Hidrodinmica Se estudian fenmenos con fluidos en movimiento

Hidrodinámica Se estudian fenómenos con fluidos en movimiento Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 1

Ideas previas Los fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen con las siguientes características: Fluidos incompresibles: de densidad constante. Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo. Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí. Flujos irotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas. Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce. Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 2

Tubo de flujo Está formado por líneas de flujo adyacentes que corresponden a un fluido en movimiento y cuya sección transversal no es necesariamente uniforme. v 1 Una molécula de fluido tiene una velocidad que en cada punto es tangente a la línea de corriente. v 2 En condiciones ideales, tal como se ha presentado hasta ahora, en el movimiento de un fluido se cumplen los siguientes principios: En la figura, cada línea representa una capa de fluido, también se le puede llamar línea de corriente. - Conservación de la masa - Conservación de la cantidad de movimiento - Conservación de la energía Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 3

Ecuación de continuidad Supongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve por un tubo con distintas secciones. La cantidad de fluido que entra por la sección 1, de Por la sección 1 ingresa una cantidad Δm 1 de fluido, con área A 1, es igual a la que volumen ΔV 1, con velocidad v 1 y recorre una distancia sale por la sección 2, de Δx 1 en un tiempo Δt. área A 2, en todo momento. En el mismo tiempo Δt, por la sección 2 sale una cantidad Δm 2 de fluido, con volumen ΔV 2, a una v 1 velocidad v 2 recorriendo una distancia Δx 2. Δm 2 A 1 1 v 2 Δm 1 = Δm 2 ρ ΔV 1 = ρ ΔV 2 2 A 2 Δm 1 ρA 1 Δx 1 = ρA 2 Δx 2 ρA 1 v 1 Δt = ρA 2 v 2 Δt Δx 2 Δx 1 Movimiento del fluido Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl A 1 v 1 = A 2 v 2 4

Un ejercicio Una manguera para incendios tiene un diámetro de 12 cm y en la boquilla se reduce a un diámetro de 3 cm. Si el agua en la manguera se mueve a razón 2 m/s. Primero una observación: A la expresión Av se le llama “tasa de flujo”, y se mide en m 3/s. ¿Cuál es la velocidad con que sale el agua por la boquilla? Datos: Se tiene: R 1 = 0, 06 m A 1 v 1 = A 2 v 2 v 1 = 2 m/s R 2 = 0, 015 m Entonces: A 1 = πR 12 A 2 = πR 22 Haciendo los cálculos, se tiene: v 2 = 32 m/s Despejando: Y. . ¿la tasa de flujo? v 2 = A 1 v 1/A 2 A 2 v 2 = πR 22 v 2 = πR 12 v 1/ πR 22 Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl A 2 v 2 = 0, 00226 m 3/s 5

Ecuación de Bernoulli Corresponde a una consecuencia del teorema del Trabajo y la Energía. Es decir, el trabajo realizado – sobre el fluido en un tubo de flujo – es equivalente al cambio de energía cinética que experimenta el fluido. Vamos a considerar un tubo de flujo cuyas secciones, la de entrada y la de salida, están en desnivel además de ser de diferente área. A 2 A 1 h 1 ≠ h 2 A 1 ≠ A 2 Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 6

A 2 ΔV Δm = ρ ΔV F 2 v 2 El trabajo realizado por F 1 es: ΔW 1 = F 1 Δx 1 = P 1 A 1 Δx 1 = P 1 Δ V P 2 El trabajo realizado por F 2 es: ΔW 2 = - F 2 Δx 2 = - P 2 A 2 Δx 2 = - P 2 ΔV A 1 Δx 2 ΔV F 1 Por lo tanto, el trabajo realizado por las fuerzas es: v 1 ΔWF = ΔW 1 + ΔW 2 = (P 1 – P 2) ΔV P 1 La cantidad Δm sube desde h 1 hasta h 2, contra la gravedad, por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza gravitacional, es: Δx 1 En el segmento inferior actúa una fuerza F 1 que produce una presión P 1, y se cumple: F 1 = P 1 A 1 A su vez, en el segmento superior actúa una fuerza F 2 que produce una presión P 2, y se cumple: F 2 = P 2 A 2 ΔWg = - Δmg(h 2 – h 1) = - ρ ΔVg(h 2 – h 1) Por otro lado, el cambio de energía cinética de Δm es: ΔK = ½ Δm(v 22 – v 12) = ½ρ ΔV(v 22 – v 127) Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl

A 2 ΔV Δm = ρ ΔV F 2 v 2 P 2 Según el teorema del trabajo y la energía, se tiene: A 1 ΔV F 1 ΔW = ΔK Δx 2 por lo tanto: v 1 ΔWF + ΔWg = ΔK P 1 (P 1 – P 2) ΔV - ρ ΔVg(h 2 – h 1) = ½ρ ΔV(v 22 – v 12) Δx 1 Dividiendo por ΔV y ordenando se tiene la expresión: P 1 + ½ ρ v 12 + ρgh 1 = P 2 + ½ρv 22 + ρgh 2 A esta expresión se le conoce como la Ecuación de Bernoulli Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 8

Interpretación de la Ecuación de Bernoulli P 1 + ½ρv 12 + ρgh 1 = P 2 + ½ρv 22 + ρgh 2 En la ecuación se observa que la suma de las condiciones iniciales es igual a la suma de las condiciones finales. Esto significa que: P + ½ρv 2 + ρgh = constante Se puede deducir que: Si la velocidad del fluido aumenta, su presión disminuye. Si la velocidad del fluido disminuye, su presión aumenta. Si un fluido asciende su presión puede disminuir. Si un fluido asciende su velocidad puede disminuir. Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 9

Efecto Venturi Ahora se considera un tubo donde h 1 = h 2 Por lo tanto, la ecuación de Bernoulli queda: P 1 v 1 P 2 P 1 + ½ρv 12 = P 2 + ½ρv 22 v 2 Entonces: P 1 – P 2 = ½ρ(v 22 – v 12) Si v 1 > v 2, entonces P 1 – P 2 < 0 Y ello ocurre solo si P 2 > P 1 Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o también, que donde la velocidad es menor la presión es mayor. Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 10

Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro. Se tiene Pinterior F Velocidad del aire P > Pinterior por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande. Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl P 11

Tubo de Venturi De acuerdo a la ecuación de continuidad A 1 v 1 = A 2 v 2, entonces v 2 = A 1 v 1/A 2 Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene: P 1 – P 2 = ½ρ(v 22 – v 12) Reemplazando v 2 Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde en un sector hay una sección de área A 1 y en otro tiene una sección reducida a A 2. P 1 – P 2 = ½ρ(A 12 v 12/A 22 – v 12) Si se despeja v 1, se tendrá: En el sector más grande la velocidad del fluido es v 1 y en el más pequeño Hernán Verdugo Fabiani la velocidad aumenta a v 2. www. hverdugo. cl 12

Ejercicio Supongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior. El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v 1 = 0 m/s Según la información de la figura que se muestra: ¿con qué velocidad sale el chorro de agua en el orificio? También se tiene que P 1 = P 2 = P 0 Si aplicamos la ecuación de Bernoulli: P 1 + ½ρv 12 + ρgh 1 = P 2 + ½ρv 22 + ρgh 2 P 1 Se tendrá: ρgh 1 = ½ρv 22 + ρgh 2 v 1 h 1 v 2 h 2 Y, despejando v 2, se obtiene que: P 2 Hernán Verdugo Fabiani www. hverdugo. cl 13