HAMILTONICITY PADA INTERKONEKSI JARINGAN ENHANCED BUTTERFLY Latifah Ernastuti

HAMILTONICITY PADA INTERKONEKSI JARINGAN: ENHANCED BUTTERFLY Latifah Ernastuti Djati Kerami

PENDAHULUAN LATAR BELAKANG Perkembangan interkoneksi jaringan komputer masih merupakan hal yang menarik untuk diteliti Pembentukan model (topologi) jaringan yang optimum masih terus dikembangkan. Topologi jaringan merupakan faktor yang akan menentukan kinerja sistem dalam melakukan pekerjaan komputasi.

Secara umum suatu jaringan komputer dapat direpresentasikan oleh suatu graf tak berarah. Simpul menyatakan elemen prosesor Busur menyatakan saluran komunikasi Oleh karena itu dalam penelitian ini kata graf dan jaringan dapat saling mengganti.

Latar Belakang Terdapat beberapa paramater yang dapat dianalisis pada model-model jaringan, diantaranya, Sifat struktural: derajat (degree), diameter Sifat enumerasi: jumlah simpul dan busur (ruas) Sifat Hamiltonicity: jalur dan siklus Hamiltonian Sifat Penanaman : penanaman linier array, tree

Latar Belakang Dalam praktek disenangi jaringan yang mempunyai keterhubungan yang tinggi, diameter yang rendah dan memiliki sifat hamiltonicity, yaitu memiliki jalur dan siklus Hamiltonian. Jalur dan siklus Hamiltonian diperlukan ketika suatu pesan harus dikirim secara berantai dari satu prosesor ke prosesor lain seluruhnya di dalam jaringan. Dengan memiliki jalur dan siklus Hamiltonian, berarti pengiriman pesan ke seluruh jaringan dapat melalui satu dan hanya satu kali untuk setiap prosesor.

Latar Belakang Model-model jaringan yang populer saat ini diantaranya adalah hypercube yaitu model jaringan yang mempunyai sifat diameter rendah dan mempunyai jalur dan siklus hamiltonian, namun demikian hypercube mempunyai kekurangan yaitu derajat simpulnya tidak tetap tapi berkembang sesuai ukurannya (cross, et al, 1992).

Latar Belakang Untuk menutup kekurangan tersebut telah dirancang suatu model jaringan yang disebut Graf /jaringan Butterfly, jaringan/graf ini merupakan jenis dari graf Cayley, yaitu suatu graf yang mempunyai sifat diameter rendah, derajat simpul tetap dan mempunyai sifat hamiltonicity

• Terdapat keluarga jaringan Butterfly yaitu around Butterfly dan Enhanced Butterfly. Wrap- • Beberapa penelitian mengenai jaringan Wrap around Butterfly dan Enhanced Butterfly : Guzide dan Wagh tahun 2006, 2007, Guzide dan Khadijah tahun 2010

Latar Belakang Guzide dan Wagh pada tahun 2007 meneliti jaringan Enhanced Butterfly, namun pada penelitian tersebut belum diteliti sifat hamiltonicity dari jaringan Enhanced Butterfly. Dari kekurangan tersebut, maka penulis melihat peluang untuk meneliti sifat Hamiltonicity pada graf Enhanced Butterfly.

Batasan penelitian Penelitian ini dibatasi hanya pada jaringan /graf Enhanced Buttery dan sifat Hamiltonicitynya.

Tujuan penelitian Menentukan apakah terdapat jalur dan siklus hamiltonian pada jaringan Enhanced Butterfly.

Kontribusi Penelitian 1. Dari penelitian ini diharapkan dapat memberi kemudahan dalam masalah pengiriman pesan dalam suatu interkoneksi jaringan. 2. Hasil penelitian ini diharapkan memberikan sesuatu yang baru baik di bidang komputasi maupun kombinatorik

TINJAUAN PUSTAKA Definisi: Misalkan H adalah suatu group dan S C H suatu himpunan pembentuk dari H sedemikian sehingga S= S-1. Suatu graf Cayley dari H terhadap S adalah graf tak berarah Cay(H, S) dimana himpunan verteksnya adalah H dan ruas yang menghubungkan g ke g x untuk setiap pemilihan g ε H dan x ε S [1]. Contoh 1: jika H = Z/n. Z and S = {1, -1}maka C(H, S) adalah cycle pada n verteks.

Definisi : Misal d ε N. Butterfly berdimensi d BF(d) adalah suatu graf dengan himpunan vertex himpunan V = [d+1] x [2]d dan himpunan ruas E = E 1 U E 2 dengan E 1 = {{(i, α), (i+1, α))}/ i ε [d], α ε [2]d dan E 2 = {{(i, α), (i+1, β)}/ I ε [d], α, β ε [2]d, α, β berbeda hanya pada posisi ke i). Himpunan vertex {( i, α)/ α ε [2]d menyatakan level ke i dari butterfly [5].

Apabila pada graf BF(d) level ke d diganti dengan level 0, maka dikatakan graf Wrap-around Butterfly berdimensi d atau WB(d) dan apabila pada WB(d) ditambah ruas yang tepat antara pasangan verteks yang tepat maka disebut graf ENHANCED BUTTERFLY (EBn) [7]. Pada graf Enhanced Butterfly terdapat simpul sebanyak n. 2 n dan ruas sebanyak 5 n. 2 n-1 [7].

