedere dal concreto all’astratto. C. Burali-Forti a G. Vailati, 6 gennaio 1907 Il prof. Buffa fu mandato l’anno scorso (1905 -1906) nella scuola Tecnica di Alessandria, ove fece adottare la mia aritmetica che adottava da nove anni nelle altre scuole. Il prof. Amaldi di Bologna, mandato ad Alessandria come ispettore, vietò al Buffa l’uso del mio libro!!!! Al principio dell’anno scolastico 1906 -1907 il Buffa ripropose il mio libro, ma il direttore e i 4 colleghi di matematica delle classi aggiunte si opposero: il Buffa richiede una critica scritta, e dopo molti stenti riesce ad ottenerla e farla inserire nel verbale. Ti mando copia dei cinque capi d’accusa, con le mie osservazioni in rosso. […] 2 o È poco accessibile alla mente degli alunni perché fa inutile ed eccessivo sfoggio di simbolismo, presuppone noti e familiari agli alunni concetti, operazioni e teorie che essi non possono sapere, ed il frasario stesso è artificioso ed oscuro.

G. Peano, Aritmetica …, 1902, pp. III, V I simboli matematici apportano non solo brevità, ma specialmente precisione e chiarezza. Essi soddisfano alla legge generale dell’economia di lavoro; rendono più facile lo studio ai principianti, e sono pressoché indispensabili al progresso della Scienza. […] Per chi impara per la prima volta l’Aritmetica, la via che qui si segue è senza dubbio vantaggiosa. Una cinquantina di simboli, di significato chiaro e preciso, sostituisce alcune migliaia di parole che si presentano definite o no, nei trattati precedenti la scrittura ideografica. Coloro che già hanno studiato l’Aritmetica e l’Algebra per altra via, dovranno fare uno sforzo per imparare questo nuovo metodo, e a vedere che gli aggruppamenti di idee che qui si fanno sono più semplici di quelli cui sono da tempo abituati.

0) I numeri formano una classe 0) N 0 Cls 1) Lo zero è un numero 1) 0 N 0 2) Se a è un numero, allora anche il suo successivo a+ è un numero 2) a N 0. . a+ N 0 3) Principio di induzione matematica o di induzione completa: se s è una classe e zero è un elemento di questa classe e, dal fatto che a appartenga ad s, si deduce che per ogni a il suo successivo appartiene ancora alla classe s, allora tutta la classe dei numeri è inclusa nella classe s 4) Se due numeri sono uguali, anche i numeri di cui sono successivi sono uguali 5) Zero non è il successivo di alcun 3) s Cls. 0 s: a s. a. a+ s : . N 0 s 4) a, b N 0. a+=b+. . a=b 5) a N 0. . a+ -=0

M. Pieri, G. Peano, Aritmetica generale ed algebra elementare, 1903, p. 293 -295 Non è senza compiacenza e conforto di noi tutti, insegnanti studiosi, il vedere alcuni fra i più segnalati cultori delle discipline matematiche volgere in pro della scuola media i tesori della propria dottrina ed esperienza, procacciando e studiando con somma cura ed industria ogni mezzo, che sembri atto a semplificar la materia e perfezionar la struttura ed i metodi dell’insegnamento elementare in armonia coi progressi del pensiero scientifico. […] Il maggior contrassegno di originalità vuol essere certo l’uso costante dell’algoritmo logico-matematico invece del discorso ordinario. Non c’è troppo da illudersi sull’accoglienza, che una riforma di questo genere è per trovare in buona parte del pubblico: ché son troppo noti i motivi, tutti umanissimi e spiegabilissimi, i quali hanno fatto in ogni tempo e faranno sempre ostacolo a certe novità, che toccano la più gelosa delle nostre proprietà intellettuali. Nuovo e singolar pregio dell’opera le abbondanti notizie storiche circa le più ragguardevoli proposizioni; notizie qui riprodotte dal Formulario di matematica, e vagliate alla stregua di una critica dotta e rigorosa.

