Hacia una termodinmica de procesos irreversibles TIR EVA
Hacia una termodinámica de procesos irreversibles (TIR) EVA TIC 2014 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 1
Sobre su desarrollo histórico • La termodinámica de los procesos irreversibles se considera el más reciente desarrollo de la termodinámica. – Emerge con los trabajos de Lars Onsanger (1931) y Charles Eckart (1939). • Sin embargo: – Los procesos termodinámicos irreversibles han sido tratados exitosamente, mucho antes de que se acuñara el término “termodinámica” (alrededor de 1850) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 2
Joseph Fourier: • Fourier era de origen humilde y gracias a la Revolución Francesa pudo entrar a la Escuela Militar, que dio origen a la École Polytechnique (Paris). – Foco de su interés fue la conducción del calor 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 3
Ley de Fourier (1808) • Si: – qi es el flujo de calor (por unidad de área) – x es la coordenada de transmisión de calor – T es la temperatura – κ es la conductividad térmica “interna” (hoy conductividad térmica) • El flujo de calor es proporcional al gradiente de T: 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 4
Napoleón y Fourier • El emperador apadrinó a Fourier y le concedió el título de Barón por sus desarrollos matemáticos • Especialmente su método de descomposición armónica de funciones (resolución de la ecuación de Fourier) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 5
Ecuación de Calor de Fourier • De manera análoga Fourier dedujo la famosa ecuación de calor: – Si: • t es el tiempo • α es la conductividad térmica “externa” (hoy difusividad térmica) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 6
Importancia de la ecuación de calor • Representa el prototipo de todas las ecuaciones “parabólicas” en física matemática – Fourier la empleó para resolver una gran variedad de condiciones iniciales y de contorno. – Esto sucedió antes de que hubiera certeza sobre “lo que es el calor”. – Tuvo un enorme impacto. Por ejemplo, Lord Kelvin (Lord William Thomson, Cambridge, 1862) la usó para estimar la edad de la Tierra. 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 7
Otra ley de los procesos irreversibles: Navier (1822), Poisson (1829) y Stokes (1845) • • Relaciona el gradiente del vector velocidad con el esfuerzo para el roce viscoso en un fluido Si – u, v, w son las componentes del vector velocidad – p es la presión, ρ es la densidad del fluido Vector aceleración – ν es la viscosidad cinemática de gravedad Ecuación de Navier – Stokes para un fluido incompresible 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 8
Al igual que Fourier • Navier y Poisson estudiaron en la École Polytechnique – En ella se desarrolló fuertemente la física matemática desde su fundación (1794) hasta 1840. • Stokes es posterior, pero británico, fundador de las Matemáticas Aplicadas en el Reino Unido. – Resolvió la ecuación anterior usando una extensión de los métodos de Fourier. 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 9
Ley de Stokes para el roce • A partir de su estudio sobre el movimiento del péndulo (1851), postuló que para una esfera que se mueve en un fluido – Si r es el radio de la esfera – v es la velocidad (constante) • F es la fuerza necesaria para mantener el movimiento OJO: falta tomar en cuenta la turbulencia a través del roce 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 10
Fluidos newtonianos • Son los fluidos que obedecen la ecuación de Navier - Stokes, como por ejemplo: – – Miel Asfalto Agua Gases ideales rarificados 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 11
Una 3 a ecuación fenomenológica para la difusión: Adolf Fick (1855) • Fick trató de deducir su ecuación de la hipótesis de que existía una atracción gravitacional entre las moléculas de una mezcla. – Esta idea no dio resultado. • Finalmente, la postuló simplemente por analogía con la ley de Fourier 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 12
Ley de Fick para un sistema binario • Si Ji es el flujo másico por unidad de área de un compuesto i – c es la concentración del compuesto i – D es el coeficiente de difusión 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 13
Para sistemas multicomponentes • Stefan (1871) extendió la ecuación de Fick a una mezcla de ν constituyentes α (α = 1, 2, …ν): 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 14
Entonces • Las 3 leyes (Fourier, Navier-Stokes, y, Fick), se han mantenido vigentes por casi 2 siglos. • Prueban su utilidad día tras día para ingenieros que construyen: – Intercambiadores de calor – Aeroplanos – Centrífugas para separar mezclas de gases – Plantas de tratamiento de aguas contaminadas – Equipos de descontaminación de gases y material particulado – Etc. 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 15
Desventajas de todas las ecuaciones • No son perfectas desde un punto de vista matemático, pero los ingenieros viven con ello. • Todas conducen a ecuaciones diferenciales parabólicas del tipo: – de la ecuación de calor para la temperatura (paradoja de la ecuación de conducción del calor) • Ha dado origen a la formulación de la termodinámica extendida – velocidad – y, concentración 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 16
Fenómenos de Transporte • Las tres ecuaciones si se generalizan a tres dimensiones, dan origen a: – Ecuación de transporte de energía (desde Fourier) – Ecuación de transporte de momento (desde Navier Stokes), y – Ecuación de transporte de masa (desde Fick) • Asignatura más importante en las ciencias de la ingeniería para: – Metalúrgicos, químicos, mecánicos, biotecnólogos, industriales, ambientales, etc. 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 17
Transporte de calor en 3 D: difusividad térmica • Si – α es el coeficiente de difusión térmica (cal/g/ º C) – Cp es la capacidad calorífica del fluido a presión constante (cal/g/ º C) – ρ es la densidad del fluido 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 18
Ecuación de calor en 3 D • Si u, v, w son las componentes del vector velocidad en los ejes x, y, z • Si “S” representa cualquier fuente o sumidero de energía (radiación de onda corta (sol), onda larga (radiador), calor liberado o absorbido en reacciones químicas) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 19
Ecuación de Navier – Stokes en 3 D • Componente x del momento • Componente y del momento • Componente z del momento 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 20
Ecuación de transporte de masa en 3 D • Si “S” es el término de fuente o sumidero (flujo por unidad de volumen). Para transferencia entre fases: • Donde CE es la concentración de equilibrio después de un largo tiempo y k es el coeficiente de transferencia de masa. Si es una reacción química de primer orden k es la constante de velocidad de reacción (CE = 0) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 21
Transporte de masa adimensional • Definiendo las siguientes variables adimensionales: Longitudes de referencia Velocidades de referencia 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 22
Ecuación de difusión adimensional • Reemplazando en ecuación dimensional: Números de Péclet Número de Reacción o de Sherwood (para Transferencia de Masa) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 23
Transporte de energía adimensional • Si ΔT es una diferencia de temperatura apropiada Donde los Números de Péclet usan valores de α en lugar de D 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 24
Transporte de momento adimensional • Para la componente x – Se definen por ejemplo para un canal Pr es una presión de referencia El 0 es la elevación del fondo de un canal L es una longitud de referencia Convirtiendo la componente x de la fuerza de gravitación por unidad de masa g x a la usada para una superficie de agua 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 25
Ecuación de Navier – Stokes (x) • Si Número de Reynolds Número de Froude Número de Euler 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 26
Transferencia de masa en suelos • Si se supone equilibrio termodinámico local en la adsorción en el suelo, y • ρb es la densidad a granel del medio poroso, ε es la porosidad del mismo, y Kd es el coeficiente de reparto entre el fluido y la adsorción en el medio poroso Factor de Retardo (agua percola más rápido que el contaminante) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 27
Primeras ideas sobre irreversibilidad • Si se desplaza un sistema del estado de equilibrio, sus parámetros varían con el tiempo. – Al cabo de un cierto tiempo, volverá a su estado inicial (debido a la 1ª Ley) • Relajación: proceso de pasar de un estado fuera del equilibrio a otro en equilibrio se denomina relajación. El tiempo asociado se designa como tiempo de relajación (τ=Tau) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 28
Transformación cuasiestática • Si la velocidad en el proceso es mucho menor que la velocidad media de relajación para un parámetro A • Cuasiestática: Se dice que el parámetro A varía en forma infinitamente lenta, experimentando una serie de estados de equilibrio 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 29
Transformación no equilibrada • Si, por el contrario, la velocidad de variación del parámetro A con el tiempo es mayor o igual a la velocidad media de la relajación • Se trata de un proceso no-equilibrado 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 30
Termodinámica clásica y transformaciones irreversibles • El 2º principio de la Termodinámica persigue establecer la relación en las dos formas de transmitir energía (Q: calor; W: trabajo) – El paso de transformar calor en trabajo necesita de compensación, pero el proceso inverso no (progreso logrado a partir del primer tercio del siglo XX) 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 31
Compensación e irreversibilidad • Irreversible: el retorno del estado final al inicial es imposible sin efectuar algún cambio en el entorno. • Reversible: toda transformación cuasiestática es reversible, debido a que en todo instante el sistema se encuentra en equilibrio, y no se modificará el entorno 22 -02 -2021 Dr. -Ing. fernando Corvalán Quiroz 32
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