I ENID PIBID UEMA I ENCONTRO DE INICIAO

I ENID PIBID UEMA: I ENCONTRO DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA Planejamento Experimental “Um Curso Introdutório!” Prof. Dr. Rubens Soeiro Gonçalves / DMM / IFMA soeiro@ifma. edu. br

Objetivo do Curso Introdutório : • Apresentar uma “ferramenta poderosa” - pesquisa; • Aplicar o planejamento a exemplos práticos; • Motivar os discentes para o estudo desta metodologia. Metodologia do Curso: • Aplicação do planejamento à exemplos práticos, estudando a fundamentação e aplicando-a utilizando o Matlab; STATISTICA!

Planejamento Experimental Um dos problemas mais comuns que um pesquisador pode enfrentar é a determinação de influência de uma ou mais variáveis sobre uma outra variável de interesse.

Planejamento Experimental • O planejamento experimental, também denominado delineamento experimental, representa um conjunto de ensaios estabelecido com critérios científicos e estatísticos, com o objetivo de determinar a influência de diversas variáveis nos resultados de um dado sistema ou processo (Button, 2005). Com isso, objetiva a determinação do número ideal de experimentos que leve à obtenção de resultados com um dado grau de confiabilidade.

Outros objetivos: • determinar quais variáveis são mais influentes nos resultados; • atribuir valores às variáveis influentes de modo a otimizar os resultados; • Determinar pontos críticos do processo; • atribuir valores às variáveis influentes de modo a minimizar a variabilidade dos resultados ; • atribuir valores às variáveis influentes de modo a minimizar a influência de variáveis incontroláveis ;

A utilização das técnicas estatísticas de planejamento experimental possibilita: • a redução do número de ensaios sem prejuízo da qualidade da informação; • o estudo simultâneo de diversas variáveis, separando seus efeitos ; • a determinação da confiabilidade dos resultados ; • a realização da pesquisa em etapas, num processo iterativo de acréscimo de novos ensaios; • a seleção das variáveis que influem num processo com número reduzido de ensaios; • a representação do processo estudado através de expressões matemáticas ; • a elaboração de conclusões a partir de resultados qualitativos.

“Ferramentas”: • Conceitos Básicos de Estatística; • Distribuições Características de Amostragens; Distribuição Normal • Estimadores ; • • • Intervalo de Confiança; Testes de Hipóteses ; Regressão linear multivariável; ANOVA ; Planejamento Fatorial! Distribuição Chi-quadrado χ2 Distribuição t de Student Distribuição F de Snedcor

Conceitos Básicos: Ao realizar-se uma série de ensaios sob condições preestabelecidas, normalmente observa-se uma variação de resultados de ensaio para ensaio. Essa variação denomina-se erro experimental. A existência deste erro caracteriza a variável de resposta como sendo uma variável aleatória (V. A. ), que pode ser discreta se apresentar um número finito de valores possíveis, ou contínua, se estiver dentro de um intervalo de valores. A probabilidade de uma variável aleatória x é dada pela sua distribuição de probabilidade. Caso a variável seja discreta, essa distribuição é uma função probabilidade p(x), caso seja contínua, passa a ser denominada função densidade de probabilidade f(x) (f. d. p). No caso do planejamento experimental, os resultados obtidos referem-se a uma amostragem, que se espera possam reproduzir o comportamento da população que representam. Os métodos estatísticos só podem ser utilizados se as amostras forem escolhidas aleatoriamente, ou seja, com a mesma probabilidade de serem retiradas da população que outras amostras.

Distribuições distribuição normal Distribuições t de student com 5 e 30 graus de liberdade e distribuição normal padronizada. Distribuições Qui-Quadrado com 1, 5 e 10 graus de liberdade Distribuições t de student com 5 e 30 gr Distribuição F, com 10 graus de liberdade para o numerador e 20 para o denominador aus de liberdade e distribuição normal padronizada

Estimadores – LINEAR REGRESSION MODELS

Estimadores – LINEAR REGRESSION MODELS

Estimadores – LINEAR REGRESSION MODELS Parâmetros a Estimar Qualidade do ajuste:

