Herons Formel Forhistorie Hvem var Heron Hvad siger

Herons Formel Forhistorie (Hvem var Heron? )… Hvad siger Heron? Hvordan bruges formlen?

Forhistorie… Heron fra Alexandria ved Nilens udløb i Middelhavet i Egypten var en betydningsfuld ingeniør og matematiker, der levede fra ca. 10 e. kr. til ca. 70 e. kr. Han stod bag flere betydningsfulde opfindelser. Således opfandt han den første raketlignende jetmotor, aeolipilen, der var en vandbeholder med to dyser!

Forhistorie… På matematiksiden gjorde han flere opdagelser – eller han lagde i det mindste navn til dem. Heron var den første, der var i stand til at uddrage kvadratroden af et vilkårligt tal ved den såkaldte iterationsmetode eller babylonske metode. Ex. : Find √ 10 - Jeg gætter på 5

Forhistorie… På matematiksiden gjorde han flere opdagelser – eller han lagde i det mindste navn til dem. Heron var den første, der var i stand til at uddrage kvadratroden af et vilkårligt tal ved den såkaldte iterationsmetode eller babylonske metode. Ex. : Find √ 10 - Jeg gætter på 5 Udregn: 0, 5·(5 + 10/5) = 3, 5

Forhistorie… På matematiksiden gjorde han flere opdagelser – eller han lagde i det mindste navn til dem. Heron var den første, der var i stand til at uddrage kvadratroden af et vilkårligt tal ved den såkaldte iterationsmetode eller babylonske metode. Ex. : Find √ 10 - Jeg gætter på 5 Udregn: 0, 5·(5 + 10/5) = 3, 5 Udregn: 0, 5·(3, 5 + 10/3, 5) = 3, 18

Forhistorie… På matematiksiden gjorde han flere opdagelser – eller han lagde i det mindste navn til dem. Heron var den første, der var i stand til at uddrage kvadratroden af et vilkårligt tal ved den såkaldte iterationsmetode eller babylonske metode. Ex. : Find √ 10 - Jeg gætter på 5 Udregn: 0, 5·(5 + 10/5) = 3, 5 Udregn: 0, 5·(3, 5 + 10/3, 5) = 3, 18 Udregn: 0, 5·(3, 18 + 10/3, 18) = 3, 16 - osv.

Forhistorie… Heron var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Del trekanten i to lige store arealer gennem punktet D. B D A C

Forhistorie… Heron var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Del trekanten i to lige store arealer gennem punktet D. B Opskrift: Tegn linien fra D til den modstående vinkel, C D A C

Forhistorie… Heron var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Del trekanten i to lige store arealer gennem punktet D. B Opskrift: Tegn linien fra D til den modstående vinkel, C Afmærk midtpunktet, M, af samme side, som D er på D M A C

Forhistorie… Heron var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Del trekanten i to lige store arealer gennem punktet D. B Opskrift: Tegn linien fra D til den modstående vinkel, C Afmærk midtpunktet, M, af samme side, som D er på Tegn linien gennem M parallelt med linien DC D M A C

Forhistorie… Heron var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Del trekanten i to lige store arealer gennem punktet D. Opskrift: Tegn linien fra D til den modstående vinkel, C Afmærk midtpunktet, M, af samme side, som D er på Tegn linien gennem M parallelt med linien DC Denne linie skærer AC i punktet E B D M A E C

Forhistorie… Heron var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Del trekanten i to lige store arealer gennem punktet D. Opskrift: Tegn linien fra D til den modstående vinkel, C Afmærk midtpunktet, M, af samme side, som D er på Tegn linien gennem M parallelt med linien DC Denne linie skærer BC i punktet E Linien DE deler trekanten i to lige store arealer B D M A E C

Forhistorie… På matematiksiden gjorde han flere opdagelser – eller han lagde i det mindste navn til dem. Heron var den første, der var i stand til at uddrage kvadratroden af et vilkårligt tal ved den såkaldte iterationsmetode eller babylonske metode. Han var endvidere den første, der kunne dele en trekant i 2 lige store arealer, når delingslinien skulle gå gennem et givet punkt på en af siderne. Endelig var han den første til at finde arealet af en trekant, hvor kun siderne kendes (Herons formel) Dette vil vi se på i denne Power. Point!