M. Pieri, G. Peano, Aritmetica generale …, 1903, pp. 293 -295 Non dirò che sia questa un’opera da porre alle mani dei giovanetti, così come sta, senza un commento adeguato (a motivo di certa durezza nascente più che altro dalla straordinaria condensazione del testo, che per sé solo non occupa forse cento pagine in tutto): né senza una guida intelligente ed esperta, che ne appiani le difficoltà, facendone emergere i pregi. Ma ciò non dovrebb’essere grave difetto in libri scolastici; almeno finché il Libro e la Scuola non saranno precisamente la stessa cosa. . G. Sforza, L’aritmetica generale ed algebra elementare di G. Peano come libro di testo nelle scuole secondarie superiori, 1904 -05, p. 30 Ho adottato quest’anno nella 1 a classe dell’Istituto tecnico la predetta opera insigne, soprattutto perché ho ritenuto estremamente didattica l’ideografia logico-matematica, con la quale si ottiene brevità, precisione e possibilità di buone ripetizioni anche da parte di alunni meno che mediocri. Il prof. Catania (Arit. raz. , 1904) e il prof. Leoncini (Le operaz. con i num. relativi, 1904) pure dichiarando che si ispirano ai metodi del Peano, rigettano l’ideografia logicomatematica ritenendola un impaccio didattico; io credo invece che così essi rinuncino alla parte didatticamente migliore del libro del Peano.

S. Catania, Aritmetica razionale per i ginnasi superiori e per la prima classe d’istituto tecnico, 1904, p. IX, XII Questo libro ha avuto l’onore della terza edizione, e si presenta agl’Insegnanti d’Italia con notevoli miglioramenti, semplificazioni e correzioni. Esso è arrivato alla terza edizione per l’opera coraggiosa di valorosi colleghi, i quali hanno creduto di indirizzare i loro allievi verso quei sani principii che l’alta mente del prof. Peano, alcuni suoi colleghi e i suoi scolari da più di un ventennio diffondono fra gl’Insegnanti intelligenti e studiosi d’Italia. L’uso dei simboli ideografici, generalmente mal visti, e ritenuti, a priori, difficili, mentre sono semplici e chiari, ed esprimono le idee meglio di qualunque forma comune, stabilendo una precisa corrispondenza fra le idee e i segni, l’uso dei simboli ideografici, dicevo, di cui si è servito il Peano per esporre l’opera sua, e non poteva fare altrimenti un matematico e un logico della sua forza, ha impedito nelle scuole secondarie la diffusione delle sue idee. L’opera mia modesta, incoraggiata dallo stesso Peano, ha avuto, e seguita ad avere, lo scopo di volgarizzare in pro’ della Scuola secondaria l’opera benefica dell’Insigne Professore dell’Ateneo torinese. … E intanto ciò che si ha di meglio sull’argomento è racchiuso nel Formulario del prof. Peano, il quale, anche nella sue lacune, contiene una quantità di considerazioni le quali lo fanno somigliare in un modo assai notevole agli Elementi di Euclide.

M. Pieri, S. Catania, Aritmetica razionale per le scuole secondarie superiori, 1905, p. 47 -48 Nel fascicolo marzo-aprile 1903 discorrendo sull’Aritmetica generale ed Algebra elementare di G. Peano (Torino, Paravia, 1902) auguravo che la bontà di questo trattato […] inducesse qualche volenteroso docente a sperimentarlo per sé e per la scuola. Un tal desiderio è oggi realizzato in gran parte, mercè l’operetta, che l’egregio prof. S. Catania ha testé pubblicata […]. Il prof. Catania ha estratto dal libro del prof. Peano (il quale di buon grado assentiva ed incoraggiava) le parti meno elevate dell’aritmetica – quelle insomma, che più interessano la scuola media – e le ha riprodotte fedelmente con la scrittura ordinaria (salvo qualche leggera e inevitabile modificazione) studiandosi di conservare al possibile il loro nativo sapore. G. Scorza, Pretese novità didattiche nell’insegnamento della matematica, 1908, p. 11 Ora io non voglio entrare in alcuna discussione di metodo, per quanto pensi, per molte e varie ragioni, che certo eccessivo formalismo sia dannoso assai e non soltanto didatticamente inopportuno. Per molti il formalismo, il simbolo è la bestia nera. Qualcuno ha scritto che il simbolo uccide l’idea!

