Himpunan Bilangan Pertemuan 2 Himpunan Bilangan Erna Sri

Himpunan Bilangan Pertemuan 2 (Himpunan Bilangan). : : Erna Sri Hartatik: : .

Himpunan bilangan dan skemanya

Skema Himpunan Bilangan

n n Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya merupakan bilangan bulat positif. Ex: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . } Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1. Ex: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, . . }

n n Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol. Ex: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . } Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif. Ex: B = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

n n Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p, q bulat dan q 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. Contoh: 0, -2, 2/7, 5, 2/11, dan lain Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. contoh: log 2, e, 7

n n Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional. contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3 Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru. contoh: i, 4 i, 5 i

n Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. contoh: 2 -3 i, 8+2

Bilangan bulat

n q Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : § Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …) § Nol : 0 § Bulat Negatif ( …, -5, -4, -3, -2, -1) Himpunan Bilangan bulat A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

Garis bilangan bulat -4 -3 -2 bilangan bulat Negatif -1 1 0 Bilangan nol 2 3 4 bilangan bulat positif Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil : § Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … } Bilangan yang habis dibagi dengan 2 § Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … } Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

Operasi Hitung Bilangan Bulat n Penjumlahan ü ü ü Sifat Asosiatif ( a + b ) + c = a + ( b + c ) Sifat Komutatif a + b = b + a Unsur Identitas terhadap penjumlahan a + 0 = 0 + a Unsur invers terhadap penjumlahan a + (-a) = (-a) + a Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

n ü ü Pengurangan Untuk sembarang bilangan bulat berlaku : a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku a – b ≠ b - a (a – b ) – c ≠ a – ( b – c ) Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat : a – 0 = a dan 0 – a = -a Bersifat tertutup a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

n Perkalian ü a x b = ab , a x –b = -ab , -a x -b = ab ü Sifat Asosiatif (a x b) x c = a x (b x c) ü Sifat komutatif a x b = b x a ü Sifat distributif a x (b+c) = (a x b ) + (a x c) ü Unsur identitas untuk perkalian a x 0 = 0 atau a x 1 = 1 x a = a ü Bersifat tertutup a x b = c a, b, c ∈ bilangan bulat

n ü ü ü Pembagian Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif (+) : (+) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif (-) : (-) = (+) Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-) Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi a : 0 (~) atau 0 : a 0 (nol) Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif a : b ≠ b : a atau (a: b): c ≠ a : (b: c) Bersifat tidak tertutup

Pemangkatan bilangan bulat Contoh : 3 4 = 4 x 4 = 64 5 3 = 3 x 3 x 3 = 243

Akar pangkat dua n Akar kuadrat (akar pangkat dua)

Akar kubik (akar pangkat tiga)

Bilangan Riil

n n Notasi dari himpunan bilangan riil adalah dinyatakan sebagai garis lurus x є dibaca x (sembarang bilangan) anggota dari Jika x є dinyatakan sebagai suatu titik di garis x § Bilangan x terletak antara -a dan a dengan titik pusatnya 0 x x -a 0 a

Urutan Pada Garis Bilangan Riil Misalkan: x < y dibaca x berada di sebelah kiri y atau x lebih kecil dari y x > y dibaca x berada di sebelah kanan y atau y lebih kecil dari x x<y x y x>y y x • dibaca “ jika dan hanya jika” • x < y y-x positif

Sifat–sifat bilangan real n Sifat-sifat urutan : q Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y q Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z q Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Penambahan x<y x+z <y+z q Relasi urutan dibaca “kurang dari atau sama dengan” dibaca “lebih dari atau sama dengan” x y y - x positif atau nol q

himpunan bilangan real tertentu yang didefinisikan dilambangkan sebagai berikut: Selang (interval) Penulisan himpunan (a, b) {x є | a < x < b} [a, b] {x є | a ≤ x ≤ b} [a, b) {x є | a ≤ x < b} (a, b] {x є | a < x ∞ b} (a, ∞) {x є | x > a} [a, ∞) {x є | x ≥ a} (-∞, b) {x є | x < b} (-∞, b] {x є | x ≤ b} (-∞, ∞) Grafik a b a b a a b b