HGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdiregler La

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdiregler La L, M, c og k være reelle tall og limx cf(x) = L og limx c g(x) = M. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Sum regel limx c(f(x) + g(x)) = L + M Differanse limx c(f(x) - g(x)) = L- M Produkt limx c(f(x)*g(x)) = L*M Konstantledd limx c(k*f(x)) = k*L Brøk limx c(f(x)/g(x)) = L/M (M forskjellig fra 0) Potens limx c(f(x))r/s = Lr/s © Kjell Erik Skaug, Hi. A 1

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdier Teorem 2 Grenser for polynomer Hvis P(x) = anxn + an-1 xn-1 + …. . + a 0 så er lim x c. P(x) = P(c)= ancn +an-1 cn-1 +……+ a 0 Terem 3 Grenser for brøk dersom nevner er forskjellig fra null. La P(x) og Q(x) være polynomer og Q(c) ikke lik null © Kjell Erik Skaug, Hi. A 2

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdier h f L g c Sandwich teoremet Anta at g(x)<=f(x)<=h(x) for alle x i et åpent intervall som inneholder x=c. Anta at: limx cg(x)= limx ch(x)=L Da må limx cf(x)=L Ensidige grenseverdier For at en funksjon skal ha en grense L når x nærmer seg x = a , må funksjonen f(x) være definert på begge sider av a og den må ha samme grenseverdi L fra begge sider. Har ikke funksjonen det, vil den ha ensidige grenseverdier. © Kjell Erik Skaug, Hi. A 3

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdier Hvis f(x) er definert i intervallet (a, b) hvor a < b. Hvis f(x) nærmer seg verdien L, når x nærmer seg a, er det en høgresidig grenseverdi limx a+f(x) = L Hvis f(x) er definert i intervallet (c, a) hvor c < a. Hvis f(x) nærmer seg verdien M, når x nærmer seg a, er det en venstresidig grenseverdi Limx a-f(x) = M L Høyresidig a b Venstresidig M c © Kjell Erik Skaug, Hi. A a 4

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdier Teorem 5 Total grenseverdi En funksjon har en grenseverdi når x c hvis og bare hvis den venstresidige grenseverdien og den høgresidige grenseverdien er den samme. limx cf(x) = L hvis limx c-f(x) = L og limx c+f(x) = L Teorem 6 Nyttig grenseverdi c © Kjell Erik Skaug, Hi. A a 5

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdier Teorem 7 - Grenseverdiregler når x +- ∞ La L, M og k være reelle tall og limx ∞f(x) = L og limx ∞g(x) = M. 1 Sum regel limx ∞(f(x) + g(x)) = L+M 2 Differanse limx ∞(f(x) - g(x)) = L-M 3 Produkt limx ∞(f(x) * g(x)) = L*M 4 Konstantledd limx ∞(k * f(x)) = k*L 5 Brøk limx ∞(f(x)/(x)) = L/M 6 Potens limx ∞(f(x))r/s= Lr/s © Kjell Erik Skaug, Hi. A 6

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Grenseverdier Grenseverdien i en brøk når x går mot uendelig Graden av x i teller > Graden av x i nevner grenseverdien er uendelig Graden av x i teller < Graden av x i nevner grenseverdien er 0 Graden av x i teller = Graden av x i nevner Grenseverdien er en verdi - et tall Regnemessig: Divider teller og nevner med største x-potens i nevner © Kjell Erik Skaug, Hi. A 7

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Asymptoter Horisontale asymptoter Linja y = b er en horisontal asymptote til funksjonen y = f(x) hvis limx ∞f(x) = b eller limx -∞f(x)=b Vertikal asymptoter Linja x = a er en vertikal asymptote til funksjonen y = f(x) hvis limx a-f(x) = +-∞ eller limx a+f(x) = +-∞ © Kjell Erik Skaug, Hi. A Y=b x=a 8

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Kontinuitet i et punkt f(a) f(b) Indre punkt: Funksjonen f(x) er kontinuerlig i et f(c) indre punkt c i sitt definisjonsområde hvis limx cf(x) = f(c) a c Endepunkt Funksjonen f(x) er kontinuerlig i venstre endepunkt a eller i høyre endepunkt b i sitt definisjonsområde hvis limx a+f(x) = f(a) eller limx b-f(x) = f(b)) b Hvis funksjonen f(x) ikke er kontinuerlig i punktet c, er f(x) diskontinuerlig i punktet c © Kjell Erik Skaug, Hi. A 9

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Kontinuitet f(x) er høyre kontinuerlig i et punkt c hvis limx c+f(x) = f(c) og f(x) er venstre kontinuerlig i et punkt c hvis limx c-f(x) = f(c) MEN f(x) må være både høyre og venstre kontinuerlig i et indre punkt c for at f(x) skal være kontinuerlig i f(c) © Kjell Erik Skaug, Hi. A 10

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Kontinuitets test Funksjonen f(x) er kontinuerlig i punktet x=d hvis og bare hvis følgende tre krav er oppfylt. 1. f(d) eksisterer og d er i definisjonsområdet 2. limx df(x) eksisterer 3. limx df(x)= f(d) {f(x) har en grenseverdi} {grenseverdien er lik funksjonsverdien} f(d) d c © Kjell Erik Skaug, Hi. A 11

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Kontinuitet Teorem 8 Egenskaper til kontinuerlige funksjoner. Hvis funksjonen f og g er kontinuerlige ved x=c, så er følgende kombinasjoner kontinuerlige 1 2 3 4 Sum Differanse Produkt Konstanter f+g f-g f*g k*f (k er konstant) 5 Brøk f / g når g(c) er ulik 0 Teorem 9 Sammensatte funksjoner Hvis f(x) er kontinuerlig i c og g er kontinuerlig i f(c) da er den sammensatte funksjonen g(f(c)) kontinuerlig i c © Kjell Erik Skaug, Hi. A 12

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Kontinuitet Teorem 10, Mellomverdi teoremet En funksjonen f(x) som er kontinuerlig på et lukket intervall [a, b] inneholder alle verdier mellom f(a) og f(b). Hvis y 0 er en verdi mellom f(a) og f(b), så er y 0 = f(c) for en x-verdi x = c i [a, b ] f(b) En kontinuerlig funksjon vil være sammenhengende f(c)=y 0 f(a) a © Kjell Erik Skaug, Hi. A c b 13

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College Tangentlinjer Q y 1=f(x 0+h) y 0=f(x 0) Δy P Δx x 0 Sekanten fra P til Q har stigningstallet x 1 Når punktet Q beveger seg mot P nærmer sekanten seg til en tangent til kurven i punktet P. Da nærmer Δy/ Δx seg til stigningstallet til tangenten i punktet P La x 1=x 0+h eller h=x 1 -x 0 =Δx og y 1=f(x 0+h) og y 0=f(x 0) Stigningstallet til tangenten blir da: Kalles den deriverte av f(x) i x=x 0 det vil si hvor raskt funksjonen endrer seg i punktet x 0 © Kjell Erik Skaug, Hi. A 14