HGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer Hvis

  • Slides: 16
Download presentation
HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer Hvis en partikkel beveger seg fra (x

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer Hvis en partikkel beveger seg fra (x 1, y 1) til (x 2, y 2) er endringen Δx = x 2 -x 1 og Δy = y 2 -y 1 y 2 Δy Stigningstallet m = φ y 1 Δx x 1 © Kjell Erik Skaug, Hi. A x 2 1

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer Stigningstallet til ei linje Er hvor mye

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer Stigningstallet til ei linje Er hvor mye linja stiger pr enhet i lengderetningen eller Hvor mye y-verdien endrer seg pr enhet i x-retningen © Kjell Erik Skaug, Hi. A 2

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer - Stigningstallet er positivt når linja peker

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer - Stigningstallet er positivt når linja peker oppover mot høyre Stigningstallet er negativt når linja peker oppover mot venstre m>0 m<0 m=0 Stigningstallet er null når linja er vannrett Stigningstallet er uendelig når linja er loddrett © Kjell Erik Skaug, Hi. A 3

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer - 4 Parallelle linjer har samme stigningstall

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer - 4 Parallelle linjer har samme stigningstall Når to linjer med stigningstall m 1 og m 2 står normalt eller vinkelrett på hverandre er m 1*m 2=-1 eller m 1= -1/m 2 © Kjell Erik Skaug, Hi. A 4

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer – likning for ei rett linje y

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer – likning for ei rett linje y (a, b) x=a 1. Vertikal linje x y 2. Horisontal linje (a, b) x © Kjell Erik Skaug, Hi. A y=b 5

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer – likning for ei rett linje 2

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer – likning for ei rett linje 2 Andre linjer x b (x 2, y 2) (x 1, y 1) y y=mx+b eller y-y 1 =m(x-x 1) hvor Generell likning Ax + By = C © Kjell Erik Skaug, Hi. A 6

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Eksempel 6 Linjer - eksempel Skriv likningen for

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Eksempel 6 Linjer - eksempel Skriv likningen for linjen gjennom punktet (-1, 2) som er parallell til linjen y = 3 x-4 Likningen er på formen: y-y 1 = m(x-x 1) For den oppgitte likningen er m = 3. Når vår linje er parallell, betyr det at m = 3. y-y 1 = m(x-x 1) y-2 = 3(x-(-1)) y-2 = 3(x+1) y-2 = 3 x+3 Y = 3 x +5 Likningen for linjen normalt på den oppgitte linje blir: m 1*m 2=-1 3 m 2= -1 m 2=-1/3 Likningen: y-2 = -1/3(x-(-1)) y-2 = -1/3(x+1) Y-2 = -1/3 x-1/3 y = -1/3 x +2 -1/3=-1/3 x+6/3 -1/3 Y=-1/3 x+5/3 © Kjell Erik Skaug, Hi. A 7

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer - likning for overgangen mellom Fahrenheit og

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Linjer - likning for overgangen mellom Fahrenheit og Celsius grader som er lineær. Hva er 90 o. F og -5 o. C Ex 8. Finn en formel Formelen er på formen: F = m*C + b Vi vet: Frysepunkt for vann: F = 32 og C = 0 Kokepunkt for vann er F = 212 og C = 100 I: 32 = m*0 + b b = 32 II: 212 = m*100 + b 212 = m*100 + 32 100 m = 212 -32 = 180 m=180/100 = 9/5 F = (9/5) C + 32 eller (9/5) C = F- 32 C = 5/9(F-32) 90 o. F er i Celsius: C = 5/9(90 -32) = 32, 2 o -5 o. C er i Fahrenheit: F = 9/5(-5)+32 = 23 o © Kjell Erik Skaug, Hi. A 8

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Funksjoner og grafer En funksjon er en boks

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Funksjoner og grafer En funksjon er en boks som omgjør en verdi fra definisjonsområdet til en ny verdi i verdiområdet Definisjonsområdet Uavhengig variabel f Verdiområdet Avhengig variabel x er uavhengig variabel for y = f(x) y er avhengig variabel Definisjonsområdet til en funksjon er mengden av alle x-verdier hvor funksjonen har mening. Arealet av en sirkel er en funksjon av radien. A = f(r) Definisjonsområde: r > 0. Verdiområde: A > 0 A(2) = πr 2 = π22 = 4π © Kjell Erik Skaug, Hi. A 9

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Funksjoner og grafer Funksjon Definisjonsområde Verdiområde y=x 2

