HIMPUNAN DAN RELASI SYAPUTRI DWI RESTU 15030042 MATEMATIKA

HIMPUNAN DAN RELASI SYAPUTRI DWI RESTU 15030042 MATEMATIKA (NK)

ASALAMUALAIKUM WR WB

MACAM HIMPUNAN PENGERTIA N HIMPUNAN OPERASI PADA HIMPUNAN

PENGERTIAN HIMPUNAN • Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa objek pada himpunan harus didefinisikan dengan jelas, agar supaya dapat dibedakan atau ditentukan antara benda / objek yang termuat dan yang tidak termuat pada himpunan.

MACAM HIMPUNAN 1. Himpunan Kosong 2. Himpunan Berhingga Dan Tak Berhingga 3. Himpunan Di Dalam Himpunan 4. Himpunan Bagian Sejati 5. Dua Himpunan Yang Sama 6. Dua Himpunan Yang Ekivalen 7. Himpunan Kuasa

1. HIMPUNAN KOSONG Definisi Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai nilai Himpunan kosong dinyatakan dengan atau {} Contoh : A himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua B {x. I x x} C {x. I x 2 4 0, x bilangan real} Coba kita lihat , himpunan diatas merupakan himpunan kosong karena bernilai 0 A 0 = (0) B 0 = {Ø} C 0 = {Ø}

2. HIMPUNAN BERHINGGA DAN HIMPUNAN TAK BERHINGGA Definisi Himpunan berhingga adalah himpunan dimana anggotanya dapat dihitung Himpunan tak berhingga adalah himpunan dimana anggotanya tidak dapat dihitung Contoh : Himpunan berhingga K himpunan nama hari dalam seminggu L {x I x <100, x bilangan cacah ganjil} P {x I x negara-negara ASEAN} Himpunan tak berhingga R himpunan bilangan asli L {x I x> 100, x bilangan bulat } Q {x I x bilangan bulat genap }

3. HIMPUNAN DI DALAM HIMPUNAN DEFINISI Semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut himpunan bagian dari B, ditulis ACB dibaca A himpunan bagian dari B Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis ACB jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis ACB jhj ᵿ x. CA maka x C B Contoh : Diketahui himpunan A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 3, 5}, C={2, 4, 6}, D={3, 4, 5, 6, 1, 2} dan E={5, 6, 7}. Manakah pernyataan dibawah ini yang benar. a. BCA b. ACC c. DCA d. ACD e. ACA f. {}CA g. ØCB Pernyataan yang benar adalah a, c, d, e, f, g Dari contoh diatas dapat disimpulkan sebagai berikut : 1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 2. Jika A himpnan maka ACA

4. HIMPUNAN BAGIAN SEJATI Definisi A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika ACBdan ACB Contoh Diketahui A={0, 2, 4, 6}, dan B={0, 2, 4, 6, 8}, dan C={x. Ix bilangan cacah genap kurang dari 9} jelas bahwa : A himpunan bagian sejati B Øbukan himpunan bagian sejati C Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan AC B dan sebutan C himpunan bagian sejati D ditulis dengan CCD.

5. Dua himpunan yang sama Definisi Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis : A=B jhj ACBndan BCA Contoh Diketahui himpunan A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 4, 6, 8, 10}, dan C={7, 3, 9, 1, 5}. Banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan n(A), sehingga : a). A=C dan n(C)=5 b). n(A) =n(B)=5 tetapi A≠B

6. Dua himpunan yang ekivalen Definisi Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis jika dan jika : n(A) = n(B), untuk A dan B himpunan berhingga A dan B berkorespondensi satu-satu, Untuk A dan B himpunan tak berhingga Contoh Diketahui A={3, 6, 9, 12, 15}, B={12, 9, 6, 3, 15}, dan C={2, 3, 5, 7, 11} maka: a). A=B dan A∞B b). n(A)=n(C) tetapi A≠C Contoh Diketahui N={1, 2, 3, 4, 5. . . }, C={0, 1, 2, 3, 4. . . }, N∞C sebab N dan C berkorespodensi satu-satu. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: N: 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n , . . . C: 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , (n-1), . .

