I chicchi di riso e la sfida al

I chicchi di riso e la sfida al Bramino Progetto: “Con la mente e con le mani” Gruppo di lavoro: “il numero più grande” dei proff. Bernardi, Fioravanti, Tarallo Presentano: gli alunni della classe IC I. C. Via Giuliano da Sangallo A. S. 2013 -2014

M@tabel: i chicchi di riso La “bizzarra” richiesta del Bramino: Øuna ricompensa in chicchi di riso su una scacchiera di 64 caselle; Øi chicchi si raddoppiano di casella in casella. Lorenzo e Sara

M@tabel: i chicchi di riso 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 Laura e Miriam

M@tabel: i chicchi di riso 263 è già un numero enorme… poi gli dobbiamo sommare anche 262, 261 ecc. Sono tanti numeri, e tanto grandi! AIUTOOOO!!!! Sara

Somme di potenze di 2 Scoperta della regolarità per verifica empirica: Potenze di 2 Somme di potenze di 2 20 = 1 1 21 = 2 3 22 = 4 7 23 = 8 15 24 = 16 31 25 = 32 63 26 = 64 127 Iris

M@tabel: i chicchi di riso Chicchi totali in 64 caselle 64 S 2(64) = 2 – 1 = 18. 446. 744. 073. 709. 551. 615 19 (circa 1, 84 × 10 ) Circa 18 miliardi di miliardi Sabrina

Sfida al Bramino DOMANDA: Se dimezziamo le caselle (32 anziché 64) e raddoppiamo la base (4 anziché 2) otteniamo una quantità totale di riso maggiore o minore di quella richiesta dal Bramino? Martina

Metà scacchiera riempita con le potenze di 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 Alex

Sfida al Bramino Le potenze di 4 sono anche potenze di 2. In particolare le potenze di 4 sono potenze di 2 con esponente pari: 20 = 4 0 = 1 22 = 4 1 = 4 24 = 42 = 16 26 = 43 = 64 28 = 44 = 512 …

Sfida al Bramino Considerare solo 32 caselle e riempirle con le potenze di 4 da 40 a 431 equivale a riempire tutte le 64 caselle con le potenze di 2 da 20 a 263 e poi cancellare quelle con esponente dispari. Gabriele

Partiamo dalla scacchiera delle potenze di 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

…cancelliamo le potenze con esponente dispari 20 28 216 224 232 240 248 256 22 210 218 226 234 242 250 258 24 212 220 228 236 244 252 260 26 214 222 230 238 246 254 262

…otteniamo la semi-scacchiera delle potenze di 4 40 44 48 412 416 420 424 428 41 45 49 413 417 421 425 429 42 46 410 414 418 422 426 430 43 47 411 415 419 423 427 431

Sfida al Bramino Quindi: S 4(32) < S 2 (64) I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono in numero minore dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2 … oppure: la somma delle potenze di 4 da 40 a 431 è minore della somma delle potenze di 2 da 20 a 263. Simona

Sfida al Bramino S 4(32) < S 2 (64) Minore sì, ma quanto minore? S 4(32) =S 2 (64) : 3 I chicchi sulla semi-scacchiera delle potenze di 4 sono 1/3 dei chicchi sulla intera scacchiera delle potenze di 2.

Sfida al Bramino Motivazione empirica: per ottenere le potenze di 4 ho cancellato le colonne di potenze di 2 con esponente dispari; ciascuna colonna che ho cancellato ha valore doppio rispetto alla colonna alla sua sinistra che ho conservato. Quindi: ho cancellato una quantità doppia di quella rimasta, che quindi sarà un terzo del totale. Nicholas

Infatti… Se tolgo dalla quantità totale una quantità doppia di quella che rimane allora la quantità che rimane sarà un terzo della quantità totale. Scusate il gioco di parole!

Torniamo alla scacchiera delle potenze di 2… 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 Dario

… lasciamo solo le potenze con esponente multiplo di 3 20 224 248 29 233 257 23 218 242 227 251 212 236 260 26 221 245 230 254 215 239 263

…otteniamo la scacchiera delle potenze di 8 80 88 816 83 811 819 81 86 814 89 817 84 812 820 82 87 815 810 818 85 813 821

La scacchiera delle potenze di 2 Martina

La scacchiera delle potenze di 2 e 4

La scacchiera delle potenze di 2 e 8

La scacchiera delle potenze di 2, 4 e 8

Considerazioni finali Potenze di 2 e di 4 ØTutte le potenze di 4 sono anche potenze di 2. ØSolo le potenze di 2 con esponente pari sono anche potenze di 4. ØPer ricavare una potenza di 4 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 2 l'esponente. es. 43 = 26 perché 43 = (22)3 = 26

Considerazioni finali Potenze di 2 e di 8 ØTutte le potenze di 8 sono anche potenze di 2. ØSolo le potenze di 2 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8. ØPer ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 2 bisogna dividere per 3 l'esponente. es. 83 = 29 perché 83 = (23)3 = 29

Considerazioni finali Potenze di 4 e di 8 ØSolo le potenze di 8 con esponente pari sono anche potenze di 4. ØSolo le potenze di 4 con esponente multiplo di 3 sono anche potenze di 8. ØPer ricavare una potenza di 8 a partire da una potenza di 4 bisogna dividere per 3 l'esponente e poi moltiplicarlo per 2. es. 84 = 46 perché 84 = (4× 2)4 = 44× 24 = 44× 42 = 46 Valeria

Grazie! Hanno esposto i materiali: Flavia, Alex, Daria, Olivia, Eleonora, Nimasha, Loubna, Melania, Martina.