Suposições válidas - ANOVA : Segundo Box, Hunter 1 - A variância do erro experimental é a mesma em todos os tratamentos. A dispersão não deve depender dos níveis dos fatores, ou seja. As faixas de dispersão dos resíduos para os dois níveis de cada fator devem ser aproximadamente iguais; 2 - Os erros experimentais são independentes: ou seja, o gráfico dos resíduos deve estar distribuídos aleatoriamente em torno do eixo horizontal; 3 - Erro experimental tem distribuição normal, i. e: erro = N(o, σ) : a suposição de normalidade será satisfeita se os pontos do gráfico: resíduos vs probabilidade estiverem numa reta; Falha comum na probabilidade normal são resíduos fora da reta, “outlier” estes resíduos iram causar sérias distorções ANOVA. Dentre vários procedimentos estatísticos para checar “outliers”, veja Barnett and Lewis (1994), podemos utilizar o resíduo padronizado, i. e, se erro = N(o, σ) então -3 <= o resíduo_ padronizado <=3

Análise dos Resultados: • Superfície de Resposta (SR): Consiste em estimar coeficientes da regressão polinomial para a geração de um modelo empírico; então, é possível aproximar um modelo empírico a uma relação (inicialmente desconhecida ou conhecida) entre os fatores e as respostas do processo (Saramago, 2006). • Gráfico dos resíduos; • Coeficiente de determinação; • ANOVA • etc. . .

EXEMPLO_1: Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio.

; Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio. • Variáveis de entrada : Força, ngulo • Variável de saída: Ep • Níveis do fatores: Força: 80 (baixo), 100 (alto) e 90 (centro) ngulo 5 (baixo), 85 (alto) e 45 (centro) • Matriz de planejamento experimental (real e codificada): Realização dos experimentos. k=2 ; 2^2 = 4 + 1 = 5 Variáveis de Entrada (real) Saída Ep(N. m) Variáveis de entrada codificada Força (N) ngulo (graus) Saída Ep(N. m) Força (N) ngulo (graus) 80 5 -1 -1 -13, 63 80 85 -1 +1 100 5 +1 -1 100 85 +1 +1 713, 60 -17, 98 663, 79 90 45 0 0 Codificação: N=2*(var-mean(var) / (max(var) - min(var); 133, 79

Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio. Utilizando o Statisfica Modelo linear - sem Interação Yr = bo + b 1*x 1 + b 2*x 2 Regr. Coefficients; Var. : Var 3; R-sqr=, 93785; Adj: , 75141 (Spreadsheet 1) 2**(2 -0) design; MS Residual=33101, 32 DV: Var 3

Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio. Utilizando o Statisfica

Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio. Utilizando o Statisfica Yr = bo + b 1*x 1 + b 2*x 2 + b 3*x 1*x 2 Modelo com Interação Yr = bo + b 1*x 1 + b 2*x 2 + b 3*x 1*x 2 Regr. Coefficients; Var. : Var 3; R-sqr=, 93785; Adj: , 75141 (Spreadsheet 1) 2**(2 -0) design; MS Residual=33101, 32 DV: Var 3

Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio. Utilizando o Statisfica

Resultados e Discussão - Matlab! yr 1 = 295, 906 - 13, 530*x 1 + 352, 260*x 2 r^2 =0, 9370920; r_adjust^2 =0, 8741

Resultados e Discussão - Matlab!

Resultados e Discussão - Matlab!

Resultados e Discussão - Matlab! coef_det_2 = 0. 938067711622286 coef_det_2_ajust = 0. 752270846489143 yr 1 = 295, 906 - 13, 530*x 1 + 352, 260*x 2 – 11, 37*x 1*x 2

ANÁLISE DO MODELO: • Melhor modelo ? • O modelo representa o sistema? • O modelo satisfaz os requisitos da ANOVA - Suposições válidas ? - Etc. .

O modelo representa o sistema?

Superfície de Resposta Quadrática Planejamento 22 em estrela Gira 45 graus em relação origem Planejamento 22 em estrela A B y -1 80 5 -13, 63 1 -1 100 5 -17, 88 -1 1 80 85 713, 60 1 1 100 85 663, 79 0 0 90 45 133, 79 -2^1/2 0 75, 86 45 158, 79 0 2^1/2 90 101, 57 980, 14 2^1/2 0 104, 14 45 108, 80 0 -2^1/2 90 -11, 56 65, 37 X 1 -1 y Variáveis codificadas Variáveis reais Vamos ajustar ao modelo_2: yr 2 =bo +b 1*x 1 + b 2*x 2 + b 3*x 1^2 +b 4*x 2^2+ b 5*x 1*x 2 No Statistic – central composite non-factorial Matlab

Resultados e Discussão: yr 2 = 133, 79 - 15, 60*x 1 - 337, 84*x 2 + 2, 042*x 1^2 + 196, 52*x 2^2 - 11, 37*x 1*x 2 coef_det_2 = 0, 9983 z=98; 516998259962 -15; 635100878547*x+19; 475109234023*x^2 +338; 34729570472*y+215; 09859823918*y^2 -11; 39*x*y+0;

Resutados e Discussão: O modelo_3 SR real yr 2 =193, 04 - 3, 95*A – 0, 049*B + 0, 02*A^2 + 0, 122*B^2 – 0, 0284*A*B coef_det_2 = 0, 9983 O modelo_3 representa melhor o sistema! Ver SR para ver mínimo de Ep!

