Haremy i turnieje Karolina Bednarczyk Martyna Cioek Twierdzenie

Haremy i turnieje Karolina Bednarczyk, Martyna Ciołek

Twierdzenie Halla – wersja małżeńska W grupie dziewcząt każda może wybrać męża spośród chłopców, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze dziewcząt (powiedzmy r spośród nich) dziewczyny te znają co najmniej r chłopców.

Przykład dziewczyna 1 zna chłopców A i C dziewczyna 2 zna chłopców B i C dziewczyna 3 zna chłopców A, C, D i E dziewczyna 4 zna chłopców B, D, F i G dziewczyna 5 zna chłopców A i E dziewczyna 6 zna chłopców A i B Czy możemy dla każdej dziewczyny znaleźć męża spośród chłopców, których zna?

Rozpoczniemy od uogólnienia małżeńskiej wersji twierdzenia Halla na haremy zakładając, że pewne osoby mogą mieć więcej niż jednego partnera. Tradycyjnie w haremie każdy mężczyzna może mieć wiele żon, ale żadna kobieta nie może mieć więcej niż jednego męża. Przedstawimy teraz wersję haremową twierdzenia Halla odwracając przy tym tę tradycyjną zasadę, tzn. pozwalając kobietom mieć swoje haremy ; )

Twierdzenie Halla – wersja haremowa Niech b 1, . . . , bn będą nieujemnymi liczbami całkowitymi i niech D 1, . . . , Dn oznaczają dziewczyny. Dziewczyna D 1 chce mieć b 1 mężów (jak zawsze spośród tych chłopców, których zna), dziewczyna D 2 chce mieć b 2 mężów, . . . , i dziewczyna Dn chce mieć bn mężów. Żaden z chłopców nie może ożenić się z więcej niż jedną dziewczyną. Wszystkie życzenia dziewcząt mogą być spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy dziewczyny z dowolnego podzbioru Di 1, . . . , Dis znają co najmniej bi 1 +. . . + bis chłopców.

Teraz rozważymy inny przykład skojarzenia, obserwując „turniej typu każdy z każdym” w pewnym klubie sportowym. Wyobraźmy sobie pewien turniej dla grupy graczy, polegający na tym, że każdy gra z każdym, przy czym wynikiem pojedynku jest zwycięstwo jednego z dwóch graczy. To prowadzi nas do określenia turnieju (wyniku turnieju) z udziałem n graczy (oznaczonych symbolicznie 1, 2, . . . , n) jako n nad 2 uporządkowanych par zawodników, przy czym dla 1<= i<j<=n występuje para ij lub ji.

Turniej z udziałem n graczy może być również przedstawiany jako graf pełny Kn, którego wierzchołki oznaczono liczbami 1, 2, . . . , n i w którym każda krawędź została skierowana strzałką w jedną z dwóch możliwych stron. Strzałka od i do j oznacza, że „i pokonał j”.

Przykład W turnieju brało udział pięciu graczy 1, 2, 3, 4, 5 połączonych w pary 1 2, 1 3, 2 4, 3 4, 4 1, 5 2, 53 i 54

Przedstawiony graficznie przebieg turnieju jest rodzajem grafu skierowanego, w którym przedstawiony jest skierowany szlak 5, 4, 1, 2, 3, który przechodzi przez wszystkie wierzchołki, oznacza to że gracz 5 pokonał gracza 4, 4 pokonał 1, 1 pokonał 2, 2 pokonał 3. W turnieju zawsze istnieje skierowany szlak, w którym każdy gracz występuje dokładnie jeden raz.

Podsumowanie Twierdzenie: W dowolnym turnieju z udziałem n graczy można przyporządkować graczom etykiety p 1, p 2, . . . , pn w ten sposób, że p 1 pokonał p 2, p 2 pokonał p 3, . . . i pn-1 pokonał pn.

W turnieju z udziałem n graczy 1, 2, . . . , n niech bi oznacza liczbę graczy pokonanych przez gracza i: wówczas b 1, b 2, . . . , bn są wynikami turnieju (a uporządkowana lista tych wyników jest wektorem wyników).

Przykład Który z następujących ciągów może być wektorem wyników turnieju z udziałem sześciu graczy? 4, 4, 4, 2, 1, 1; 5, 3, 3, 2, 1, 1; 5, 4, 4, 1, 1, 0.

Wyniki turnieju z udziałem n graczy sumują się do n nad 2, każde r wyników sumuje się do co najmniej r nad 2 i odwrotnie, jeżeli zbiór n liczb całkowitych ma te własności to są one wynikami jakiegoś turnieju. Twierdzenie: (Landaua) Niech b 1, . . . , bn będą liczbami całkowitymi. Liczby te są wynikami pewnego turnieju z udziałem n graczy wtedy i tylko wtedy, gdy (1) b 1+b 2+. . . +bn=n nad 2 (2)dla 1<=r<=n każde r spośród liczb b 1, . . , bn sumuje się do co najmniej r nad 2.