HOME TUJUAN MATERI LATIHAN HIBURAN PENUTUP PROFIL Pengertian
HOME TUJUAN MATERI LATIHAN HIBURAN PENUTUP PROFIL
Pengertian Rumus Turunan Gradien & Persamaan Garis Singgung Aturan Diferensiasi Dalil Rantai Turunan Fungsi Trigonometri MATERI Fungsi Naik & Turun Fungsi Nilai Max & Min Nilai Stasioner Aplikasi turunan
TUJUAN v Peserta didik mampu menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi v Peserta didik mampu menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah v Peserta didik mampu merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi v Peserta didik mampu menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya
1. DIFERENSIAL (TURUNAN) Diferensial sering juga disebut dengan turunan. Turunan dapat ditemukan dalam bidang matematika, sains, ekonomi, dan sebagainya. 1. Pengertian Turunan Pertama Turunan fungsi f(x) dinotasikan dengan f’(x). Jika f’(x) ada, maka :
Contoh 1. Tentukan f’(x) jika diketahui f(x) = x 2 Penyelesaian : f(x) = x 2 f(x + h) = (x + h)2 = x 2 + 2 xh + h 2 Sehingga 2. Tentukan f’(x) jika f(x) = 3 x – 4 Penyelesaian : f(x) = 3 x – 4 f(x + h) = 3(x + h) – 4 Sehingga = 3 = 2 x
2. Rumus Turunan Fungsi , di mana h ≠ 0 Misalkan Untuk, bentuk-bentuk yang mengandung x dan h Sehingga Jadi, jika
Contoh 1. Tentukan fungsi turunannya jika diketahui f(x) = x 2 + 5 Penyelesaian : f(x) = x 2 + 5, atau f(x) = x 2 + 5 x 0 (x 0 = 1) maka f’(x) = 2 x 2 -1 + 5(0. x 0 -1) = 2 x f’(x) = 2 x catatan: “turunan konstanta adalah nol” 2. Jika f(x) = 3 x 2 + 5, hitunglah f’(x) dan f’(5) Penyelesaian : f(x) = 3 x 2 + 5 f’(x) = 6 x f’(5) = 6(5) = 30
3. Menentukan Gradien dan Persamaan Garis Singgung y = 3 x 2 + 4 x - 5 Penyelesaian : y = 10 x – 8 2 (1, 2) Kurva y = 3 x 2 + 4 x – 5 adalah suatu parabola. (lihat gambar 1. 1 diatas) Gradien = -6 1 - 5 -8 Gambar 1. 1 Catatan: Titik (1, 2) harus terletak pada kurva y = 3 x 2 + 4 x – 5 Contoh : Tentukan gradien dan persamaan garis singgung kurva y = 3 x 2 + 4 x – 5 dititik (1, 2) = 6 x + 4, untuk x =1 = 6. 1 + 4 = 10, Jadi gradien m = 10 Persamaan garis melalui titik (1, 2) dengan gradien m = 10, adalah y – y 1 = m(x – x 1) y – 2 = 10(x – 1) = 10 x – 8 Jadi, persamaan garis singgung kurva dititik (1, 2) adalah y = 10 x – 8
4. Fungsi Naik dan Fungsi Turun Gambar 1. 2 menunjukkan kurva fungsi f(x) = x 2 – 1, dengan f’(x) = 2 x, 1. Untuk x = 0 maka f’(x) = 2(0) = 0. Berarti garis singgung kurva pada titik (0, -1) sejajar sumbu X. Titik (0, -1) merupakan titik balik parabola, sehingga dikatakan bahwa fungsi f tidak naik dan tidak turun. 2. Nilai stasioner f adalah f(0) = -1 Jika x >0 maka f’(x) > 0. Garis singgung kurva di tiap titik di mana x > 0 mempunyai gradien positif. Dengan demikian fungsi f naik untuk x > 0. 3. Jika x < 0 maka f’(x) < 0, dan dikatakan bahwa kurva fungsi f turun untuk x < 0, karena gradien garis singgung untuk x < 0 selalu negatif. y = x -1 -1 Gambar 1. 2 2 - 1
5. Nilai Stasioner Jenis-jenis titik stasioner: Titik belok jika f”(x) = 0 Titik balik maksimum jika f”(x) < 0 Titik balik minimum jika f”(x) > 0 Fungsi naik atau turun: titik balik maksimum + - + 0 titik balik X minimum f naik jika f’(x) > 0 f turun jika f’(x) < 0 nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f dalam suatu interval tertutup belum tentu merupakan nilai balik maksimum atau minimum f. Gambar 1. 4