Análise dos resíduos Modelo_3 1 - A variância do erro experimental é a mesma em todos os tratamentos ?

Análise dos resíduos Modelo_3 2 - Os erros experimentais são independentes ? 3 - Erro experimental tem distribuição normal?

“VALIDADE ESTATÍSTICA DUM MODELO” ANOVA dos modelo proposto.

Regressão Múltipla: teste sobre o modelo E{Y} = 0 + 1 X 1 + 2 X 2 +. . . + k. Xk H 0: 1 = 2 =. . . = k = 0 Sob H 0 e considerando as suposições do modelo, f tem distrib. F com g. l. k (no num. ) e (n-k-1) (no denom. ) Estatística do Teste: Se a Razão (SQR/SQE) > f Modelo é válido estatísticamente! Rejeita Ho

VALIDADE ESTATÍSTICA DOS MODELOS: Tabela ANOVA para Modelo_1: (p=3; k=2 e n=5). yr 1 = 21, 383 - 1, 353*A + 8, 8*B Fonte de Variação SQ Número de graus de Liberdade MQ Regressão 497080 2 248540 Resíduos 33369 5 -3 = 2 16684 Total 530450 5 -1 = 4 14, 89 18, 99 Razão (SQR/SQE) F (0, 95) Razão (SQR/SQE) < F Modelo inválido estatísticamente! Aceita Ho Tabela ANOVA para Modelo_2: (p=4; k=3 e n=5). yr 1 = 295, 906 - 13, 530*x 1 + 352, 260*x 2 – 11, 37*x 1*x 2 Fonte de Variação SQ Número de graus de Liberdade MQ Regressão 497598 3 165866 Resíduos 32851 5 -4 =1 32851 Total 530450 5 -1 = 4 5, 04 215 Razão (SQR/SQE) F (0, 95) Razão (SQR/SQE) < F Modelo inválido estatísticamente! Aceita Ho

VALIDADE ESTATÍSTICA DOS MODELOS: Tabela ANOVA para Modelo_3: (p=6, k =5 e n=9). yr 2 = 133, 79 - 15, 60*A - 337, 84*B + 2, 042*A^2 + 196, 52*B^2 - 11, 37*A*B Fonte de Variação SQ Número de graus de Liberdade MQ Regressão 1101889 5 220377 Resíduos 1831 9 -6 = 3 610 Total 1103720 9 -1 = 8 361, 07 9, 013 Razão (SQR/SQE) F (0, 95) Razão (SQR/SQE) > F Modelo válido estatísticamente! Rejeita Ho

EXERCÍCIO PROPOSTO: Um Planejamento Fatorial 23 yr = bo +b 1*x 1 +b 2*X 2 + b 3*X 3 Matriz de Planejamento Fatores (-1) (0) 1 Força (N) 80 100 90 2 ngulo(graus) 5 85 45 3 Peso (N) 300 400 350 3 -1 -1 1 1 0 Ep -14, 58 -18, 93 485, 39 435, 58 -13, 62 -17, 98 713, 60 663, 79 97, 18 Experimentos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -1 1 0 2 -1 -1 1 1 0 yr = 258, 9 -13, 5*X 1 + 295, 43*X 2 + 57, 2 *X 3 Effect Estimates; Var. : Var 5; R-sqr=, 92804; Adj: , 88486 (Spreadsheet 1) 2**(3 -0) design; MS Residual=11258, 27 DV: Var 5