S. Catania, Sui metodi di insegnamento della matematica nelle scuole medie, 1913, p. 142 L’esperienza mi ha insegnato che la mente dei giovani, anche dei mediocri, riposa e si diletta quando l’insegnante, muovendo dalle idee primitive e dai postulati, costruisce con procedimento logico l’edificio aritmetico e geometrico. Il prof. Peano una volta mi scriveva che “la logica matematica è uno strumento importantissimo per separare ciò che nella scienza matematica si deve al puro ragionamento, e ciò che si deve all’intuizione. Ragionamento e osservazione sono le due braccia con cui l’uomo opera per la ricerca della verità”. G. Castelnuovo, Sui metodi di insegnamento della matematica nelle scuole medie, 1913, p. 144 Bisogna pur persuadersi che, se noi affidiamo alle Scuole medie i nostri figli, non è per farne dei matematici puri o dei logici puri, ma degli uomini che sappiano nella vita adoperare tutte le facoltà dell’ingegno, le logiche, le immaginative, ed il buon senso che, pur partecipando delle une e delle altre, val più di queste e di quelle. Né giova rispondere che il professore di matematica provvede alla logica, e il professore di lettere alla fantasia, perché la mente umana non può paragonarsi ad un casellario, dove le lettere si ripongono secondo l’orario dei treni che arrivano o partono; e perché, come non acquista un nome nelle lettere chi è privo di facoltà logiche, non riesce nella scienza chi manca di intuizione o di fantasia.

M. Nassò, Aritmetica generale Torino, Salesiana, 1898, 10 a ed. 1919, pp. 1, 23 Per le note storiche, mi sono servito delle principali pubblicazioni storiche italiane ed estere, ed in particolare della pregevolissima opera che il prof. Moritz Cantor pubblicò a Lipsia col titolo: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Il segno × della moltiplicazione si trova per la 1 a volta nella Clavis mathematica del parroco inglese Guglielmo Oughtred (nato in Eton, contea di Buckingham, in Inghilterra, nel 1574, e morto nel 1660) stampata nel 1631. Fu Renato Descartes (nato a Lahaye, nella Turenna, nel 1596, e morto a Stoccolma in Svezia nel 1650) che propose di mettere un punto tra un fattore e l’altro: e fu Michele Stifel (1486 -1587) che suggerì di scrivere i fattori, uno a destra dell’altro, senza frapporvi alcun segno.

G. Peano, M. Nassò, Aritmetica…, 1898, p. 12 Nella parte teorica veggo con piacere che l’A. ha fatto uso delle teorie moderne suscettibili di entrare subito in un insegnamento; e di questa moderazione lo lodo. Poiché spesso non si sa resistere alla tentazione di far entrare in un libro tutto ciò che l’A. sa su d’un dato soggetto, tormentando la mente dei poveri allievi. Le indicazioni storiche sono preziose … W. J. Greenstreet, M. Nassò, Aritmetica…, 1899, p. 18 This is an excellent book for beginners, more after the English style than most Continental textbooks, inasmuch as the sections are followed by examples, in all 2000 in numbers. […] An interesting feature of the book is the number of purely historical notes. Professor Nassò is to be congratulated on having produced the best elementary Italian textbook we have seen.

La geometria G. Peano, Sui Fondamenti della Geometria, 1894, p. 51 Numerosi trattati di Geometria veggono la luce ogni anno in Italia e all’estero; spesso ne arrivano alla redazione della Rivista, con domanda di una recensione. Ora questi nuovi trattati non sono, in generale, perfezionamenti di quelli già pubblicati; ma vi si ripetono, sotto varie forme, le cose contenute in altri, e non si tien conto di quelle osservazioni e studii speciali fatti sui fondamenti della Geometria, i quali studii, benché fatti con scopo puramente scientifico, pur tuttavia fin d’ora permettono, in certa misura, di semplificare, rendendoli più rigorosi, i principii della Geometria. In questa nota mi propongo appunto di trattare sommariamente quei punti in cui si può effettivamente raggiungere il doppio scopo del rigore e della semplicità; e di far notare agli insegnanti ed agli studiosi che, anche nella matematica più elementare ci sia ancor vasto campo di ricerche per loro natura interessanti, e che possono essere immediatamente utili, perfezionando i metodi di insegnamento. Questi studii non esigono vasta cognizioni, ma logica rigorosa.

