http blog ub ac idfuatmuzaki KALKULUS MATRIKS MATRIKS

http: //blog. ub. ac. id/fuatmuzaki KALKULUS MATRIKS

MATRIKS q Adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris / kolom atau susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. q Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n. q Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah:

MATRIKS q Contoh : Matriks A merupakan matriks 4 x 2 q Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur. q Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A = [a. Ij]. q Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n x n

JENIS-JENIS MATRIKS q Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n x n q Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol q Matriks baris adalah matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu baris

JENIS-JENIS MATRIKS q Matriks kolom adalah matriks yang entri atau elemennya tersusun dalam tepat satu kolom. q Matriks identitas ? ? q Matriks segitiga atas Matriks segoitiga bawah

OPERASI MATRIKS q Penjumlahan matriks A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. q Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. q Contoh : q Matriks segitiga atas Matriks segoitiga bawah

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKS q Pengurangan matriks A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. q Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan. q Contoh : q Matriks segitiga atas Matriks segoitiga bawah

OPERASI MATRIKS

OPERASI MATRIKS q Perkalian matriks Jumlah kolom matriks A harus sama dengan jumlah baris matriks B q Hasil perkalian matriks A yang berordo m x n dengan matrks B yang berordo n x k adalah matriks yang berordo m x k q Contoh :

OPERASI MATRIKS

TRANSPOSE MATRIKS q Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya. q Contoh : matriks A : transposenya : A = q Matriks simetrik dapat terjadi bila terdapat matriks A = A

OPERASI MATRIKS

TRASE MATRIKS A=[aij], i=1, 2, . . . , n dan j=1, 2, . . . , n {harus matrik bujur sangkar} Trase(A)=a 11 + a 22 + …+ ann {penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama} A= , trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1

Sifat-sifat Operasi Matrik Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A+B=B+A {sifat komutatif} (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif} A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan} A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik} k(A+B)=k. A+k. B {sifat distributif terhadap skalar k} (k+l)A=k. A+l. A {sifat distributif terhadap skalar k dan l} (kl)A=k(l. A) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} 1 A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor

Sifat-sifat Operasi Matrik 9. 10. 11. 12. 13. AB BA {tidak berlaku komutatif perkalian} (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif} AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian} AO=OA=O {sifat matrik nol} (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} 14. Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau BA=O 15. (k. A)B=k(AB)=A(k. B)

Sifat-sifat Operasi Matrik Contoh AB BA Sehingga: AB BA

Sifat-sifat Operasi Matrik Contoh AB=0 & BA O , berarti AB=O Tetapi , berarti BA O

Sifat-sifat Operasi Matrik 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. trase(A+B) = trase(A) + trase(B) trase(AT) = trase(A) trase(k. A) = k trase(A) trase(Inxn) = n A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik} (k. A)T=k. AT An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0 25. Ar. As=Ar+s, jika r dan s bilangan asli 26.

DETERMINAN Determinan Matriks Persegi Berordo 2 Matriks A = Determinan matriks A adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal samping. Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc

CONTOH Jika A = maka det A = = ( 1)(4) – (2)(-3) = 4 +6 = 10

LATIHAN Jika A = maka det A = Jika B = maka det B = Jika C = maka det C =

INVERS MATRIK c b

LATIHAN Jika A = Maka Jika B = maka Jika C = maka

DET. MATRIK 3 X 3 Determinan Matriks Persegi Berordo 3 Matriks A = det A =

CONTOH

LATIHAN Tentukan determinannya