HIDROMEHANIKA Akad god 200809 303015 LITERATURA V Jovi

HIDROMEHANIKA Akad. god. 2008/09. (30+30+15)

LITERATURA: • V. Jović: Osnove hidromehanike(AGG Split, 2007) • Živko Vuković: Osnove hidrotehnike 1 -1 (1996) • Predavanja+vježbe • Zbirke zadataka- raspoložive, zadaci na web stranicama GF Osijek

§ HIDRAULIKA – znanost koja proučava oblike i zakone mehaničkog gibanja i relativnog mirovanja tekućina i bavi se primjenom tih zakona u hidrotehnici (hidor+aulon, gr. ) § Povijesno-zasnovana na empiriji i kvantitivnom rješavanju problema bez analiza uzroka pojava i problema § HIDROMEHANIKA ( MEHANIKA FLUIDA)- dio mehanike općenito (dio fizike) i razvoj je ovisio o razvoju matematičkog aparata, cilj je kvalitativna analiza problema

OSNOVNA PODJELA: • HIDROSTATIKA • HIDROKINEMATIKA • HIDRODINAMIKA

ZNAČENJE I PRIMJENA • U HIDROTEHNICI – znanstvenoj disciplini koja proučava tehničke aspekte: A) korištenja voda- zahvaćanje, crpljenje i uporaba površinskih i podzemnih voda za različite namjene, vodoopskrbu, energetske svrhe, navodnjavanje, za uzgoj riba, plovidbu, sport i rekreaciju B) zaštite od štetnog djelovanja voda- mjere za obranu od poplava, zaštitu od leda, erozija i bujica, melioracijska odvodnja, regulacije vodotoka C) zaštite voda kao prirodnog resursa ( kvalitativno i kvantitativno)- mjere zaštite voda od onečišćenja u cilju zaštite života i zdravlja ljudi i zaštite okoliša (odvodnja otpadnih voda, uređaji za pročišćavanje, revitalizacija vodotoka)

POVIJEST • Navodnjavanje –prije 5000 godina • Vodovodi-prije 2000 godina • Začetnik hidraulike –Arhimed (250 g. p. n. e) • 16. st. : “O kretanju i mjerenju vode”-L. da Vinci -kretanje vode u kanalima • Stevinus- hidrostatika na stijenku posude • Pascal- pronošenje tlaka unutar fluida • Newton- zakon istjecanja fluida

• 18. st – D. Bernoulli –osnove suvremene hidraulike • Euler- osnove matematičke hidrodinamike, tj. hidromehanike ( Navier, Stokes, Lagrange) • Francuski hidrauličari – Darcy, Dupuit, Bazin • Njemači- Weisbach • Engleski- Reynolds • u 19. i 20. st. razlika nestaje – od čiste empirije hidraulika prerasta u znanost koja koristi metode matematičke i eksperimentalne analize + HIDROLOGIJA- znanost koja proučava vremensku i prostornu pojavu vode na zemlji i zakone njezinog stalnog kruženja • Suvremena hidromehanika – mat. modeliranje složenih problema, (!) fizikalno modeliranje • Ekohidraulika, hidroinformatika-nove discipline

1. OSNOVNE FIZIKALNE OSOBINE TEKUĆINA • TEKUĆINA (FLUID)=tvar koja neprestano mijenja svoj oblik (teče) pri tangencijalnim naprezanjima (komponenti površinske sile/površina) • TVARI KOJE SE NEPREKIDNO DEFORMIRAJU POD DJELOVANJEM POSMIČNIH SILA • MIJENJANJE OBLIKA=strujanje tekućine • Podjela na: KAPLJEVINE ( voda, ulje, nafta. . . ) i PLINOVE( zrak, kisik, uglj. dioksid, metan. . ) • OSNOVNA RAZLIKA: u veličini promjene volumena pri promjeni tlaka • Proučavanje u hidraulici: na razini CONTINUUMA (neprekidne sredine) koji zadržava neprekidnost fizikalnih svojstava

A) GUSTOĆA - raspodjela mase tekućine u volumenu Homogena ili nehomogena tekućina Ovisi o tlaku i temperaturi =dm/d. V ( kg/m 3) TEŽINA-djelovanje sile teže na volumen tekućine - FG= gd. V ( N)

