Hatrlatma Dinamik Sistem Dinamik sistem T X t

Hatırlatma Dinamik Sistem Dinamik sistem: (T, X, φt ) φt : X X T zaman T=R sürekli zaman T=Z ayrık zaman a 1) φ0=I a 2) φt+s =φt ◦ φs ▪ X durum uzayı X=Rn X=Cn Yörünge: Or(xo) xo ilk koşulundan başlayan bir yörünge, x durum uzayının sıralı bir alt kümesidir.

Lineer otonom sistem Lojistik dönüşüm Hatırlatma

Denge noktası- Sabit nokta: Hatırlatma denge noktası-sabit nokta Denge noktası-Sabit nokta nasıl belirlenir? Sürekli Zaman Ayrık Zaman Çevrim: periyodik yörüngesi Çevrimdir. Sürekli Zaman Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory” 3 rd Edition, Springer, 2004, Ayrık Zaman

Hatırlatma Limit Çevrim: Sürekli zaman, dinamik bir sisteme ait bir çevrimin komşuluğunda başka bir çevrim yoksa bu çevrim Limit Çevrimdir. Hangisi çevrim, hangisi limit çevrim? Faz Portresi: Dinamik bir sistemin durum uzayının yörüngeler ile bölümlenmesi faz portresini verir. Bu yörüngeleri birbirinden farklı kılan nedir? Faz portresine bakarak neleri anlayabiliriz?

Değişmez Küme (S) : Değişmez küme sistemin asimptotik durumları hakkında bilgi veriyor. Dinamik sistemin yörüngelerini içeriyor ve her yörünge bir değişmez küme. Durum uzayı bir metrik uzay ise kapalı değişmez kümeleri tanımlayabiliriz. En basit kapalı değişmez alt küme Denge noktası, limit çevrim Manifold Tuhaf çekici

Değişmez kümeleri gözlemeleyebilmemiz için kolayca bulabilmemiz gerek, bu ne zaman olası? Civarlarındaki yörüngeler de zaman ilerledikçe değişmez kümeye yaklaşırsa Kararlı değişmez küme: Lyapunov anlamında kararlılık tam metrik uzay kapalı değişmez küme ‘nun yeterince küçük herhangi bir Bu tanımı değişmez küme tanımından farklı kılan ne? komşuluğunda komşuluğu var öyle ki ‘nun bir komşuluğu vardır öyle ki Değişmez Küme (S) : Asimptotik kararlılık Lyapunov anlamında kararlılık Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory” 3 rd Edition, Springer, 2004,

Lyapunov anlamında kararlılık nasıl tanımlanmıştı, hatırlayalım Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık herhangi bir sistemine ilişkin bir denge noktası için olsun. Verilen eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir noktası Lyapunov anlamında kararlıdır. Denge noktası kararlı olsun. ise denge noktası asimptotik kararlıdır. bulunabiliyorsa denge

Bir başka Lyapunov anlamında kararlılık verilen sistemin herhangi bir çözümü olsun Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık (Wiggens, sf. 7) herhangi bir sistemine ilişkin bir çözüm olsun. Verilen için herhangi bir başka çözüm olmak üzere eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir Lyapunov anlamında kararlıdır. kararlı olsun. ise bulunabiliyorsa çözümü asimptotik kararlıdır. S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos ” 2 nd Edition, Springer, 2003, çözümü

Strogatz, sf. 16 Bir Örnek

Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı? niye böyle bir soru sorduk? Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı için yeter koşul) kararlıdır