EXERCÍCIO PROPOSTO: Um Planejamento Fatorial 24 Matriz de Planejamento 1 2 Fatores Força (N) ngulo(graus) (-1) 80 5 (1) 100 85 (0) 90 45 3 Peso (N) 300 400 350 4 Comprimento (m) 1 2 3 Experimentos 1 2 3 4 1 -1 -1 2 1 -1 3 -1 1 4 1 1 5 -1 -1 yr = bo +b 1*x 1 +b 2*X 2 + b 3*X 3 + b 4*X 4 6 1 -1 7 -1 1 8 1 1 9 -1 -1 10 1 -1 1 12 1 1 13 -1 -1 14 1 -1 15 -1 1 16 1 1 17 0 0 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 Ep (Nm) -5, 83 -7, 57 194, 16 174, 23 -5, 45 -7, 19 285, 44 265, 52 -17, 49 -22, 72 582, 47 522, 70 -16, 35 -21, 58 856, 33 796, 55 77, 75

yr = bo +b 1*x 1 +b 2*X 2 + b 3*X 3 + b 4*X 4 yr = 214, 76 -10, 83 *x 1 +236, 34*X 2 + 45, 83*X 3 + 111, 66*X 4 Regr. Coefficients; Var. : Var 5; R-sqr=, 79267; Adj: , 72356 (Spreadsheet 7) 2**(4 -0) design; MS Residual=24603, 25 DV: Var 5

EXEMPLO_2: Vamos analisar o efeito da concentração e catalisador no rendimento de uma reação. Analisar o efeito da concentração de um reagente e a quantidade de catalisador na conversão de uma reação? X 1 = [A] ; X 2 = [cat] Niveis de [A] = 15 e 25 % ; Niveis de [cat] = 1 porção e 2 porções Variáveis de entrada codificada [A]) [cat] -1 -1 -1 +1 +1 Saída Rend (%) yr 1 = bo + b 1*x 1 + b 2*x 2 z=82; 5+12; 5*x-7; 5*y+2; 5*x*y+0;

Analisar o efeito da concentração de um reagente e a quantidade de catalisador na conversão de uma reação? X 1 = [A] ; X 2 = [cat] Niveis de [A] = 15 e 25 % ; Niveis de [cat] = 1 porção e 2 porções Variáveis de entrada codificada Saída [A]) [cat] Rend (%) -1 -1 -1 +1 28 25 27 26, 26 36 32 32 33, 33 18 19 23 31 30 29 +1 -1 20 +1 +1 30 Variáveis de entrada - real 1 EXP / replica / treplica Saída [A]) [cat] Rend (%) 15 1 26, 26 25 1 33, 33 15 2 20 25 2 30 codificada: z=27; 3975+4; 2675*x-2; 3975*y+0; Real z=17; 52+ ; 8535*x-4; 795*y+0; Regr. Coefficients; Var. : Var 3; R-sqr=, 9781; Adj: , 93429 (Spreadsheet 15) 2**(2 -0) design; MS Residual=2, 146225 DV: Var 3

Importância do grafico de contorno: Podemos ver que o rendimento aumenta com a concentração do reagente e diminui com a porção de catalizador !

EXEMPLO_3: Vamos analisar o efeito da Temperatura, Pressão e Concentração no rendimento de uma reação.

Exemplo _3: Regression Analysis of a 23 Factorrial Design

Resultados e Discussão: Modelo: yr = bo + b 1*x 1 + b 2*x 2 + b 3*x 3 razao_f_2 = 34. 703858670385870 beta 2 = 51. 00000000 5. 625000000 10. 625000000 1. 125000000 Modelo: yr = bo + b 1*T + b 2*P + b 3*C beta 2 = 22. 31250000114 0. 150000000 5. 3124999996 0. 2250000001

Propor y = b 0 + b 1*N 1 + b 2*N 2 + b 3*N 3 + b 4*N 1*N 2*N 3 razao_f_2 = beta 2 = 23. 660404624277454 51. 00000000 5. 625000000 10. 625000000 1. 125000000 0. 625000000

Propor y = b 0 + b 1*N 1 + b 2*N 2 + b 3*N 3 + b 4*N 1*N 2 + b 5*N 1*N 3 + b 6*N 2*N 3 razao_f_2 = 11. 892097264437691 beta 2 = 51. 00000000 5. 625000000 10. 625000000 1. 125000000 -0. 875000000 0. 125000000 -0. 375000000

Propor y = b 0 + b 1*N 1 + b 2*N 2 + b 3*N 3 + b 4*N 2

y = b 0 + b 1*N 1 + b 2*N 2 + b 3*N 3 + b 4*N 1*N 2 + b 5*N 2*N 3 beta 2 = 51. 00000000 5. 625000000 10. 625000000 1. 125000000 -0. 875000000 -0. 375000000