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Funksjoner og grafer Funksjon Definisjonsområde Verdiområde y=x 2 (-∞, +∞) [0, ∞ > y=1/x <-∞, 0 > U < 0, ∞> y =√x [0, ∞> y = √(1 -x 2) [-1, 1] [0, 1] Symmetri even functions, partall funksjoner f(-x) = f(x) symmetri om y-aksen odd functions, odde funksjoner f(-x) = -f(x) symmetri om origo © Kjell Erik Skaug, Hi. A 10

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Sammensatte funksjoner Absoluttverdi: |x| = x når x

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Sammensatte funksjoner Absoluttverdi: |x| = x når x > 0 og |x| = -x når x < 0 |-2| = -(-2) = 2 Sammensatte funsjoner: y = f(x) når y er en funksjon av x Til hver x-verdi fås en y-verdi f(g(x)) betyr at g(x) er en funksjon av x og at f er en funksjon av denne funksjonen. Til hver x-verdi fås en verdi g(x). Denne verdien settes inn i funksjonsuttrykket til f x g g(x) f f(g(x)) = f • g Finn f(g(x)) når g(x) = x 2 og f(x) = x-7 Den ytre funksjonen er f(x) = x-7 f(g(x)) betyr at x i f(x) skal erstattes med funksjonen g(x) f(g(x)) = g(x)-7 = x 2 -7 ---- f(g(2)) = g(2)-7 = 22 -7 = -3 © Kjell Erik Skaug, Hi. A 11

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Sammensatte funksjoner Oppgave 38 f(x) = x-1 og

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Sammensatte funksjoner Oppgave 38 f(x) = x-1 og g(x) = 1/(x+1) f(g(1/2)) = g(f(1/2)) = f(g(x)) = g(f(x)) = f(f(x)) = © Kjell Erik Skaug, Hi. A 12

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner En en til en funksjon er

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner En en til en funksjon er en funksjon som for en verdi i definisjonsområdet angir en og bare en verdi i verdiområdet eller omvendt det vil si f(a) er forskjellig fra f(b) når a og b er forskjellige tall. En til en funksjon y=x 2 y=√x En en til en funksjon vil skjære en horisontal linje bare en gang. Dersom den skjærer en horisontal linje mer enn en gang er den ikke en en til en funksjon. © Kjell Erik Skaug, Hi. A 13

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner 2 En en til en funksjon

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner 2 En en til en funksjon har en verdi for hver verdi i definisjonsområdet. Dette vil si at for hver verdi i verdiområdet finnes kun et punkt i definisjonsområdet. For en en til en funksjon kan det lages en funksjon hvor verdiområdet til f blir definisjonsområdet til funksjonen g – og at definisjonsområdet til f blir verdiområdet til g. g kalles da den inverse funksjonen til f og benevnes g=f-1 Ved å lage en sammensatt funksjon av de to f og g fås x det vil si f • g = f(g(x)) = g(f(x)) = x Test: f(x) = 3 x og g(x) = x/3 f(g(x)) = 3*x/3 = x og g(f(x))=3 x/3=x Men: f(x) = x og g(x) = 1/x f(g(x)) = 1/x forskjellig fra x © Kjell Erik Skaug, Hi. A 14

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner 3 Grafen til to inverse funksjoner

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner 3 Grafen til to inverse funksjoner er symmetrisk om linja y = x eller har vi en graf vil grafen til den inverse funksjonen bli speilet om linja y = x. Regel for å finne den inverse funksjonen 1. Løs likningen y = f(x) med hensyn på x 2. Bytt om y og x Eksempel: y = ½x + 1 2 y = x + 2 x = 2 y - 2 Løs med hensyn på x y = 2 x – 2 f-1(x) = 2 x - 2 Bytt om y og x Sjekk: f-1(f(x)) = 2(½ x +1) – 2 = x + 2 – 2 = X © Kjell Erik Skaug, Hi. A 15

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner 4 y = x 2 er

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Inverse funksjoner 4 y = x 2 er ikke en en til en funksjon fordi det til samme y-verdi passer 2 x-verdier. Den har ikke en invers funksjon. y=x √x x 2 Begrenses definisjonsområdet til x >= 0 blir bare høyre del av kurven med. y = x 2 har da en invers funksjon. y=x 2 √y = √x 2 = |x| = x for x >= 0 √y = x Bytter om y = √x f(x) = x 2 og f-1(x) = √x for x >= 0 © Kjell Erik Skaug, Hi. A 16