B) STLIŠLJIVOST (STLAČIVOST, KOMPRESIBILNOST) = osobina tekućine da pod djelovanjem normalne površinske sile mijenja svoj volumen • pri tlaku od 1 kg/cm 2 i temperaturi od 0 o. C volumen vode smanjuje se za 1/20. 000, a pri 100 o C za 1/25 000 MODUL ELASTIČNOST se povećava s porastom temperature • za praktičnu primjenu voda je NESTLAČIVA (izuzetak vodni udar)

B) STIŠLJIVOST (KOMPRESIBILNOST) E= modul elastičnosti=ovisnost tlaka i relativne volumenske deformacije

• PRIMJER: Odredite promjenu volumena 1, 0 m 3 vode ako se prisutni tlak poveća za 20 bara. Temperatura vode je 26, 7 o. C. • Modul elastičnosti vode ( tv=26, 7 o. C) =2, 24 x 109 Pa ( 1 Pa=N/m 2; 1 bar=105 Pa )

• Stišljivost kapljevina znatno MANJA od stišljivosti plinova • Stišljivost kapljevina znatno VEĆA od stišljivosti krute tvari

C) UNUTARNJE TRENJE (VISKOZNOST) • Opisuje unutarnji otpor kretanju tekućine • pri kretanju tekućine nastaje trenje između čestica tekućine, i tekućine i površine preko koje kapljevina struji • transformacija energije POKUS:

• Uz uvjete: dp/dx=0, laminarno strujanje - koeficijent proporcionalnosti koji se naziva DINAMIČKI KOEFICIJENT VISKOZNOSTI ( za newtonske tekućine je const. ) • dv/dz-gradijent brzine u smjeru okomitom na strujanje=brzina deformacije • LINEARNA OVISNOST =KINEMATIČKI koeficijent viskoznosti ( mijenja se promjenom temperature)

• 1. apsolutno elastično tijelo- nema deformacija ni pod kakvim opterećenjem ( dv/dz=0, = ) • 2. realno elastično tijelo- ponaša se po Hookovom zakonu i ima neke deformacije • 3. idealno plastično tijelo – podnose tang. napone do neke vrijednosti, a potom se linearno deformiraju • REOLOŠKI DIJAGRAM • Reologija-znanost o tečenju tvari pod djelovanjem posmičnih sila

• 4. nenwtonske tekućine – deformiraju se nelinerano – tangencijalni naponi nisu proporcionalni tangencijalnim deformacijama • 5. newtonske tekućine - ponašaju se u skladu s izrazom (1) i tang. naponi su proporcionalni gradijentu brzine. Nagib pravca ovisi o dinamičkom koeficijentu viskoznosti • 6. IDEALNA TEKUĆINA uslijed djelovanja vanjskih sila ne javljaju se posmična (tangencijalna) naprezanja

• IDEALNA TEKUĆINA • REALNA TEKUĆINA • uslijed djelovanja vanjskih sila ne javljaju se posmična (tangencijalna) naprezanja • apsolutno nestlačiva • molekule tekućine nisu pod djelovanjem sile kohezije nego se slobodno kreću nezavisno jedna od druge • nema djelovanja temperature (koef. temp. širenja = 0) • =const. • postoje tlačna naprezanja • • ne postoji, ali se pretpostavka o idealnom fluidu opravdava u nekim analizama = const. s obzirom na promjenu temperature • = const. s obzirom na promjenu tlaka • osim tlačnih naprezanja postoje vlačna i tangencijalna naprezanja ( ne smiju se zanemariti ) ZA RJEŠAVANJE HIDRAULIČKIH PROBLEMA PODRAZUMIJEVAMO: a) voda je nestlačiva b) volumen ne ovisi o promjeni temperature c) voda ne daje otpor vlačnim i tangencijalnim silama d) voda nema površinskog napona e) voda ne stvara pare

D) POVRŠINSKI NAPON • bitan kod izučavanja problema kapilarnosti, a proizlazi iz fizikalnog svojstva tekućine da smanjuje svoju površinu na minimum • stanje ravnoteže sve sile u jednoj točki se poništavaju (A) • na površini (B), ostaju sile površinskog napona ( sile unutarnjeg tlaka) • kod cijevi malog promjera (promjera manjeg od 12 mm)

E) TLAK PARA • ovisno o tlaku i temperaturi javlja se isparavanje zbog izmjene kinetičke energije i iznad površine kapljevine se • javlja tlak para • pojam kavitacije

