Himpunan 1 Mata Kuliah MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati

Himpunan 1 Mata Kuliah: MATEMATIKA DISKRIT Harni Kusniyati 1

Definisi • Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. • Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. • Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf besar / KAPITAL seperti A, B, C dsb. • Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb. • HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain. 2

• Satu set huruf (besar dan kecil) 3

Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh: - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, . . . , 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. 4

Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh: Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} maka 3 A {a, b, c} R c R {} K {} R 5

2. Simbol-simbol Baku P= N= Z= Q= R= C= himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, . . . } himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, . . . } himpunan bilangan bulat = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } himpunan bilangan rasional himpunan bilangan riil himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}. 6

3. Notasi Pembentuk Himpunan 7

4. Diagram Venn Contoh: Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: 8

Kardinalitas Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(A) atau A Contoh : (i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 }, atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8 (ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka T = 5 (iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3 9

Himpunan kosong (null set) 10

Himpunan Bagian (Subset) 11

Himpunan yang Sama 12

13

Himpunan yang Ekivalen 14

Himpunan Saling Lepas 15

Himpunan Kuasa 16

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotannya terhingga. Contoh: D = {x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 11} D adalah himpunan terhingga, karena elemen-elemennya terhingga yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 17

Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak terhingga atau tidak terbatas. Contoh: Z = {y | y adalah bilangan asli} Z adalah himpunan tak hingga, karena elemennya tidak terbatas atau tak berhingga. 18

Contoh Soal Tuliskan elemen-elemen dari himpunan-himpunan berikut a. A = {x | x himp bil bulat, 3 < x < 9} b. B = {x | x himp bil bulat, x 2 + 1 = 10} c. C = {x | x himp bil bulat, x bilangan ganjil, -5 < x < 5} JAWAB a. A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = {4, 5, 6, 7, 8} b. B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x 2 + 1 = 10, sehingga B = {-3, 3} c. C memuat bilangan bulat ganjil antara – 5 dan 5, sehingga C = {-3, -1, 1, 3} 19

Latihan Tuliskan notasi matematika dari: a) A = {1, 2 , 3, 4} b) B = { 2, 4, 6, 8, . . . } c) C = {-2, -4, -6, -8, . . . } d) E = {1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . } 20

Diketahui: U = {a, b, c, …, z} P = {a, b, c, d, e} Q = {a, i , u, e, o} R = {a, u, u, e, i, o , o} S = {w, x, y, z} Tunjukan: 1) Kardinal dari himpunan R dan himpunan S 2) Himpunan sama 3) Himpunan saling lepas 4) Himpunan ekivalen 21

Operasi Terhadap Himpunan 22

23

24

25

26

27

Latihan 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Jika A = {1, 3, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5} carilah A B! Jika A = { 3, 5, 6, 7} dan B = { 7, 10, 15}, carilah A B! Misalkan U = { 1, 2, 3, . . . , 10 }, jika A = {5, 7, 10}, carilah A’! Jika A = { 1, 2, 3, . . . , 8} dan B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12}, carilah A – B! Jika A = {1, 2, 4, 6, 8 } dan B = { 2, 3, 5, 7 , 9}, carilah A B! Jika U= {a, b, c, . . . i}, A= { a, i}, B= {a, b, c} , dan C= {a, g, h}. Carilah: a) A B C b) A (B C) c) A B C d) A′ (B C) e) (A B) C′ 28

Penyelesaian 1. 2. 3. 4. 5. A B = {4, 10} A B = { 2, 5, 7, 8, 10, 22 } A’ = {2, 4, 6, 8, 10} A – B = { 1, 3, 5, 7, 9, 10 } A B = { 1, 3, 4, 5, 6 , 7} 29

TERIMA KASIH 30