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Hipérbola

Índice l l l l La hipérbola como lugar geométrico. Elementos de la hipérbola. Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (p, q). Asíntotas. Ejemplo. Propiedad de reflexión de la hipérbola.

Hipérbola l La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto aleje del cono es menor que el de la generatriz del cono. Eje Plano Vértice Generatriz

La Hipérbola como Lugar Geométrico: l Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la hipérbola l Y En toda hipérbola conviene considerar: Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal. P X: Es el eje focal de la hipérbola. F´ A´ O A F X F y F´: Son los focos de la hipérbola. A y A´: Son los vértices de la hipérbola. O: Es el centro de la hipérbola. P: Es un punto de la hipérbola. PF y PF´: Son los radio vectores de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola Y P 2 c: Se le llama distancia focal. 2 a: Es la resta de los radio vectores PF y PF´ de un punto. F´ AA´: A este segmento se le denomina eje real. O A´ 2 a 2 c A F

Ecuación analítica de la hipérbola: l Ubiquemos los focos sobre el eje x, F = ( c, 0 ) y F' = ( -c, 0 ), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la hipérbola. l En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de la hipérbola con el eje x. l Entonces tendremos que: PF – PF' = 2 a

Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos llegar a esta expresión: (c 2 – a 2)x 2 – a 2 y 2 – (c 2 – a 2) a 2 = 0 Nota: Los cálculos dejo por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse. Nuevamente a partir del dibujo anterior y aplicando Pitágoras podemos obtener que c 2 = a 2 + b 2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2. Dividiendo cada término por a 2 b 2 obtenemos: l

Ecuación analítica de la hipérbola con centro en (p, q): l Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b 2 x 2 – a 2 y 2 – 2 xpb 2 + 2 yqa 2 + p 2 b 2 – q 2 a 2 – a 2 b 2 = 0 Si hacemos: A = b 2 B = – a 2 C = – 2 pb 2 D = 2 qa 2 E = p 2 b 2 – q 2 a 2 – a 2 b 2 Tendremos la ecuación: Ax 2 – By 2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.

Asíntotas: l Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q) l Las ecuaciones de las asíntotas son:

Ejemplo l Esbócese la curva 36 x 2 - 64 y 2 = 2304 Si divide entre 2304 y se reduce la ecuación a: La gráfica es una hipérbola en la cual a = 8, b =6 y c = 10. Por lo tanto los vértices son ( ± 8, 0) y los focos ( ± 10, 0). Las ecuaciones de las asíntotas son: 3 x -4 y = 0 y 3 x + 4 y = 0 Haz click y observa la gráfica

Propiedad de reflexión de la Hipérbola: l La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f '.