GRY Z NATUR Natura jest przeciwnikiem ktry nie

GRY Z NATURĄ • Natura jest przeciwnikiem który nie zamierza wygrać. • PRZYKŁAD • Rolnik ma pole z glebą klasy III i zastanawia się nad rodzajem zboża które ma posiać. • Posiada informacje dotyczące plonów w zależności od różnych warunków atmosferycznych.

MACIERZ WYPŁAT (MACIERZ ZYSKÓW) STAN NATURY I II IV RODZAJ ZBOŻA ŻYTO 24, 5 18, 0 16, 0 PSZENICA 18, 0 32, 0 24, 0 21, 0 JĘCZMIEŃ 15, 0 19, 0 26, 0 19, 0

KRYTERIUM WALDA (reguła max min) DECYDENT PESYMISTA • Wybieramy minimalną wartość w każdym z wierszy (przy warunkach najbardziej niekorzystnych) • Z ww. wartości wybieramy wartość największą

MACIERZ WYPŁAT (MACIERZ ZYSKÓW) STAN NATURY I II IV RODZAJ ZBOŻA ŻYTO 24, 5 18, 0 16, 0 PSZENICA 18, 0 32, 0 24, 0 21, 0 JĘCZMIEŃ 15, 0 19, 0 26, 0 19, 0

REGUŁA MIN MAX DECYDENT OPTYMISTA • Wybieramy maksymalną wartość w każdej kolumnie (przy warunkach najbardziej korzystnych) • Z ww. wartości wybieramy wartość najmniejszą

MACIERZ WYPŁAT (MACIERZ ZYSKÓW) STAN NATURY I II IV RODZAJ ZBOŻA ŻYTO 24, 5 18, 0 16, 0 PSZENICA 18, 0 32, 0 24, 0 21, 0 JĘCZMIEŃ 15, 0 19, 0 26, 0 19, 0

REGUŁA LAPLACE’A (BAYESA) • Zakłada, że wszystkie przyszłe stany natury są jednakowo prawdopodobne • Możliwe jest wyznaczenie wartości oczekiwanych rezultatów każdej decyzji. • Najlepszą decyzją jest ta, dla której wartość oczekiwana jest największa

• p=0, 25 • E(żyto)=(24, 5*0, 25+18, 0*0, 25+16, 0*0, 25)= 19, 12 • E(pszenica)=(18, 0+32, 0+24, 0+21, 0): 4=23, 75 • E(jęczmień)=(15, 0+19, 0+26, 0+19, 0): 4=19, 75 • Kryterium to jest stosowane przy decyzjach wielokrotnie powtarzalnych.

KRYTERIUM HURWICZA • Strategia kompromisowa, uwzględniająca skrajne stanowiska (optymistyczne i pesymistyczne) • Wprowadza współczynnik ostrożności, określający w jakim stopniu decydent jest • # pesymistą • # a w jakim optymistą

KRYTERIUM SAVAGE’A • Minimalizuje oczekiwane straty wynikłe z podjęcia gorszej niż najlepsza możliwa dla danego stanu natury (z punktu widzenia rolnika). • Wybieramy strategię, dla której strata relatywna jest najmniejsza.

ETAPY WYZNACZANIA DECYZJI • Tworzymy „macierz żalu” • Dla każdego stanu natury (kolumny) poszukujemy elementu maksymalnego, a następnie liczymy różnice między wartościami wyróżnionymi a danymi.

Macierz STAN NATURY I II IV RODZAJ ZBOŻA ŻYTO 24, 5 18, 0 16, 0 PSZENICA 18, 0 32, 0 24, 0 21, 0 JĘCZMIEŃ 15, 0 19, 0 26, 0 19, 0

STAN NATURY I II IV 32, 018, 0= 14, 0 32, 0= 0 32, 019, 0= 13, 0 26, 018, 0= 8, 0 26, 024, 0= 2, 0 26, 0= 0 21, 016, 0= 5, 0 21, 0= 0 21, 019, 0= 2, 0 STRATEGIE ŻYTO PSZENICA JĘCZMIEŃ 24, 5= 0 24, 518, 0= 6, 5 24, 515, 0= 9, 5

• Dla każdej strategii wyznaczamy maksymalną stratę i z tak otrzymanych wartości wybieramy najmniejszą • Wg kryterium Savage’a rolnik powinien wybrać pod uprawę zboże o najmniejszej stracie 6, 5 pszenicę

Algorytm iteracyjny Browna Przykład Przedsiębiorstwo produkcyjne A może uruchomić produkcję pewnego produktu w wysokości 100, 200 lub 300 tys. szt. Konkurencyjne przedsiębiorstwo B może postąpić w ten sam sposób. Należy podjąć decyzję o wielkości produkcji będąc menedżerem przedsiębiorstwa A. Menedżer A ma do dyspozycji trzy strategie: produkować 100, 200 lub 300 tys. szt. Podobnie menedżer B ma trzy strategie: produkować 100, 200 lub 300 tys. szt.

