Hatrlatma Topolojik Edeerlilik h homeomorfizm Zamanla deiimin ynn

Hatırlatma Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Teorem 10: (Hartman-Grobman ) Dinamik sistem, hiperbolik bir denge noktası Anlamı ne? civarında lineerleştirilmiş sisteme topolojik eşdeğerdir. F. C. Hoppensteadt, E. M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik eşdeğerliliğin ortadan kalktığı durumlar var mı, varsa nasıl buluruz? Dallanmalar (Bifurcation) ve dallanma diyagramları Sürekli zaman Ayrık zaman Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Topolojik eşdeğerlik bozulduğunda durum portresinde neler değişebilir? F. C. Hoppensteadt, E. M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.

Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Bir örnek S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 E. M. Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience”, MIT Press, 2007

Denge noktalarının sayısı değişiyor acaba kararlılıkları ne oluyor? denge noktası kararlı civarında denge noktası kararsız civarında denge noktası kararlı Dallanma diyagramı S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.

Bir örnek Kararlı odak Eyer S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999. Düğüm-Eyer Dallanması

Bir örnek daha Denge noktası bir tane ve (0, 0) Küçük Denge noktası kararlı odak için Denge noktası kararsız odak Yeterince büyük Andronov-Hopf Dallanması Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. için

Yerel (Local) ve Genel (Global) Dallanmalar İncelediğimiz dallanmalar ile denge noktalarının sayısı ve yeri değişti, denge noktasından limit çevrime geçiş oldu ancak hepsi bir denge noktası civarındaki topolojik değişiklikler idi ve denge noktası civarına bakarak oluşan değişiklikler belirlenebildi. Bu tür dallanmalar yerel dallanmalar olarak adlandırılıyor. Ancak denge noktası civarında olup bitenlere bakarak tüm durum uzayındaki değişimler için fikir edinemediğimiz de genel dallanma ile topolojik değişiklikleri belirleyebiliriz.

İki Özel Yörünge * Aynı noktaya dönen yörünge (Homoclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin “aynı noktasına dönen yörünge”sidir. Ayrı noktaya dönen yörünge (Heteroclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin ve “ayrı noktalarına dönen yörünge”sidir. Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Bir örnek Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.

Dallanma diyagramına tekrar bakalım Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Wilson-Cowan Modeli Dallanma parametreleri

Bir başka örnek- Cihan Soylu (Bitirme Ödevi) p(k + 1) = f(λp(k) + m(k) + I) m(k + 1) = f(p(k) − d(k)) n(k + 1) = f(p(k)) d(k + 1) = f(αn(k)), α = Wd - W r

Dallanmanın eşboyutu (codimension): ve sistemlerine ilişkin dallanmanın eşboyutu parametre uzayının boyutu ile ilgili dallanma yüzeyinin boyutu arasındaki farka eşittir. Dallanmaların sınıflandırılması için bir yol nasıl buluruz? * # Topolojik Eşdeğerlilik: Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa * sistemi # sistemine topolojik olarak eşdeğerdir Parametreye bağlı p homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak