Hoofdstuk 7 Logische Bepalingen Logische bepalingen q Een

Hoofdstuk 7: Logische Bepalingen

Logische bepalingen q Een poging om het redeneren in de predicatenlogica te automatiseren door de formules te standaardiseren 4 Prenexnormaalvorm 4 Skolemnormaalvorm 4 Clausale normaalvorm 4 Kowalskinormaalvorm 4 Hornbepalingen 4 Prologbepalingen

Prenexnormaalvorm q Stelling: Elke welgevormde formule kan getransformeerd worden in een equivalente Prenex-conjunctieve normaalvorm

Bewijs

Eliminatie van implicaties

Verschuiven van negaties

Verschuiven van quantoren

Distributie van disjunctie over conjunctie

Voorbeeld

Skolemnormaalvorm q Stelling (Skolem): Elke Prenexnormaalvorm M kan getransformeerd worden in een Skolemnormaalvorm M´ zodanig dat M´ onvervulbaar is als en slechts als M onvervulbaar is

Bewijs q Maak van de Prenexnormaalvorm een gesloten vorm door de existentiële sluiting te nemen q Verschuif de quantoren zover mogelijk naar rechts q Elimineer de existentiële quantoren (skolemisatie) q Verschuif de quantoren terug naar links q M onvervulbaar M’ onvervulbaar

Verschuiven van quantoren

Elimineer de existentiële quantoren (Skolemisatie)

M onvervulbaar M’ onvervulbaar Bewijs M ovv M’ ovv M ovv M’ vv M vv

Clausale normaalvorm

Definities q Een bepaling is een eindige disjunctie van gegevens q Een bepalingenverzameling is een eindige conjunctie van bepalingen q Een eenheidsbepaling is een bepaling die slechts uit één enkel gegeven bestaat

Definities q Een positieve bepaling is een bepaling die enkel uit positieve gegevens bestaat q Een negatieve bepaling is een bepaling die enkel uit negatieve gegevens bestaat

Voorbeelden

Herbrandinterpretatie q Syntactisch domein: herbranduniversum

Herbranduniversum

Herbranduniversum q Herbranduniversum: meest algemeen interpretatiedomein + aftelbaar q HB = Herbrandbasis: verzameling van alle syntactisch correcte grondatomen

Herbrandinterpretatie q Een Herbrandinterpretatie is een syntactische interpretatie die het Herbranduniversum als domein gebruikt, en waarbij elke grondterm door zichzelf voorgesteld wordt

Herbrandinterpretatie Voor clausale normaalvorm: interpretatie = deelverzameling van HB

Stellingen q Stelling 1: Indien een formule M een model M bezit, dan moet deze formule ook een Herbrandmodel bezitten

Stelling van Herbrand Een formule in clausale normaalvorm is onvervulbaar als en slechts als er een eindige conjunctie van grondbepalingen bestaat die onvervulbaar is

Idee achter de stelling van Herbrand

Noodzaak van clausale vormen

Davis en Putman q Probeer de vervulbaarheid van een conjunctie van grondbepalingen aan te tonen 4 kies de eenheidsbepalingen waar 4 kies de gegevens die enkel positief of negatief voorkomen waar 4 kies voor de andere gevallen waar of vals (2 gevallen)

Davis en Putnam

Davis en Putnam q Geen contradictie, dus: deze verzameling is vervulbaar

Davis en Putnam

Davis en Putnam q Contradictie, dus: hele theorie is onvervulbaar

Grondresolutieregel q Grondresolutie is een mechanisme om twee bepalingen met elkaar te combineren en aldus een derde bepaling (resolvente) af te leiden die een logisch gevolg van de twee originele bepalingen is

Grondresolutieregel q Gegeven twee bepalingen met een gemeenschappelijk atoom C, geldt q Speciale gevallen:

Grondresolutiestelling Een eindige bepalingenverzameling van grondbepalingen is onvervulbaar als en slechts als de lege bepaling kan afgeleid worden door herhaald toepassen van de grondresolutieregel met factorisatie

Grondresolutie Toepassing van grondresolutie op g(0)

Grondresolutie Geen lege bepaling: verzameling vervulbaar

Grondresolutie op g(0), g(s(0)) en g(s(s(0))): bepalingenverzameling onvervulbaar

Resolutie (Robinson 1965) Verschillen 1. met bepalingen i. p. v. grondbepalingen 2. hergebruik van bepalingen 3. Constructie van geschikte grondbepalingen

Expressie q Een expressie is een term, een gegeven, of een conjunctie of disjunctie van gegevens

Unificeerbaarheid Twee expressies zijn unificeerbaar indien ze minstens één gemeenschappelijke grondexpressie hebben (´meest algemene´ gemeenschappelijke expressie)

Substitutie Een substitutie is een eindige verzameling van bindingen vi / ti waarbij vi V, vi ti en alle vi verschillend zijn. Een substitutie wordt een grondsubstitutie genoend indien alle ti grondtermen zijn. Een substitutie wordt een veranderlijkensubstitutie genoemd indien alle ti V.