Contoh Tentukan koordinat titik balik dan jenisnya untuk kurva lengkung y = x 3 – 6 x 2 + 9 x penyelesaian : y = x 3 – 6 x 2 + 9 x = 3 x 2 – 12 x + 9 Untuk = 0 maka 3 x 2 – 12 x + 9 = 0 x 2 – 4 x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Dari: x = 1; y = (1)3 – 6(1)2 + 9(1) = 1 – 6 + 9 = 4 maka koordinat titik balik (1, 4). x = 3 y = (3)3 – 6(3)2 + 9(3) = 27 – 54 + 27 = 0 maka koordinat titik balik (3, 0) = 6 x – 12 Untuk x = 1; = 6(1) – 12 = -6 < 0 koordinat titik balik maksimumnya ialah (1, 4) Untuk x = 3; = 6(3) – 12 = 6 > 0 Jadi, koordinat titik balik minimumnya ialah (3, 0) Untuk menyelidiki batas-batas x dimana kurva naik atau turun, maka dari bentuk 1) pada contoh, (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau x = 3 + - + 1 3 Selidiki untuk x = 4; (4 – 1)(4 – 3) = 3. 1 = 3 > 0 (positif) kurva naik pada {x|x < 1 atau x > 3}, dan kurva turun pada {x| 1 < x < 3}
6. Aturan Diferensiasi Ø Pada sub 2, telah kita ketahui sebagian dari aturan diferensiasi, yaitu: 1. Jika f(x) = cg(x) maka f’(x) = cg’(x), c = konstanta 2. Jika f(x) = g(x) ± h(x) maka f’(x) = g’(x) ± h’(x) 3. Jika f(x) = c (konstanta) maka f’(x) = 0 Ø Aturan-aturan diferensial dinyatakan dengan notasi “Leibniz” : 1. Jika y = axn, maka y’ = anxn – 1 2. Jika y = uv, maka y’ = vu’ + uv’ 3. Jika y = maka y’ = Contoh : Tentukan dari y = (2 x – 3)(x 2 – 1) Penyelesaian: y = (2 x – 3)(x 2 – 1) Misalkan u = 2 x – 3 dan v = x 2 – 1 u’ = 2 v’ = 2 x Jika y = uv maka y’ = vu’ + uv’ = (x 2 – 1)(2) + (2 x – 3)(2 x) = 2 x 2 – 2 + 4 x 2 – 6 x = 6 x 2 – 6 x – 2 Jadi, = 6 x 2 – 6 x – 2
7. Dalil Rantai Dalil rantai merupakan metode yang digunakan untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi majemuk atau fungsi komposisi. Secara umum: Jika f = g ₒ h atau f(x) = g(h(x)) maka f’(x) = g’(h(x)). h’(x) Atau Jika y = f(u) dan u = g(x) maka = . Contoh: Gunakan dalil rantai untuk memecahkan turunan dari fungsi y = (x 2 – 1)6 Penyelesaian: Misalkan u = x 2 – 1 = 2 x Untuk y = u 6 = 6 u 5 = 6(x 2 – 1)5 Jadi, = . = 6(x 2 – 1)5(2 x) = 12 x(x 2 – 1)5
8. Turunan Fungsi Trigonometri f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x f(x) = cos x, maka f’(x) = -sin x f(x) = tan x, maka f’(x) = sec 2 x f(x) = cotan x, maka f’(x) = -cosec 2 x • f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x. tan x • f(x) = cosec x, maka f’(x) = -cosec x. cotan c • • Contoh: Tentukan dari persamaan y = sin 2 x Penyelesaian: Dengan substitusi atau dalil rantai Misalkan: u = 2 x maka = 2 y = sin u = cos u = cos 2 x y’ = = . = (cos 2 x)(2) = 2 cos 2 x jika y = sin 2 x maka y’ = 2 cos 2 x
9. Pemakaian Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari Contoh: Carilah ukuran persegi panjang dengan keliling 100 meter, agar luasnya maksimum Penyelesaian: Andaikan p = panjang, l = lebar, serta A = luas, maka: A = p x l Karena kelilingnya 100 m, maka variabel p dan l dapat dinyatakan sebagai hubungan 2 p + 2 l =100 atau l = 50 – p Jika disubstitusikan kerumus luas diatas, akan diperoleh: A(p) = p(50 – p) A(p) = 50 p – p 2 Nilai p dan l masing-masing non negatif, sehingga variabel p terdapat pada interval 0 ≤ p ≤ 50 Penyelesaian berikutnya adalah : A’(p) = 50 – 2 p Untuk A’(p) = 0, maka 50 – 2 p = 0 p = 25 Luas mencapai maksimum A = 625 untuk p = 25, l = 25 Jadi, ukuran persegi panjang itu adalah 25 m 2.