Hvad siger Herons formel? Herons formel giver os en måde at udregne arealet af trekanter på – uden at kende andet end sidernes længder. Vi behøver altså intet at kende til vinklerne (så vi jo kunne bruge trigonometri til at regne arealet ud) eller til en højde i trekanten, så vi kan bruge den velkendte arealformel: A= 1 · h·g 2 h h = højden i trekanten g = grundfladen g

Hvad siger Herons formel? Herons formel gælder for alle trekanter. Der er ingen krav til vinklernes størrelser, til udseende eller lignende. Formlen gælder ganske enkelt alle trekanter. Lad os se på formlen: a c b

Hvad siger Herons formel? Lad os se på formlen: Find først den halve omkreds, s: a c b

Hvad siger Herons formel? Lad os se på formlen: Find først den halve omkreds, s: s= a c a+b+c 2 b

Hvad siger Herons formel? Lad os se på formlen: Find først den halve omkreds, s: s= a c a+b+c 2 Denne værdi bruges i selve formlen: b

Hvad siger Herons formel? Lad os se på formlen: Find først den halve omkreds, s: s= c a+b+c 2 Denne værdi bruges i selve formlen: A= a √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) b

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 8 5 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten a+b+c s= 2 8 5 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 8 5 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) 8 5 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 8 5 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 11 · (11 – 5) · (11 – 8) · (11 – 9) 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 8 5 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 11 · (11 – 5) · (11 – 8) · (11 – 9) A= √ 11 · 6 · 3 · 2 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 8 5 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 11 · (11 – 5) · (11 – 8) · (11 – 9) A= √ 11 · 6 · 3 · 2 A= √ 396 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 5 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 11 · (11 – 5) · (11 – 8) · (11 – 9) A= √ 11 · 6 · 3 · 2 A= √ 396 A = 19, 9 8 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 1 Find arealet af trekanten 5+8+9 s= = 11 2 5 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 11 · (11 – 5) · (11 – 8) · (11 – 9) A= √ 11 · 6 · 3 · 2 A= √ 396 A = 19, 9 8 9 Arealet er 19, 9

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 15 8 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten a+b+c s= 2 15 8 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 15 8 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) 15 8 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 15 8 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 20 · (20 – 8) · (20 – 15) · (20 – 17) 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 15 8 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 20 · (20 – 8) · (20 – 15) · (20 – 17) A= √ 20 · 12 · 5 · 3 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 15 8 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 20 · (20 – 8) · (20 – 15) · (20 – 17) A= √ 20 · 12 · 5 · 3 A= √ 3600 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 8 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 20 · (20 – 8) · (20 – 15) · (20 – 17) A= √ 20 · 12 · 5 · 3 A= √ 3600 A = 60 15 17

Eksempler på brug af formlen: Eksempel 2 Find arealet af trekanten 8 + 15 + 17 s= = 20 2 8 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) A= √ 20 · (20 – 8) · (20 – 15) · (20 – 17) A= √ 20 · 12 · 5 · 3 A= √ 3600 A = 60 15 17 Arealet er 60

Eksempler på brug af formlen: Praktisk eksempel 89 m Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor 110 m 65 m 72 m

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 110 m 65 m A 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m A 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 A 110 m A 1 97 m 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A 110 m A 1 97 m 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 = 2. 340 m 2 A 110 m A 1 97 m 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= a+b+c 2 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A= √s · (s – a) · (s – b) · (s – c) 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A= √ 148 · (148 – 89) · (148 – 110) · (148 – 97) 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A= √ 148 · 59 · (148 – 110) · (148 – 97) 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A= √ 148 · 59 · 38 · (148 – 97) 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A= √ 148 · 59 · 38 · 51 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A= √ 16. 922. 616 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m B 65 m A 2 110 m 97 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A = 4. 113, 7 m 2 72 m D

Eksempler på brug af formlen: C Praktisk eksempel Find arealet den asymmetriske mark til højre herfor Ved hjælp af Pythagoras kan man først beregne hypotenusen i den retvinklede trekant ABD 89 m 65 m Hypotenusen bliver 97 m Arealet af trekant ABD: A 1 = 1 ·h·g 2 = 1 · 65· 72 2 A 2 B A 110 m 97 m 72 m D = 2. 340 m 2 Arealet af trekant BCD findes ved Herons formel: s= 89 + 110 + 97 = 148 2 A = 4. 113, 7 m 2 Samlet areal af rummet: 2. 340 + 4. 113, 7 = 6453, 7 m 2

Heron