Instantie

Substituties

Substituties E wordt een variant van F genoemd indien er twee substituties en bestaan zodat E = F en F = E. In dat geval zullen veranderlijkensubstituties zijn

Unificator

Unificatie-algoritme

Resolutieregel

Resolutiealgoritme q Pas de resolutieregel toe en voeg de resolventen toe aan de verzameling van bepalingen totdat de lege bepaling gevonden wordt of totdat de resolutie regel niet langer kan toegepast worden

Factorisatie

Resolutiealgoritme q Stelling (Robinson): Een formule in clausale normaalvorm kan afgeleid worden door herhaalde toepassing van de resolutieregel met factorisatie

Vereenvoudigingsregels

Subsumptie

Resolutiestrategiën q Of-keuze en en-keuze q Compleetheid q Kernverzameling met geldige axioma’s q Refutatie: indien P een logisch gevolg is van S dan moet onvervulbaar zijn

Resolutiestrategieën q P 1 resolutie: alle positieve bepalingen in de kernverzameling of N 1 resolutie: alle negatieve bepalingen in de kernverzameling. Compleet q Invoerresolutie: alle axioma’s in de kernverzameling. Niet compleet: geen resolutie tussen resolventen q Lineaire resolutie: recentste resolvente in de kernverzameling. Compleet

Zoekregel en selectieregel q Zoekregel: of-keuze q Selectieregel: en-keuze (ongebonden, vast, geordend)

Voorbeeld

Clausale normaalvorm

Resolutie

Kowalskinormaalvorm Antecedent, Consequent q Stelling: Elke clausale normaalvorm kan getransformeerd worden naar een Kowalskinormaalvorm, met behoud van de onvervulbaarheidseigenschap

Bewijs

Voordelen i. v. m. de leesbaarheid zal omgezet worden in

Voordelen i. v. m. de leesbaarheid

Hornbepalingen

Hornbepalingen q Niet alle theorieën kunnen uitgedrukt worden in Hornbepalingen q Voor diegene die wel kunnen uitgedrukt worden, blijft de onvervulbaarheidseigenschap bewaard

Resolutiestrategieën q P 1 resolutie: alle positieve bepalingen (feiten) in de kernverzameling of N 1 resolutie: alle negatieve bepalingen (doelen) in de kernverzameling. Compleet, dus: minstens 1 feit en 1 doel nodig

Resolutiestrategieën q Invoerresolutie: nu wel compleet omdat er minstens 1 feit moet zijn q Lineaire resolutie: recentste resolvente (doel) in de kernverzameling. Variante op N 1 die alle doelen bevat

Definiete bepalingen q Bij de definiete bepalingen wordt er een onderscheid gemaakt tussen de bepalingen die deel uitmaken van een programma, en van het doel dat men wenst te bewijzen

Definiet programma q Een definiet programma is een eindige verzameling van definiete bepalingen

Definiete bepaling q Een definiete bepaling is een bepaling van de vorm waarbij het geval n=0 eenheidsbepaling genoemd wordt, en genoteerd wordt als

Predicaat q Gegeven een definiet programma, wordt de definitie van een predicaat p gevormd door alle definiete bepalingen waarvan het predicaatsymbool in het consequent p is

Definiet doel q Een definiet doel is een bepaling van de vorm q De atomen Bi worden subdoelen genoemd

Herbrandmodel q Het consequent van een bepaling is steeds een positief gegeven q Bij uitbreiding van het Herbrandmodel is contradictie onmogelijk q Herbrandbasis is steeds een model q Doorsnede van alle modellen wordt het kleinste herbrandmodel genoemd (bedoelde interpretatie)

van Emden en Kowalski

Antwoord q Gegeven en definiet programma P en een definiet doel D is een antwoord een substitutie voor de veranderlijken van D

Correct antwoord q Gegeven een definiet programma P en een definiet doel D is een correct antwoord voor D een substitutie waarvoor geldt dat voor alle grondinstantiëringen D’ van

Resolvente voor definiete bepalingen

SLD-afleiding

SLD-refutatie

Succesverzameling

Berekend antwoord

Correctheid van de SLD-resolutie q Gegeven een definiet programma P is een berekend antwoord voor D ook een correct antwoord voor D

Compleetheid van de SLD-resolutie

En-keuze: de selectieregel q Een selectieregel R is een functie die uit een definiet doel een bepaald atoom selecteert

En-keuze: de selectieregel q Stelling:

En-keuze: de selectieregel q Gevolg

Of-keuze: SLD-boom

Of-keuze: SLD-boom 1. Elke knoop is een definiet doel (mogelijk leeg) 2. D is de wortel van de boom 3. Elke niet-lege knoop heeft als kinderen alle mogelijke resolventen. Het geselecteerde atoom wordt vastgelegd door de selectieregel Tak van de boom: mogelijke resolutiestap

Voorbeeld

SLD-boom p(x, b) q(x, y), p(y, b) {x/b} p(b, b) q(b, u), p(u, b) {x/a}

Succesknoop q Een succesknoop is een knoop met een lege bepaling q Stelling: Gegeven een definiet programma P en een definiet doel D geldt dat alle SLD-bomen ofwel oneindig veel succesknopen hebben, ofwel allemaal hetzelfde aantal

p(x, b) SLD-boom q(x, y), p(y, b) q(x, y), q(y, u), p(u, b). . . {x/b} q(x, b) q(x, y), q(y, b) {x/a} q(x, a)

Zoekregel q Een zoekregel is een strategie om de SLD-boom te doorlopen op zoek naar succesknopen. Een zoekregel is een implementatie van de of-keuze q Eerlijke (breedte eerst) en oneerlijke (diepte-eerst) zoekregels

Prologbepalingen q Regel: q Feit: q Doel: p: -p 1, …, pn. p. : -p 1, …, pn.

Voorbeeld