10. Aplikasi Turunan dalam Bidang Ekonomi Penerapan penggunaan turunan parsial matematika pada kehidupan sehari-hari sangat banyak. Hampir semua bidang ada. Namun pada saat ini saya akan menjelaskan penggunaan turunan parsial dalam bidang ekonomi. Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total Para matematikawan mengenal biaya marjinal dengan turunan C terhadap x. Dengan demikian dapat didefinisikan : q Harga Marjinal sebagai q Pendapatan Marjinal sebagai q Keuntungan Marjinal sebagai
Contoh : Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + Biaya Marjinal 3, 25 x – 0, 0003 x 2 dengan jumlah persatuan x = Biaya marjinal = 1000. Tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal = 3, 25 – 0, 0006 x ? = 3, 25 – 0, 0006 (1000) = 2, 65 Penyelesaian : Biaya rata-rata = = = 6, 15 Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6, 15 x 1000 = Rp 6. 150, - Maka biaya marjinalnya yaitu 2, 65 x 1000 = Rp 2. 650, Dari hasil diatas dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp 6. 150, - untuk memproduksi seribu barang pertama dan hanya membutuhkan Rp 2. 650, - untuk membuat satu barang setelah barang ke seribu.
LATIHAN 1. Gunakan untuk menentukan turunan masing-masing fungsi pada nilai x yang berikut ini a. f(x) = x 2, pada x = 6 b. f(x) = 2 x, pada x = 4 2. a. Jika diketahui g(x) = 2 x 2 – 1, carilah g’(2) b. Jika diketahui f(x) = x 2 +6 x – 7, carilah f’(4) 3. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a. f(x) = x 3 – 7 x 2 + 2 b. h(x) = 6 - x 5 + x 9 4. tentukan gradien dan persamaan garis singgung setiap kurva berikut ini pada titik yang diberikan: a. y = 5 x, pada (-1, -5) b. y = x 2 – 3 x + 2, pada (1, 0) 5. Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya pada kurva dibawah ini a. y = (x 2 – 1)2 b. y = (x – 1)3
BAGAIMANAKAH KEPRIBADIAN ANDA ? ?
