Hatrlatma Baz sorular Topolojik edeerlilik ne iimize yarayacak
Hatırlatma Bazı sorular: Topolojik eşdeğerlilik ne işimize yarayacak, topolojik eşdeğerliliğin ortadan kalktığı durumlar var mı, varsa nasıl buluruz? Dallanmalar (Bifurcation) ve dallanma diyagramları Sürekli zaman Ayrık zaman Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Topolojik eşdeğerlik bozulduğunda durum portresinde neler değişebilir? F. C. Hoppensteadt, E. M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.
Hatırlatma Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Bir örnek S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 E. M. Izhikevich, “Dynamical Systems in Neuroscience”, MIT Press, 2007
Denge noktalarının sayısı değişiyor acaba kararlılıkları ne oluyor? denge noktası kararlı civarında denge noktası kararsız civarında denge noktası kararlı Dallanma diyagramı S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999.
Bir örnek Kararlı odak Eyer S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999. Düğüm-Eyer Dallanması
Bir örnek daha Denge noktası bir tane ve (0, 0) Küçük Denge noktası kararlı odak için Denge noktası kararsız odak Yeterince büyük Andronov-Hopf Dallanması Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. için
Yerel (Local) ve Genel (Global) Dallanmalar İncelediğimiz dallanmalar ile denge noktalarının sayısı ve yeri değişti, denge noktasından limit çevrime geçiş oldu ancak hepsi bir denge noktası civarındaki topolojik değişiklikler idi ve denge noktası civarına bakarak oluşan değişiklikler belirlenebildi. Bu tür dallanmalar yerel dallanmalar olarak adlandırılıyor. Ancak denge noktası civarında olup bitenlere bakarak tüm durum uzayındaki değişimler için fikir edinemediğimiz de genel dallanma ile topolojik değişiklikleri belirleyebiliriz.
İki Özel Yörünge * Aynı noktaya dönen yörünge (Homoclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin “aynı noktasına dönen yörünge”sidir. Ayrı noktaya dönen yörünge (Heteroclinic Orbit) ‘de başlayan bir yörüngesi aşağıdaki koşulu sağlıyorsa (*) sisteminin ve “ayrı noktalarına dönen yörünge”sidir. Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.
Bir örnek Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.
Dallanma diyagramına tekrar bakalım Dallanma Diyagramı: Dinamik sistemin parametre uzayının, her bir katmanda topolojik eşdeğerliğe bağlı olarak durum uzayının temsili ile katmanlaştırılması “dallanma diyagramı “ ‘nı verir. Wilson-Cowan Modeli Dallanma parametreleri
Bir başka örnek- Cihan Soylu (Bitirme Ödevi) p(k + 1) = f(λp(k) + m(k) + I) m(k + 1) = f(p(k) − d(k)) n(k + 1) = f(p(k)) d(k + 1) = f(αn(k)), α = Wd - W r
Dallanmanın eşboyutu (codimension): ve sistemlerine ilişkin dallanmanın eşboyutu parametre uzayının boyutu ile ilgili dallanma yüzeyinin boyutu arasındaki farka eşittir. Dallanmaların sınıflandırılması için bir yol nasıl buluruz? # * Topolojik Eşdeğerlilik: Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa * sistemi # sistemine topolojik olarak eşdeğerdir p homeomorfizm Parametreye bağlı homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak Topolojik Eşdeğerlilik: ‘ın küçük bir komşuluğunda tanımlanmış dönüşümü aşağıdaki koşulları sağlanıyorsa *sistemi # sistemine yerel olarak orijin civarında topolojik eşdeğerdir p, civarında homeomorfizm komşuluğunda * sisteminin yörüngelerini # sisteminin yörüngelerine zamanda değişim yönünü koruyarak taşıyan homeomorfizm , ‘ın
? ? ? Topolojik eşdeğer ama dallanmanın incelenmesi daha kolay olan bir sistem # * Dallanma parametresi # sisteminin noktası olsun Çok terimlinin katsayıları parametre değerinde Benzer şekilde * sisteminin bir denge noktası olsun noktasında bir denge parametre değerinde noktasında Topolojik önörnek: # sistemi denge noktasında ve parametre değerinde * sistemi ile aynı dallanma koşullarını sağlıyorsa ve orijin civarında bazı değerleri için yerel olarak * sistemine topolojik eşdeğer ise * sistemi dallanma için # sisteminin topolojik önörneği olarak isimlendirilir. Çaprazlık koşulu Dejenere olmama koşulu
Gerekli Bilgi (çapraz kesişim-transversal intersection) İki düzgün manifold ‘un her hangi bir kesişim noktasında, bu manifoldlardan en az birine tanjant n tane lineer bağımsız vektör var ise Bu iki manifold “transversal kesişiyor” denir. çapraz kesişim çapraz olmayan kesişim http: //upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Sphere-nontransverse. svg http: //upload. wikimedia. org/wikipedia/commons/thumb/e/e 6/Sphere-transverse. svg S. Wiggens, ”Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos”, Springer-Verlag, 1999
Bir örnek Daha önce görmüştük S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999 Düğüm-Eyer Dallanması
Hatırlatma Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Dallanma: Bir parametrenin değişimi ile topolojik olarak eşdeğer olmayan durum portresinin oluşumuna “dallanma” denir. Teorem: (İmplicit function ) ’de bir noktayı ile belirtelim matrisi tersinir ise U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere öyle ki: a ‘yı içeren bir açık küme vardır,
Durum portresi küçük düzensizlikler (perturbation) altında değişmeyen dinamik sistemlerin özellikleri neler? Önce küçük düzensizlikler
# Hiperbolik denge noktası * Hiperbolik denge noktası # ve * sistemleri denge noktası civarında topolojik eşdeğer Hiperbolik denge noktası küçük düzensizlikler altında topolojik olarak değişiklik göstermiyor Epsilon yakın dinamik sistemler: ise f ve C 1 yakın g sistemleri epsilon yakındır
# * Kesin yapısal kararlı sistemler: # sistemine U bölgesinde C 1 yakın olan bir * sistemi U bölgesinde # sistemine topolojik eşdeğer ise # sistemi * sistemine U bölgesi içinde kesin yapısal kararlıdır. D D 0 Yapısal kararlı sistemler: V U ve V bölgeleri belirlenebiliyorsa # sistemi ‘de yapısal kararlıdır. Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.
- Slides: 18