G. Peano, Sui Fondamenti Geometria, 1894, p. 54 della Ø geometria di posizione fondata sui concetti di punto e di segmento (17 postulati) Ø segmento: relazione che passa fra tre punti quando uno si trova fra gli altri due Esaminando quanto precede dal solo punto di vista didattico, dobbiamo confessare che questa trattazione non ha ancora assunto quella semplicità che è necessaria per essere introdotta negli elementi. … Pur tuttavia nutro fiducia che alcune delle osservazioni fatte possano essere utili per la pubblicazione di trattati elementari; e sarò lieto del mio lavoro se esso contribuirà a rendere più esatte le definizioni e dimostrazioni di Geometria elementare, e ad analizzare meglio i concetti su cui si basa questa scienza.

G. Peano, Sul libro quinto di Euclide, 1906, pp. 87 -88 La Commissione Reale per la riforma della scuola media si indirizza agli insegnanti con una serie di profonde osservazioni didattiche, e con un ampio questionario. Il Bollettino di matematica pubblicò nel n. 3 -4, la parte del questionario relativo alla matematica, e apre le sue colonne alla discussione. Accettando il gentile invito del Direttore del Bollettino, tratterò della questione che porta il n. 10 così enunciata: “che pensate della maggiore e minore convenienza di seguire, nella trattazione delle proporzioni, il metodo del V libro di Euclide? ” Questi libri, che Euclide chiama Aritmetica, costituiscono in sostanza il corso di Algebra dei Licei e Istituti tecnici, compresa la trasformazione di , oggetto principale del libro X. I trattati scientifici dovrebbero, d’ogni proposizione, citare il nome dell’autore. Così è fatto nel Formulario mathematico per l’Algebra (tomo V pag. 95, 96, 109), e in alcuni libri didattici. Le questione proposta della Commissione reale pertanto significa: “oltre ad esporre l’Algebra, col linguaggio algebrico moderno, dobbiamo noi ancora esporre le proprietà fondamentali dei segni +, -, , /, col linguaggio d’Euclide?

G. Peano, Sul libro quinto di Euclide, 1906, pp. 89 -90 Se si avesse molto tempo disponibile, si potrebbe rispondere affermativamente. Allora conviene porre fra le mani Euclide autentico nell’originale greco, accompagnando ogni proposizione della sua versione completa nel linguaggio algebrico equivalente. In tal modo si fa la storia del linguaggio matematico, e risulta evidente il suo perfezionamento in 2000 anni, e l’enorme semplificazione apportata dall’uso dei simboli. Invece l’uso d’una semplice versione letteraria del libro V porta molti allievi a ritenere che la scienza ivi svolta sia cosa diversa dai fondamenti del calcolo algebrico. Ma dato il difetto di tempo, per gli allievi delle scuole medie, data la mole di cose più utili a impararsi, e più igieniche a farsi, questo studio storico comparato si può rimandare al quinto anno del corso di Matematica pura. G. Vacca, Lo studio dei classici negli scritti matematici di Peano, 1933, pp. 97 -99 Le sue lezioni, variate ogni anno, rappresentavano uno sforzo continuo di raggiungere esposizioni più lucide. Ricordo la prima parte del corso del 1903 … Ricordo le lezioni sulla teoria dei numeri irrazionali, illustrati col V Libro di Euclide, le lezioni sulla rettificazione delle curve, partendo dalla esposizione di Archimede.

G. Peano, Sommario dei libri VII, VIII, IX di Euclide, 1891, Sommario del libro X d’Euclide, 1892 T. Viola, G. Peano, Opere scelte, 1961, pp. 351 -352 non c’è pagina di quelle note che non contenga qualcosa di fortemente originale ed interessante, e frequenti sono gli spunti addirittura divertenti e spiritosi […]. In questo senso il loro interesse è sommo: segnaliamo per es. le note, già citate, in cui sono ridotti in formule alcuni libri degli Elementi d’Euclide, note che oggi e sempre potrebbero utilmente entrare in qualunque corso di matematiche complementari o di storia della matematica. (a cura di) G. Vacca, Il primo libro degli Elementi, 1916

Grace Chisholm - W. H. Young, Der Kleine Geometer, 1908; versione italiana 1911 a cura di Luisa Viriglio, pp. III-IV Potranno perciò giovarsene, insieme cogli insegnanti delle scuole primarie e cogli alunni dei corsi normali e froebeliani, a cui sopra tutto io pensavo facendo la traduzione, anche le persone che, o non essendo obbligate a svolgere un particolare programma, o anche non avendo avuta una speciale preparazione all’insegnamento matematico, desiderano iniziare un fanciullo a seri e proficui studi superiori con un primo insegnamento essenzialmente domestico. È mio desiderio ed augurio nel presentare il libro che esso aiuti a render leggero e dilettevole ai bimbi l’acquisto di una scienza che non solo potrà essere per loro di immenso valore pratico, ma ancora divenire sorgente di intensa e profonda gioia dello spirito.