PERATURAN PERMAINAN 1. Katakan hal pertama yang muncul dikepala anda. 2. Kalau bisa mainkan bersama orang lain. 3. Jangan berusaha mengira-ngira jawaban 4. Jujurlah dengan diri sendiri 5. Bersiaplah 6. Jangan membaca lebih awal 7. Lihatlah reaksi orang(termasuk diri anda). 8. Tetaplah berpikiran terbuka
HIBURAN 1. Sebuah cangkir keramik putih polos siap kita hias dengan lapisan cat warna biru. pola seperti apakah yang akan kamu pilih? ? ? a. Garis a. garis b. Bulat b. bulat c. Garis Berombak c. garis berombak d. kotak seperti d. Kotak-Kotak Otak papan catur seperti Papan catur
HIBURAN 1. Sebuah cangkir keramik putih polos siap kita hias dengan lapisan cat warna biru. pola seperti apakah yang akan kamu pilih? ? ? a. Garis a. garis b. Bulat b. bulat c. Garis Berombak c. garis berombak d. Kotak-kotak Otak seperti Papan Catur Menggambarkan anda bisa memecahkan masalah dengan cepat dan tajam, tumpuan harapan dalam kesulitan
HIBURAN 1. Sebuah cangkir keramik putih polos siap kita hias dengan lapisan cat warna biru. pola seperti apakah yang akan kamu pilih? ? ? a. Garis a. garis b. Bulat b. bulat c. Garis Berombak c. garis berombak d. Kotak-Kotak Otak seperti Papan catur Menunjukan kemampuan artistik bahkan eksentrik, sedikit aneh tapi sering memiliki jawaban unik untuk pemecahan masalah
HIBURAN 1. Sebuah cangkir keramik putih polos siap kita hias dengan lapisan cat warna biru. pola seperti apakah yang akan kamu pilih? ? ? a. Garis a. garis b. Bulat b. bulat c. Garis Berombak c. garis berombak d. Kotak-Kotak Otak seperti Papan catur Punya segudang cinta untuk di sebarkan kepada semua orang disekitar
HIBURAN 1. Sebuah cangkir keramik putih polos siap kita hias dengan lapisan cat warna biru. pola seperti apakah yang akan kamu pilih? ? ? a. Garis a. garis b. Bulat b. bulat c. Garis Berombak c. garis berombak d. Kotak-Kotak Otak seperti Papan catur Selalu tampak seperti punya waktu dan perhatian untuk dibagikan kepada semua orang sehingga melupakan masalah sendiri
HIBURAN 2. Bayangkan ada banyak monster menyeramkan mengancam kota, menurut kamu, apa penyebab kemarahan mereka, kenapa monster-monster itu begitu liar? a. Mereka lapar dan mencari makanan. b. Mereka cuma mencari orang yang mereka sayangi yang hilang. c. Cuma karena mereka monster jelek yang cepat marah d. Mereka marah dengan dunia yang menyedihkan ini.
HIBURAN 2. Bayangkan ada banyak monster menyeramkan mengancam kota, menurut kamu, apa penyebab kemarahan mereka, kenapa monster-monster itu begitu liar? a. Mereka lapar dan mencari makanan. b. Mereka cuma mencari orang yang mereka sayangi yang hilang. c. Cuma karena mereka monster jelek yang cepat marah d. Mereka marah dengan dunia yang menyedihkan ini. Kamu sedang diet dan merasa agak menderita karenanya
HIBURAN 2. Bayangkan ada banyak monster menyeramkan mengancam kota, menurut kamu, apa penyebab kemarahan mereka, kenapa monster-monster itu begitu liar? a. Mereka lapar dan mencari makanan. b. Mereka cuma mencari orang yang mereka sayangi yang hilang. c. Cuma karena mereka monster jelek yang cepat marah d. Mereka marah dengan dunia yang menyedihkan ini. Cinta yang membuat kamu tertekan
HIBURAN 2. Bayangkan ada banyak monster menyeramkan mengancam kota, menurut kamu, apa penyebab kemarahan mereka, kenapa monster-monster itu begitu liar? a. Mereka lapar dan mencari makanan. b. Mereka cuma mencari orang yang mereka sayangi yang hilang. c. Cuma karena mereka monster jelek yang cepat marah d. Mereka marah dengan dunia yang menyedihkan ini. Kamu merasa kurang puas dengan penampilan
HIBURAN 2. Bayangkan ada banyak monster menyeramkan mengancam kota, menurut kamu, apa penyebab kemarahan mereka, kenapa monster-monster itu begitu liar? a. Mereka lapar dan mencari makanan. b. Mereka cuma mencari orang yang mereka sayangi yang hilang. c. Cuma karena mereka monster jelek yang cepat marah d. Mereka marah dengan dunia yang menyedihkan ini. Kamu adalah orang yang pesimis.
HIBURAN 3. Kamu sedang berjalan di galeri seni dengan santai dan berhenti di sebuah gambar. Kamu melihat dan memandang gambar itu cukup lama, kagum dan terpesona. Gambar seperti apakah itu? a. Potret diri b. Pelesetan dari sesuatu. c. Abstrak d. Lukisan alam.