OSNOVNE FIZIKALNE OSOBINE VODE KOD NORMALNOG ATMOSFERSKOG TLAKA TEMP. VODE T (o. C) GUSTOĆ A (kg/m 3) MODUL ELASTIČNOST I E x 107 (N/m 2) 0 999, 84 4 KINEMATIČKA VISKOZNOST x 106 (m 2/s) TLAK VODENIH PARA pvp x 104 (N/m 2) 202 1, 792 0. 06 1000, 00 203 1, 519 0, 09 10 999, 70 210 1, 308 0, 12 20 998, 20 219 1, 007 0, 25 50 988, 05 230 0, 556 1, 26 100 958, 35 237 0, 296 10, 33

2. HIDROSTATIKA • Ravnotežno stanje elementarnog volumena tekućine -Sila P prezentira odbačeni dio elementarnog volumena tekućine tako da se i dalje nalazi u stanju ravnoteže • Sila P naziva se SUMARNI HIDROSTATSKI TLAK i djeluje na površinu d. A ( sumarni jer prezentira silu koja djeluje po cijeloj površini ABCD ) p=P/d. A = srednji intenzitet tlaka u točki • p= hidrostatski tlak u točki tekućine koja je u stanju mirovanja

OSNOVNA SVOJSTVA HIDROSTATSKOG TLAKA 1. SILA HIDROSTATSKOG TLAKA UVIJEK DJELUJE NORMALNO ( OKOMITO) NA PROMATRANU POVRŠINU • DOKAZ:

• p= po veličini i smjeru je hidrostatski tlak na elementarnu površinu A • komponenta u smjeru osi y py=pcos mora biti jednaka 0 jer nema kretanja prema dolje (stanje mirovanja ) • cos =0 a to je moguće samo ako je kut =90 o • KUT IZMEĐU TLAKA p I STIJENKE POSUDE MORA BITI =90 o • Vektor ili skalar?

2. HIDROSTATSKI TLAK U NEKOJ TOČKI DJELUJE U SVIM SMJEROVIMA JEDNAKO G • trostrana prizma (tekućine) infinitezimalninih dimenzija dx, dy, dz • prema 1. Svojstvu: na svaku stijenku djeluje sila hidrostatskog tlaka okomito na nju (Px, Py, Pz) i sila gravitacije G=1/2 g dxdydz

• a) projekcije na os x px dy dz –pu cos du dz = 0 px dy dz – pu dy dz = 0 px=pu • b) projekcije na os y py dx dz – pu sin du dz – 1/2 g dx dy dz = 0 py dx dz – pu dx dz - 1/2 g dx dy dz = 0 py – pu – ½ g dy = 0 py=pu (posljednji član je zanemarivo mali ) • c) sile hidrostatskog tlaka koje djeluju na površine ABC i DEF su jednake po veličini i suprotne po predznaku te se poništavaju, te ostaje px = py = pu

ZAKLJUČAK: p=f( x, y, z, ) • Veličina hidrostatskog tlaka u nekoj točki ovisi o vrsti tekućine ( njezinoj gustoći ) i o položaju ( koordinatama) točke na koju djeluje

OSNOVNA JEDNADŽBA HIDROSTATSKOG TLAKA • elementarni djelić volumena u mirovanju visine h i površine pop. presjeka d. A • SILE : sile gravitacije, po (pretlak) i p (presječena površina) • a) projekcija na os y pod. A-pd. A+ ghd. A = 0 • po –p+ gh = 0 p= po+ gh ( N/m 2 ili Pa) b) projekcija na os x bočne sile su jednake po veličini i suprotne po smjeru

• HIDROSTATSKI TLAK U NEKOJ TOČKI TEKUĆINE JEDNAK JE TLAKU NA POVRŠINI +TEŽINA STUPCA TEKUĆINE ČIJA JE BAZA JEDINICA POVRŠINE, A VISINA JEDNAKA DUBINI NA KOJOJ SE PROMATRANA TOČKA NALAZI ( U ODNOSU NA POVRŠINU) • ako na površini djeluje atmosferski tlak (po=pa) tada jednadžba glasi p= gh ( N/m 2) • GRAFIČKI PRIKAZ JEDNADŽBE: p= po+ gh