7. Himpunan kuasa Definisi Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2ᴬ. Contoh a. A={2, 4}, maka n(A)= 2ᴬ={Ø, {2}, {4}, {2, 4}}, n(2ᴬ)=4 b. B={1}, maka n(B)=1 2ᴮ={Ø, {1}}, n(2ᴮ)=2 berdasarkan contoh dapat disimpulkan Jika A adalah himpunan, n(A)= k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis n(2ᴬ)=2ᴷ.

OPERASI PADA HIMPUNAN 1. Irisan Dua Himpunan 2. Gabungan Dua Himpunan 3. Selisih Dua Himpunan 4. Perkalian Dua Himpunan

1. Irisan dua himpunan (intersection) Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Irisan A dan B ditulis A∩B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B Dapat dituliskan A∩B= {x I xϵA, xϵB}. Contoh a. Diketahui K={a, b, c, d, e}, L={b, d, f, g}, maka K∩L={b, d}. b. Diketahui A={x. Ix bilangan asli ganjil}, B={x. Ix bilangan asli genap}, maka A∩B=Ø c. Diketahui C={2, 4, 6, 8, . . . } D={4, 8, 12, . . . }, maka C∩D={4, 8, 12, . . . }=D Dapat disimpulkan secara umum : 1. Jika A, B himpunan maka (A∩B)CA dan (A∩B)CB 2. Jika ACB maka A∩B=A Contoh soal : A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {2, 3, 5, 7, 11} A ∩ B = {2, 3, 5}

2. Gabungan dua himpunan (union) Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis AUB adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B Dapat ditulis AUB ={x. I xϵA atau ϵ} Contoh a. Diketahui K={a, b, c, d, e}, L={b, d, f, g}, maka KUL={a, b, c, d, e, f, g} b. Diketahui A={x. I x bilangan asli ganjil}, B={x. I x bilangan asli genap}maka AUB={x. I x bilangan asli}. c. Diketahui C={2, 4, 6, 8, . . . }, D={4, 8, 12, . . . }, maka CUD={4, 8, 12, . . . }=C Dari contoh dapat kita simpulkan secara umum : 1. Jika A, B himpunan maka AC(AUB) dan BC(AUB) 2. Jika ACB maka AUB =B Contoh soal A = {1, 2, 3} B = {0, 2, 4} Maka A UB = {0, 1, 2, 3, 4}

3. Selisih dua himpunan Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A -B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A-B ={x I xϵA, x€B} Contoh a. Diketahui A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7, 8, 9} maka : (1). A-B={1, 2, 3}, B-A={6, 7, 8, 9}. (2). A∩B={4, 5} b. Diketahui E={1, 3, 5, 7, 9, . . . }, F={2, 4, 6, 8, . . . } maka : (1). E-F={1, 3, 5, 7, 9, . . . }=E (2). F-E={2, 4, 6, 8, . . . }=F Berdasarkan contoh dapat disimpulakan : 1. Jika ACB himpunan maka A-B=Ø 2. Jika ACB himpunan maka AU(B-A)=B 3. Jika A, B himpunan maka (A-B)CA, 4. Jika A, B himpunan maka A-B, A∩B, B-A saling asing Contoh soal A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 7, 10} Maka A - B = {1, 3, 5}

4. Perkalian dua himpunan (produk cartesius) Definisi Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis Ax. B adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b) dengan aϵA dan bϵB. Dapat ditulis Ax. B = {(a, b) I aϵA, bϵB} Contoh Diketahui A={a, b} dan B={1, 2, 3}, maka (1). Ax. B={(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} (2). Bx. A={(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} Ternyata Ax. B≠Bx. A

Video himpunan

MACAM RELASI PENGERTIAN RELASI CARA MENYATAKAN RELASI ANTARA DUA HIMPUNAN RELASI

PENGERTIAN RELASI • Dalam teori himpunan , relasi menghubungkan dua buah himpunan dengan suatu hubungan tertentu. misalnya ada dua buah himpunan A dan himpunan B sehingga dapat dinyatakan bahwa relasi dari dua himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

MACAM RELASI 1. Relasi Refleksif 2. Relasi Simetris 3. Relasi Transitif 4. Relasi Ekivalen