HIBURAN 3. Kamu sedang berjalan di galeri seni dengan santai dan berhenti di sebuah gambar. Kamu melihat dan memandang gambar itu cukup lama, kagum dan terpesona. Gambar seperti apakah itu? a. Potret diri b. Pelesetan dari sesuatu. c. Abstrak d. Lukisan alam. Kamu adalah orang yang percaya diri
HIBURAN 3. Kamu sedang berjalan di galeri seni dengan santai dan berhenti di sebuah gambar. Kamu melihat dan memandang gambar itu cukup lama, kagum dan terpesona. Gambar seperti apakah itu? a. Potret diri b. Pelesetan dari sesuatu. c. Abstrak d. Lukisan alam. Kamu adalah orang yang suka berbicara dan humoris.
HIBURAN 3. Kamu sedang berjalan di galeri seni dengan santai dan berhenti di sebuah gambar. Kamu melihat dan memandang gambar itu cukup lama, kagum dan terpesona. Gambar seperti apakah itu? a. Potret diri b. Pelesetan dari sesuatu. c. Abstrak d. Lukisan alam. Kamu adalah orang yang kreatif.
HIBURAN 3. Kamu sedang berjalan di galeri seni dengan santai dan berhenti di sebuah gambar. Kamu melihat dan memandang gambar itu cukup lama, kagum dan terpesona. Gambar seperti apakah itu? a. Potret diri b. Pelesetan dari sesuatu. c. Abstrak d. Lukisan alam. Kamu adalah orang yang ramah dan berperilaku baik.
HIBURAN 4. Kamu sedang berada di galeri (lagi), di tempat yang sama. Saat kamu mengamati gambar itu, seorang pria yang berdiri di sebelah kamu ingin mengatakan sesuatu. Apa yang akan dikatakannya? a. “Lukisan yang bagus ya. Bagaimana menurutmu? ” b. “Apa yang kamu suka dari lukisan ini? ” c. “Permisi, boleh tahu sekarang jam berapa? ” d. “Kamu tahu, saya yang membuat lukisan ini. ”
HIBURAN 4. Kamu sedang berada di galeri (lagi), di tempat yang sama. Saat kamu mengamati gambar itu, seorang pria yang berdiri di sebelah kamu ingin mengatakan sesuatu. Apa yang akan dikatakannya? a. “Lukisan yang bagus ya. Bagaimana menurutmu? ” b. “Apa yang kamu suka dari lukisan ini? ” c. “Permisi, boleh tahu sekarang jam berapa? ” d. “Kamu tahu, saya yang membuat lukisan ini. ” Kamu adalah orang yang bersahabat dan senang mendapatkan teman baru.
HIBURAN 4. Kamu sedang berada di galeri (lagi), di tempat yang sama. Saat kamu mengamati gambar itu, seorang pria yang berdiri di sebelah kamu ingin mengatakan sesuatu. Apa yang akan dikatakannya? a. “Lukisan yang bagus ya. Bagaimana menurutmu? ” b. “Apa yang kamu suka dari lukisan ini? ” c. “Permisi, boleh tahu sekarang jam berapa? ” d. “Kamu tahu, saya yang membuat lukisan ini. ” Kamu akan waspada sebelum berkenalan.
HIBURAN 4. Kamu sedang berada di galeri (lagi), di tempat yang sama. Saat kamu mengamati gambar itu, seorang pria yang berdiri di sebelah kamu ingin mengatakan sesuatu. Apa yang akan dikatakannya? a. “Lukisan yang bagus ya. Bagaimana menurutmu? ” b. “Apa yang kamu suka dari lukisan ini? ” c. “Permisi, boleh tahu sekarang jam berapa? ” d. “Kamu tahu, saya yang membuat lukisan ini. ” Kamu adalah orang yang bebas dan tidak melihat pentingnya berkenalan dengan teman baru.