• Za h=0 p=po • Za h=h 1 p= po+ gh 1 TLAK RASTE LINEARNO S DUBINOM KOD SLOBODNE VODNE POVRŠINE • Za h=0 p=pa • Za h=h 1 p= pa + gh 1 TLAK RASTE LINEARNO S DUBINOM MJERNE JEDINICE • p= d. P/d. A ( N/m 2) = 1 Pa ( pascal) • p= d. P/d. A ( N/m 2) x 10 -5 bara • pa= 1 bar =105 Pa (što odgovara tlaku vodnog stupca od 10, 33 m pri 4 o. C)

APSOLUTNI I RELATIVNI TLAK -po podtlak 0 Nadtlak, pretlak Relativni tlak 0 VAKUUM po=101325 Pa Apsolutni tlak

PIJEZOMETARSKI TLAK • p= pa + gh • visina h daje razliku tlakova u promatranoj točki i atmosferskog tlaka tj. pokazuje za koliko je tlak u nekoj točki veći od atmosferskog – PIJEZOMETARSKA VISINA (PIJEZOMETARSKI TLAK) p> pa

PIJEZOMETARSKI TLAK • visina h daje razliku tlakova u promatranoj točki i atmosferskog tlaka tj. pokazuje za koliko je tlak u nekoj točki veći od atmosferskog – PIJEZOMETARSKA VISINA (PIJEZOMETARSKI TLAK) p= pa + gh p> pa

VAKUUM (POTLAK) - ako je vanjski tlak manji od atmosferskog koji daje razliku između atmosferskog tlaka (pa) i stvarnog tlaka (p) p. V = pa - p p< pa PRIMJER: - u točki A tlak mora biti jednak i iz cijevi i izvan cijevi tj: pa = p+ ghv

ZAKON SPOJENIH POSUDA • visine različitih tekućina u spojenim posudama obrnuto su proporcionalne njihovim specifičnim težinama, pri čemu površine posuda nisu važne • pa+ 1 gh 1=pa+ 2 gh 2 • 1 gh 1= 2 gh 2 • Što se događa ako je 1= 2= ?

PASCALOV ZAKON • = tlak vanjskih sila na površinu tekućine koja se nalazi u stanju mirovanja RAVNOMJERNO se prenosi na sve točke tekućine u posudi ( hidrauličke preše) • h 1=h 2=h, A 1 MA 2 • ako se silom P 1 djeluje na manji presjek A 1 pronosi se tlak p=P 1/A 1 do klipa većeg presjeka A 2, pa je P 2=p. A 2 • Sila P 2 se povećala za onoliko puta koliko je puta presjek 2 veći od presjeka 1

PRIMJER: Odredite silu hidrostatskog tlaka na dno posude

EULEROV HIDROSTATIČKI PARADOKS • Sila hidrostatskog tlaka na dno posude JEDNAK je za sve posude i iznosi: P= gh A • Ako je = const, A=const, h=const.

OPĆA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA HIDROSTATIKE • p=f(x, y, z, ) • Elementarni djelić volumena dimenzija(dx, dy, dz) • =const, hidrostatski tlak u točki A iznosi p

• UNUTARNJE SILE • - prirast tlaka između ovih površina BCDE i FGHJ p/ x dx ( u smjeru osi x) -jer se točka A nalazi na polovici razmaka površina BCDE i FGHJ – analogno za ECHJ i BDGF • -za površine BFCJ i DEHG

VANJSKE (volumenske) SILE • -gravitacije i sila inercije • - neka je K rezultanta akceleracije vanjskih sila, a njene komponente X, Y, Z • K=X+Y+Z • projekcija na os x…… Xdxdydz =SILA ( gustoća x akceleracija x volumen)= SILA • os y…………… Ydxdydz • os z…………… Zdxdydz • SUMARNO ZA OS x…. .

• • EULEROVE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE RAVNOTEŽE TEKUĆIH TIJELA ILI OPĆE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE HIDROSTATIKE DEFINICIJA: Gradijent ( promjena ) tlaka tekućine u nekom smjeru jednak je produktu gustoće i komponente akceleracije vanjskih sila u istom smjeru.

