Hyperbelfunktionen Simone Kopp RuprechtKarlsUniversitt Heidelberg PS Analysis WS

Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter

Inhalt �Motivation �Hyperbelfunktionen �Zusammenhang �Umkehrfunktionen �Geometrische Definition

Bedeutung von Hyperbel �Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein übertreffen –

Anwendung �Spinnweben �Kettenlinie: ◦ Griechische Tempelsäulen ◦ Hochspannungsleitungen ◦ Stahlseile

Kettenlinie �Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus-Hyperbolicus Funktion �Kettenlinie = Seilkurve

Kettenlinie y -Achse a x -Achse a = positive Konstante

Hyperbelfunktionen ◦ ◦ Kosinus Hyperbolicus (cosh) Sinus Hyperbolicus (sinh) Tangens Hyperbolicus (tanh) Cotangens Hyperbolicus (coth) ◦ Sekans Hyperbolicus (sech) ◦ Kosekans Hyperbolicus (csch)

Kosinus Hyperbolicus � �Gerade Funktion f(x)=f(-x) �Def. bereich: – ∞ < x < +∞ �Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞

Sinus Hyperbolicus � �Ungerade Funktion f(x)=-f(-x) �Def. bereich: – ∞ < x < +∞ �Wertebereich: – ∞ < f(x) < +∞

Tangens Hyperbolicus � �Def. bereich: – ∞ < x < +∞ �Wertebereich: – 1 < f(x) < +1

Cotangens Hyperbolicus � �Def. bereich: – ∞ < x < +∞ ; x ≠ 0 �Wertebereich: – ∞ < f(x) < – 1 ; 1 < f(x) < + ∞

Zusammenhang Additionstheoreme:

Zusammenhang �Differentiationsformeln: ◦ ◦

Zusammenhang �Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw

Umkehrfunktionen �werden Areafunktionen genannt (lat. area –Fläche) ◦ ◦ Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh) Area Sinus Hyperbolicus (arsinh) Area Tangens Hyperbolicus (artanh) Area Cotangens Hyberbolicus (arcoth)

Umkehrfunktionen

Einheitshyperbel/Einheitskreis

Geometrische Definition tanh(a)

Einheitshyperbel

Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

Einheitshyperbel- sinh & cosh sinh cosh Argument

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