HIBURAN 4. Kamu sedang berada di galeri (lagi), di tempat yang sama. Saat kamu mengamati gambar itu, seorang pria yang berdiri di sebelah kamu ingin mengatakan sesuatu. Apa yang akan dikatakannya? a. “Lukisan yang bagus ya. Bagaimana menurutmu? ” b. “Apa yang kamu suka dari lukisan ini? ” c. “Permisi, boleh tahu sekarang jam berapa? ” d. “Kamu tahu, saya yang membuat lukisan ini. ” Kamu selalu senang berkenalan dengan orang lain dan berusaha membuat mereka terkesan padamu
HIBURAN 5. Disuatu hari yang cerah, kamu sedang berjalan kaki kesuatu daerah yang belum pernah kamu kunjungi sebelumnya, dan terkagum melihat sebuah rumah diseberangnya. Tapi, kenapa yah pintu depannya setengah terbuka? a. Jangan jangan rumah itu dirampok b. wah, pemiliknya lupa mengunci pintu tuh! c. paling pemilik rumahnya ada di dalam, sedang menyapu sekitar pintu masuk
HIBURAN 5. Disuatu hari yang cerah, kamu sedang berjalan kaki kesuatu daerah yang belum pernah kamu kunjungi sebelumnya, dan terkagum melihat sebuah rumah diseberangnya. Tapi, kenapa yah pintu depannya setengah terbuka? a. Jangan jangan rumah itu dirampok b. wah, pemiliknya lupa mengunci pintu tuh! c. paling pemilik rumahnya ada di dalam, sedang menyapu sekitar pintu masuk Menggambarkan anda orang yang tidak sempat panik karena sibuk mencari solusi.
HIBURAN 5. Disuatu hari yang cerah, kamu sedang berjalan kaki kesuatu daerah yang belum pernah kamu kunjungi sebelumnya, dan terkagum melihat sebuah rumah diseberangnya. Tapi, kenapa yah pintu depannya setengah terbuka? a. Jangan jangan rumah itu dirampok b. wah, pemiliknya lupa mengunci pintu tuh! c. paling pemilik rumahnya ada di dalam, sedang menyapu sekitar pintu masuk Menggambarkan anda orang yang sangat santai, bahkan dalam situasi genting
HIBURAN 5. Disuatu hari yang cerah, kamu sedang berjalan kaki kesuatu daerah yang belum pernah kamu kunjungi sebelumnya, dan terkagum melihat sebuah rumah diseberangnya. Tapi, kenapa yah pintu depannya setengah terbuka? a. Jangan jangan rumah itu dirampok b. wah, pemiliknya lupa mengunci pintu tuh! c. paling pemilik rumahnya ada di dalam, sedang menyapu sekitar pintu masuk Menggambarkan anda Orang yang walaupun terlihat santai tapi tidak pernah lengah
PENUTUP “Salah satu karakter orang malas adalah Dia akan mencari alasan agar tidak memiliki impian yang tinggi, sebab dalam pikiran bawah sadarnya dia tahu bahwa dalam meraih mimpi, dia harus bekerja keras, miliki impian yang tinggi, pantas diri untuk meraihnya, tawakal dan sabar menerima hasilnya” – Rahmat (motivasi-islami. com)
DAFTAR PUSTAKA • Buchory, Achmad, dkk. 2008. Kharisma Matematika. Solo: Haka MJ • Noormandiri, BK. 2003. Matematika SMU Jilid 2. Jakarta: Erlangga • http: //blog. uin-malang. ac. id/abdussakir/2011/03/04/penggunaankomputer-untuk-pembelajaran-matematika/ • http: //www. motivasi-islami. com/kata-motivasi/ • nurulgranger. blogspot. com/2012/07/kokologi-baru. html • http: //mrica. blogspot. com/2011/01/kokologi-game-psikologipenggali. html
PROFILE
Nama NPM Tingkat Jurusan : Anggy Septyawinayanti : 111070091 : 2. K : FKIP Matematika Universitas Swadaya Gunung Djati Pengisi suara 1 dari slide 1 -15
Nama NPM Tingkat Jurusan : Arie Koesherawati : 111070120 : 2. K : FKIP Matematika Universitas Swadaya Gunung Djati Pengisi suara 2 dari slide 16 -31
Nama NPM Tingkat Jurusan : Nurkhasanah : 111070049 : 2. K : FKIP Matematika Universitas Swadaya Gunung Djati Pengisi suara 3 dari slide 32 -51
- Slides: 51