SUMARNI TLAK TEKUĆINE NA HORIZONTALNU POVRŠINU • p=d. P/d. A - tlak na jedinicu površine, a na ukupnu površinu: • • • Ako se h i A ne mijenjaju P=const. • A 1=A 2 • P= gh. A 1 = gh. A 2

SUMARNI TLAK TEKUĆINE NA RAVNU KOSU POVRŠINU • -hidrostatski tlak u točki A p= gh, a na neku elementarnu površinu d. A kod h= l sin • d. P=pd. A = ghd. A = = gl sin d. A • na cijelu površinu A: • P= d. P = gl sin d. A = g sin ld. A • • ld. A – moment elementa površine d. A s obzirom na os y

• • ld. A = lo. A lo= udaljenost težišta površine A od osi y P= g sin lo. A lo sin = ho = vertikalna dubina težišta P= gho. A • VELIČINA SUMARNOG TLAKA NA RAVNU POVRŠINU “A” JEDNAKA JE TEŽINI VODNOG TIJELA ČIJA JE BAZA POVRŠINA “A”, A VISINA JEDNAKA VERTIKALNOJ DUBINI TEŽIŠTA ( U ODNOSU NA POVRŠINU VODE) • SMJER: smjer d. P= pd. A je kao i tlak normalan na površinu d. A, pa je i rezultanta P NORMALNA NA POVRŠINU A

CENTAR SUME TLAKA • Elementarna površina d. A=dl x b • d. P= ghdlb= glsin dlb • Statički moment: • • d. Pl= gl 2 sin dlb Za cijelu površinu A: d. Pl= gsin bdl l 2=Iy gsin =suma produkta površine i kvadrata udaljenosti od osi y=moment inercije I površine A s obzirom na os y • Plc= g. Aholc= g. Alo sin lc

CENTAR SUME TLAKA • Centar sume tlaka leži na osi simetrije ako je površina A ima s obzirom na os y I y gsin = glo A sin lc lc = hvatište sile sumarnog tlaka leži ispod težišta površine A na koju djeluje za veličinu ( t/Alo)

• ako veličina lo izraz t/Alo 0 pa je lo = lc što znači da se na nekoj dubini težište površine A poklapa s hvatištem sile sumarnog tlaka - -ako je površina A horizontalna tada je lo =0 ( =0 ) jer se površina A s površinom vode siječe u beskonačnosti pa je opet lo =lc, odnosno, hvatište sile poklapa se s težištem površine A

PRIMJER: Pravokutni zatvarač ima dimenzije 1, 5 x 2, 0 m. Kolika mora biti sila F da bi se zatvarač podigao?

SUMARNI TLAK TEKUĆINE NA ZAKRIVLJENU POVRŠINU • HORIZONTALNA KOMPONENTA – ukupnog hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu jednaka je sumarnom tlaku na vertikalnu projekciju te površine • VERTIKALNA KOMPONENTA – jednaka je težini vodnog tijela koje omeđuju površina tekućine i granična površina tijela na koju vertikalna komponenta djeluje. Ako je vodno tijelo REALNO predznak je pozitivan, a ako je FIKTIVNO, predznak je negativan

PRIMJER: • Odredite silu hidrostatskog tlaka na valjak uronjen u rezervoar s dvije različite tekućine ( gustoća ulja iznosi 870 kgm 3). Dužina valjka iznosi 6 m.

UZGON= sumarni vertikalni tlak tekućine sa smjerom prema gore čija je veličina jednaka težini istisnute tekućine - hvatište se nalazi u težištu uronjenog tijela Px= gho. Ax Px = gho. Ay Py= g. V -Py = GVABCEF Py=-Py -(+Py ) = g. VABCEF- g. VADCEF Py= g. VABCD Ax=Ay +Py = GVADCEF

PRIMJER: Betonski zid dužine 50 m, širine 2, 0 m i visine 6, 0 m je 3, 5 m duboko u vodi. Kolika je težina zida u vodi ( bet=2500 kg/m 3)? • PLIVANJE • - svako tijelo potpuno ili djelomično uronjeno u tekućinu nalazi se pod djelovanjem sile gravitacije ( težina-G) i 1. G-Py > 0 t g> vg Težina tijela je veća od uzgona (težine istisnute tekućine)- TIJELO TONE 2. G-Py < 0 ; tg< vg Rezultanta prema gore – TIJELO PLIVA NA POVRŠINI 3. G = Py; tg= vg Stanje ravnoteže – TIJELO PLUTA