W B 1 B 2 B 3 A 1 20 -150 -250 A 2 150 -80 -100 A 3 250 100 40 Tablica zawiera zyski w mld. zł. przedsiębiorstwa A (a straty B) przy produkcji wyrobów w zależności od decyzji przedsiębiorstwa B. Sprawdzamy, czy gra ma rozwiązanie w zbiorze strategii czystych. Wyznaczamy: • minimalną wartość w każdym wierszu (przyjmujemy, że gracz B wybierze najbardziej niekorzystną dla A strategię), • maksymalną wartość w każdej kolumnie (gracz B zakłada, że gracz A wybierze najgorszą dla B sytuację).

Def. Jeżeli maksymalna z minimalnych wygranych jest równa minimalnej z maksymalnych przegranych, to wtedy istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych (strategia maksyminowa, punkt siodłowy).

Minimalne wartości dla gracza A: min A 1=-250 min A 2=-100 min A 3= 40 Maksymalna wygrana gracza A: max A= { -250 -100 40 }=40 Maksymalne wartości dla gracza B: max B 1=250 max B 2=100 max B 3=40 Minimalna wygrana gracza B: min B={ 250 100 40}=40 Sprawdzamy czy istnieje punkt siodłowy: max {min A}=40 min {max B}=40 → max {min A}= min {max B}

Menedżer A powinien podjąć decyzję o produkcji 300 tys. szt. bez względu na decyzję przedsiębiorstwa B, osiągnie zysk co najmniej 40 mld. Przedsiębiorstwo B powinno podjąć decyzję o produkcji 300 tys. szt. bez względu na decyzję menedżera A, straci nie więcej niż 40 mld.

W A 1 A 2 A 3 B 1 10 150 80 B 2 230 250 200 B 3 50 140 220 W tej grze nie ma punktu równowagi (brak rozwiązania w zbiorze strategii czystych. max { min A}=140 ≠ min { max B}=150 Rozwiązania należy szukać w zbiorze strategii mieszanych.

Sprawdzamy, czy nie występują strategie zdominowane: - Strategia A 1 daje w każdym przypadku gorsze wygrane niż A 2, czyli gracz A nie powinien stosować strategii A 1 bo jest ona zdominowana przez A 2, - Strategia B 1 jest zdominowana przez B 2, czyli gracz B nie powinien stosować strategii B 1.

W B 2 B 3 A 2 250 140 A 3 200 220 p- prawdopodobieństwo stosowania strategii A 2, q- B 2 Wygrana gracza A, gdy B będzie stosował strategię B 2: v= 250 p+200(1 -p) gdy gracz B będzie stosował strategię B 3: v= 140 p+220(1 -p) 250 p+200(1 -p)= 140 p+220(1 -p) p≈? v≈? Gracz B: w= 250 q+140(1 -q) w=200 q+220(1 -q) 250 q+140(1 -q)=200 q+220(1 -q) q≈? w≈?

Menedżer A powinien zdecydować o produkcji 200 tys. szt. z częstością 0, 93 i 300 tys. szt. z częstością 0, 07. Przeciętny zysk z produkcji wyniesie 145, 3 mld Menedżer B powinien zarządzić produkcję 100 tys. szt. z częstością 0, 53 i 300 tys. szt. z częstością 0, 47. Jego strata wyniesie wtedy 145, 3 mld.

v 220 v=1 40 p 200 180 +22 0 (1 p) 1 -p) ( 0 8 + 160 140 (1) p=0. 93 0 p v=15 120 100 (2) v=145. 3 80 0. 2 w 220 200 w= 80 0. 6 0. 8 q+ 22 0 (1 - 180 0. 4 160 q) w=150 q+140(1 -q) 140 120 q=0. 53 100 w=145. 3 80 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 1. 2 1. 4 q 1. 0 1. 2 1. 4 p

Algorytm Brown'a: 1. dla gier o dużych rozmiarach prezentowane do tej pory metody są mało efektywne; algorytm Brown'a ma zastosowanie w grach o dużych wymiarach, 2. metoda iteracyjna; 3. dla dużej liczby iteracji zapewnia zbieżność rozwiązań; 4. metoda wrażliwa na liczbę iteracji - aby uzyskać dokładne wyniki należy wykonać dużą liczbę iteracji » 100

Postać algorytmu Brown'a: Krok 1. Gracz A wybiera arbitralnie strategię. Krok 2. Gracz B sumuje elementy strategii dotychczas stosowanych przez A i wybiera najlepszą strategię ze swojego punktu widzenia. Krok 3. Gracz A sumuje elementy strategii dotychczas stosowanych przez B i wybiera najlepszą strategię ze swojego punktu widzenia. Krok 4. Taki jak Krok 2 Krok 5. Sprawdź, czy wykonano zamierzoną liczbę iteracji, jeśli nie, to idź do kroku 3 w innym przypadku STOP.