Pregi, limiti ed eredità T. Viola, Giuseppe Peano, Opere scelte, 1961, pp. 351 -352 … note dedicate ad argomenti didattici o pedagogici: non c’è pagina di quelle note che non contenga qualcosa di fortemente originale ed interessante, e frequenti sono gli spunti addirittura divertenti e spiritosi. … “La differenza fra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell’insegnante che non sa spiegare. Né vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l’insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro di sé e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento …” Passo veramente tipico della sensibilità pedagogica dell’Autore, cui un solo appunto può muoversi: quello d’essersi pronunciato spesso in modo troppo semplice e deciso, si direbbe ignorando situazioni umane delicate e difficili, immerse nella penombra. … In verità la pedagogia e la didattica sono arti e scienze assai complesse e solo a spiriti di rarissima eccezione possono riuscire facili. Non possiamo fare a meno d’obiettare alla citata “Conclusione”, che il problema non si risolve, in generale, per puro istinto e con l’applicazione di principi così semplici!

Pregi § versatilità della proposta culturale della Scuola di Peano § insegnamento concepito come un problema globale: libri di testo, esame dei programmi ministeriali, formazione degli insegnanti. . . § attenzione sia per i problemi dell’insegnamento della matematica che per quelli del suo apprendimento § innovazione degli assunti metodologici elaborati nella Scuola di Peano, frutto dell’attività di ricerca sui Fondamenti e sulla Logica matematica e di una concezione epistemologica fortemente moderna della matematica § sforzo di affrontare problemi nuovi, ancora oggi lontani da maturazione, riguardanti non solo la logica matematica, ma il linguaggio in generale § tentativo di stimolare il dialogo fra cultura umanistica e scientifica attraverso l’uso della storia in sede didattica § volontà di confronto con le iniziative all’estero sulla didattica della matematica § riflessione pedagogica (Pestalozzi, Fröbel, Valore, Wells, Schola et Vita …)

Limiti Ø eccessiva semplificazione di alcune posizioni pedagogiche Ø ricerche arricchite da una grande cultura storica e filologica benché a tratti frammentarie Ø poca attenzione per gli errori e gli ostacoli didattici Ø rischio della riduzione della logica ad attività meccanica, ripetitiva, adatta ai “mediocri” Eredità § accento posto sull’insegnamento dell’Algebra e dell’Aritmetica, ritenute altrettanto formative che la Geometria (Thom) § metodologie di introduzione ingenua del concetto di numero a livello di scolarizzazione elementare e pre-elementare (Lafforgue) § ruolo del principio di induzione; aspetti cardinali del concetto di numero vs. aspetti ordinali (Enriques, Poincaré)

Eredità § strategie per facilitare l’acquisizione integrata dei concetti matematici e dei relativi simboli (Sowder, Arcavi) § libri di testo “a madre e figlia” § approccio narrativo nella didattica della matematica (Bruner) § utilizzo del gioco § riflessioni sulla creatività e sulla visualizzazione geometrico-spaziale Problemi aperti … Peano, l’insegnamento delle matematiche moderne e l’insiemistica? … Peano, l’insegnamento della Logica e le tavole di Verità? … Il problema delle strutture della Matematica e del suo Linguaggio? … Un retaggio sulla pedagogia “Bourbakista” (J. Piaget, E. W. Beth, J. Dieudonné, A. Lichnerowicz, G. Choquet, C. Gattegno) ?

L'Opera omnia di Giuseppe Peano e i Marginalia, Cd-rom n. 3 Le Riviste di Giuseppe Peano, Cdrom n. 4 Matematica come pane e come gioco nella Scuola di Peano, Cdrom n. 6 Grazie per l’attenzione