Definisi : siklus Hamiltonian pada graf terhubung G(V, E) didefinisikan sebagai suatu jalur yang melewati semua simpul dalam V tepat satu dan hanya satu kali kecuali simpul awal yang juga simpul berhenti. Jika sebuah ruas pada siklus hamiltonian dihapus maka jalur perjalanannya disebut jalur/path Hamiltonian [4]

WB DIMENSI 2 000 100 001 101 010 110 011 111

EB dimensi 2 000 100 001 101 010 110 011 111

BEBERAPA SIFAT Suatu graf Cayley mempunyai siklus Hamiltonian [11] ENHANCED BUTTERFLY (EBn) adalah graf Cayley [7]

PENELITIAN YANG RELEVAN Peneliti/jurnal/t hn metode Kelebihan Kekurangan Guzide dan Wagh/SIAM journal/ 2006 Membuat mapping siklus pada Wraparound butterfly Penentuan siklus menggunakan bentuk aljabar/sederhan Tidak diperlihatkan apakah siklus tsb hamiltonian Guzide dan Wagh/ISCA Internl. Conf/2007 Menambah ruas pada Wrap-around yang Butterfly disebut Enhanced Butterfly Diameter lebih rendah belum ditentukan siklus /path hamiltoninannya Guzide dan Khadijaah/DOI/IEEE/2 010 Membuat siklus hamiltonian pada Wrap Around Butterfly dengan sifat atumorfisma Sudah ditemukan siklus Hamiltonian pada Wrap around Butterfly

METODE PENELITIAN Untuk membuktikan bahwa terdapat siklus Hamiltonian pada graf Enhanced Butterfly digunakan: 1. Sifat bahwa Graf Enhanced Butterfly adalah graf Cayley 2. Sifat bahwa graf Cayley mempunyai siklus Hamiltonian

HASIL PENELITIAN Akibat : Graf Enhanced Butterfly (EB) mempunyai jalur dan siklus Hamiltonian untuk n >= 2

Ilustrasi: SIKLUS Hamiltonian pada EB dimensi 2

Pada EB dimensi 2 Siklus Hamiltonian ditelususri dengan barisan simpul sbb: 000 101 011 111 010 110 000 ( banyak simpul = 2. 22= 8)

Ilustrasi: Siklus Hamiltonian pada EB Dimensi 3 Garis merah menandakan siklus Hamiltonian yang didapat

EB dimensi 3, siklus hamiltoniannya (banyak simpul= 3. 23 = 24): 00000>01000>10001>01001>00011>01011>10010>01010>00010>10110>01110>00110>01111>10111>00101>01100>00100>01101>10100>00000

Analisis Terlihat bahwa pada EB dimensi 2 terdapat perbedaan digit antara simpul ke simpul sebanyak 1 buah hal ini merupakan pengertian dari 1 -kode Gray, sedangkan pada EB dimensi 3 terdapat perbedaan digit antara simpul ke simpul sebanyak maksimum 2 buah, hal ini merupakan pengertian dari 2 -kode Gray. Untuk EB dimensi > = 4 juga terdapat perbedaan digit antara simpul ke simpul sebanyak 2 buah

Dari analisis dapat dibuat suatu Lemma: Untuk n= 2 Graf Enhanced Butterfly mengandung 1 kode gray, untuk n>=3 Graf Enhanced mengandung 2 kode Gray.

KESIMPULAN Terdapat jalur dan siklus Hamiltonian pada graf ENHANCED BUTTERFLY. Dapat diteliti lebih lanjut bahwa apakah dapat dikembangkan perluasan dari Enhanced Butterfly yang mempunyai siklus Hamiltonian dengan perbedaan digit antara simpul sebanyak satu buah dan apakah dapat dilakukan penanaman linier array pada graf Enhanced Butterfly

DAFTAR PUSTAKA [1] Cada, Roman, On Hamiltonian cycles in star Graphs, University of West Bohemia, 2009 [2] Cai, Zhaoquan, xiao wen jun, zhang, qin, liu, yanxia, Principle of symmetry for network Topology with applications to some network, Journal of network, vol 5 No. 9, September 2010. [3] Cross D. , Drefenstedt, R. , Keller, j. , Reduction of Network cost and wiring in Ranade’s Butterfly routing, Berkeley, USA, 1992

[4] Ernastuti, Extended Lucas Cube Topologi jaringan interkoneksi baru, Universitas Gunadarma, 2008 [5] Franc, Cameron, Cayley Graph, www. math. mcgill. ca/goren/667. 2010/Cameron. pdf [6] Guzide, Osman dan Benjalli, Khadijah, Butterfly Automorphism and Fault tolerance, doi. ieeecomputersociety. org/10. 1109/ISPDC. 2010

[7] Guzide, Osman dan Wagh Meghanad D, Enhanced Butterfly Network, ISCA International Conference on Parallel and Distributed system, 2007 [8] Guzide, Osman dan Wagh, Meghanad D, Mapping cycles and Trees on Wrap Around Butterfly Graphs, SIAM Journal Computation, vol. 35, No. 3, pp 741 -765, 2006

[9] Hou, Xinmin, Xu, Jun-Ming and Xu, Min, The forwarding Indices of Wrapped Butterfly Networks, DOI 10. 1002/net, 2009 [10] Jyothi, Papandangal Vijaya, Maheaswari Bommireddy and Kelkar Indrani, 2 -Domination Number of Butterfly Graphs, Chamchuri Journal of Mathematics, Volume 1, No. 1, 73 -79, 2009 [11] Morris, dave, Open problem on Hamiltonian cycles in cayley graphs, 2006