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基礎數學 淡江大學 資訊管理系 侯 永 昌 http: //mail. im. tku. edu. tw/~ychou ftp: //mail. im. tku. edu. tw/Prof_Hou

教科書：Discrete Mathematics, 5 th Edition，by J. A. Dossey, A. D. Otto, L. E. Spence and C. V. Eynden， Pearson Education出版， 滄海書局總經銷 淡江大學資訊管理系侯永昌 1

第九章 遞迴關係與生成函數 (Recurrence Relations and Generating Function)

遞迴關係(recurrence relation) § 例：sn = 3 sn-1 – 1，s 0 = 2，則 c = b/(a-1) = -1/(3 -1) = -1/2 sn = an(s 0 + c) – c = 3 n(2 – 1/2) + 1/2 = (3/2)(3 n) + 1/2 = (3 n+1 + 1)/2 § 例(p. 14)：Bn = 1. 01 Bn-1 - 2000，B 0 = 175000，則 c = b/(a-1) = -2000/(1. 01 -1) = -2000/0. 01 = -200000 Bn = an(B 0 + c) – c = 1. 01 n(175000 – 200000) + 200000 = -25000(1. 01 n) + 200000 § 10年(120期)後的貸款餘額為B 120 = -25000(1. 01120) + 200000 = 117490 淡江大學資訊管理系侯永昌 24

遞迴關係(recurrence relation) § 證明：假設 r 1 和 r 2 分別為 x 2 - ax - b = 0 的兩 個解，則 r 12 - ar 1 - b = 0, r 22 - ar 2 - b = 0 sn = c 1 r 1 n + c 2 r 2 n = c 1 r 1 n-2 r 12+ c 2 r 2 n-2 r 22 = c 1 r 1 n-2(ar 1 + b) + c 2 r 2 n-2(ar 2 + b) = ac 1 r 1 n-1 + bc 1 r 1 n-2 + ac 2 r 2 n-1 + bc 2 r 2 n-2 = a(c 1 r 1 n-1 + c 2 r 2 n-1 ) + b(c 1 r 1 n-2 + c 2 r 2 n-2 ) = asn-1 + bsn-2 得證 淡江大學資訊管理系侯永昌 29