Relasi Refleksif Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri. Definisi i. Relasi Irefleksif Misalkan R suatu relasi di Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika dalam himpunan A maka R setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya disebut relasi reflektif jika sendiri. 1. Relasi reflektif dan hanya jika ᵿ aϵA, maka Contoh (a, a)ϵR. Diketahui R: A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A ={1, 3, 5} sedemikian sehingga : a. R 1 ={(1, 1), (1, 3), (3, 3)1 b. R 2 =1(1, 1), (3, 3), (5, 5)) c. R 3 ={(1, 1), (1”, 3), (3, 3), (5, 5)} Apakah R 1, R 2, dan R 3 relasi refleksif atau bukan ? Penyelesaian ; a. R 1 bukan relasi refleksif sebab 5ϵA tetapi (5, 5)€R 1 b. R 2 relasi refleksif sebab ᵿ aϵA maka (a, a)ϵR 1

2. Relasi simetris Definisi Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi simetris jika (a, b)ϵR , maka berarti (a, b)ϵR Contoh Diketahui R : A A adalah relasi di dalam himpunan A denga A={1, 3, 5} sedemikian sehingga : R 1 ={(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 5)} R 2 ={(1, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 3)} R 3 ={(1, 1), (3, 3), (5, 5)} Apakah R 1, R 2, R 3 relasi simetris atau bukan ? Penyelesaian : R 1 bukan relasi simetris sebab (3, 5)ϵR 1 tetapi (5, 3)€R 1 R 2 relasi simetris R 3 relasi simetris

3. Relasi transitif Definisi Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi transitif jika (a, b)ϵR dan (b, c)ϵR, maka berarti (a, c)ϵR Contoh Diketahui R: AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1, 3, 5} sedemikian. Sehingga ; a. R 1 ={(1, 1), (1, 3), (5, 5)} b. R 2 ={(1, 3), (1, 1), (3, 3)} c. {(1, 1), (3, 3), (5, 5)} Apakah R 1, R 2, dan R 3 relasi transitif atau bukan ? Penyelesaian : a. R 1 bukan relasi transitif sebab (3, 1)ϵR 1 dan (1, 3)ϵR, tetapi (3, 3)€R 1 b. (1, 3)ϵR 2 dan (3, 1)ϵR 2 maka (1, 1)ϵR 2 (3, 1)ϵR 2 dan (1, 1)ϵR 2 maka (3, 1)ϵR 2 (1, 3)ϵR 2 dan (3, 3)ϵR 2 maka (1, 3)ϵR 2 c. R 3 relasi transitif

4. Relasi ekivalen Definisi Misalkan R suatu relasi di dalam Contoh himpunan A maka R disebut relasi Diketahui himpunan ekivalen jika berlaku syarat ; A={0, 2, 4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R a. Refleksif artinya ᵿ aϵA, maka (a, a)ϵR ={(0, 0), (2, 2), (4, 4)} berlaku b. Simetris artinya jika (a, b)ϵR, maka syarat refleksif, simetris, berarti (b, a)ϵR dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi Transitif artinya jika (a, b)ϵR dan (b, c)ϵR, ekivalen maka berarti ϵ

CARA MENYATAKAN RELASI ANTARA DUA HIMPUNAN 1. Diagram Panah 2. Himpunan Pasangan Berurutan 3. Grafik Cartesius

1. Diagram Panah Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

2. diagram Kartesius Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu. Y). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik sepertiterlihat pada gambar.

3. Himpunan Pasangan Berurutan Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya. Berdasarkan soal di atas, maka diperoleh himpunan pasangan berurutan sebagai berikut. {(Rani, basket), (Rani, bulu tangkis), (Dian, basket), (Dian, atletik), (Isnie, senam), (Dila, basket), (Dila, tenis meja)}

Contoh soal : Himpunan P = {2, 3, 4, 6} dan Q = {1, 2, 3, 4, 6, 8} dan “faktor dari” adalah relasi yang menghubungkan himpunan P ke himpunan Q. Nyatakan relasi tersebut dalam bentuk: a. Diagram panah, b. Diagram kartesius, c. Himpunan pasangan berurutan. Penyelesaian: d. Diagram Panah b. Diagram Kartesius c. Himpunan Pasangan Berurutan • {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (4, 8), (6, 6)}

Video relasi

Thanks for watching ^-^ Salam matematika. . . Wassalam wr wb ^-^