havo A Samenvatting Hoofdstuk 11 Regels bij kansrekeningen

havo A Samenvatting Hoofdstuk 11

Regels bij kansrekeningen Kansdefinitie van Laplace P(G) = aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2) = P(G 1) + P(G 2). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G 1 en G 2) = P(G 1) · P(G 2). Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 11. 1

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 11. 1

Het vaasmodel bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaasmodel 11. 1

Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk: – Zet de uitkomsten bij de kansboom. – Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt. – Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst. 11. 2

opgave 28 In een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn. a P(rr) = De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49 knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn. b P(rode en witte) = 2 · P(rw) = Er zijn 50 – p witte knikkers 11. 2

Toevalsvariabelen Bij het kansexperiment uit opgave 31 wordt aselect (= willekeurig) een leerling uit de klas gekozen. X = de leeftijd van de leerling. Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele. complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) 11. 3

Kansverdelingen De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde van X de bijbehorende kans is vermeld. De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1. kanshistogram 11. 3

De verwachtingswaarde Werkschema : het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) 1 Stel de kansverdeling van X op. 2 Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. 3 Tel de uitkomsten op. 11. 3

Succes en mislukking De complement-gebeurtenis van succes. De kans op succes geven we aan met p. 11. 4

Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd • X het aantal keer succes • p de kans op succes per keer • De kans op k keer succes is gelijk aan n P(X = k) = k · pk · (1 – p)n – k. 11. 4

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 11. 4

11. 4

Binomiale kansen berekenen Werkschema : het maken van opgaven over binomiale kansexperimenten 1 Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X. 2 Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. 3 Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 11. 5

De binomiale en de normale verdeling combineren opgave 88 a X = het aantal handelingen dat langer dan 3 minuten duurt. X is binomiaal verdeeld met n = 80 en p = normalcdf(180, 1099, 160, 15) ≈ 0, 091 … P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – binomcdf(80, 0. 091 … , 9) ≈ 0, 192 b 2 en een halve minuut is 150 seconden opp = normalcdf(-1099, 150, 160, 15) ≈ 0, 2525 De kans dat een handeling korter duurt dan 2½ minuut is 0, 2525. 150 180 · 0, 2525 ≈ 45 handelingen minder dan 2½ minuut. c X = het aantal handelingen dat langer dan 2 min. en 45 sec. duurt. Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0, 99 met 99 Casio … ? TIp = normalcdf(165, 10 , 160, 15) ≈ 0, 369 1 – binomcdf(n, 0. 369 … , 4) > 0, 99 1 – P(X ≤ 4) > 0, 99 Voer in y 1 = 1 – binomcdf(x, 0. 369 … , 4). Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0, 01 Maak een tabel en lees af Proberen geeft voor n = 27 is y 1 ≈ 0, 989 voor n = 27 is P(X ≤ 4) ≈ 0, 011 voor n = 28 is y 1 ≈ 0, 992. voor n = 28 is P(X ≤ 4) ≈ 0, 008. Dus minstens 28 remmen. 11. 5