Harapan Matematik 1 Rataan Peubah Acak Definisi 1
Harapan Matematik 1
Rataan Peubah Acak • Definisi 1: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X). Nilai harapan atau rataan X adalah bila X diskrit bila X kontinu 2
Contoh : Misalkan peubah acak X menjalani harga-harga 1, 2, …, 6 dengan probabilitas 1/6. Tentukan nilai harapannya! Jawab E(X) = 1(1/6) + 2(1/6)+ … + 6(1/6) = 3, 5 3
Contoh: Misalkan X peubah acak yang menyatakan umur dalam jam satu jenis bola lampu pijar. Fungsi padat peluangnya diberikan oleh Hitunglah harapan umur bola lampu tersebut! Jawab Jadi bola lampu tadi diharapkan rata-rata umurnya 200 jam 4
Teorema 1: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X). Nilai harapan atau rataan g(X) adalah bila X diskrit bila X kontinu 5
Contoh: Misalkan X menyatakan banyaknya mobil yang masuk ke suatu tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13. 00 – 14. 00 mempunyai distribusi peluang: X 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/4 1/6 Andaikan g(X)=2 X-1 menyatakan upah para karyawan (dalam ribuan rupiah) yang dibayar oleh perusahaan dalam jam tersebut. Cari harapan pendapatan karyawan pada jam tersebut. 6
Jawab: Menurut Teorema, harapan penerimaan para karyawan 7
Contoh: Misalkan X suatu peubah acak dengan fungsi padat Hitunglah nilai harapan g(X)=4 X+3 Jawab: 8
Teorema 2: Bila a dan b konstanta, maka E(a. X+b)=a. E(X)+b 9
Contoh: Misalkan X adalah peubah acak dengan rataan μ=5/4, Hitunglah rataan peubah acak Z=4 X+3 Jawab: E(Z)=E(4 X+3)=4 E(X)+3=4(5/4)+3=8 10
Variansi Definisi 2: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X) dan rataan μ. Variansi X adalah Bila X diskrit Bila X kontinu Akar positif variansi, σ, disebut simpangan baku X. 11
Contoh: Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya mobil yang digunakan untuk keperluan dinas kantor pada setiap hari kerja. Distribusi peluangnya adalah X f(X) 1 0, 3 2 0, 4 3 0, 3 Hitunglah variansi peubah acak X! Jawab 12
Contoh: Permintaan mingguan minuman madu dalam ribuan liter pada suatu jaringan pemasaran di daerah, merupakan peubah acak kontinu X dengan fungsi padatan peluang Cari rataan dan variansi X! Jawab 13
Teorema 3: Variansi peubah acak X adalah Teorema 4: Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(X). Variansi g(X) adalah Bila X diskrit Bila X kontinu 14
Teorema 5: Bila a dan b konstanta, maka Contoh: Misalkan X adalah peubah acak dengan variansi Hitunglah variansi peubah acak Z= 4 X+3 Jawab: Jadi variansi peubah acak Z adalah 32 15
Latihan soal Misalkan 0, 1, 2, atau 3 seringnya mati listrik di suatu daerah dalam sebulan dengan peluang masing-masing: 0, 4; 0, 3; 0, 2 dan 0, 1. Carilah rataan dan variansi peubah acak X yang menyatakan banyaknya mati listrik pada daerah tadi! 16
- Slides: 16