Grupa 1 Aria suprafeelor plane Subgraficul unei funcii

Grupa 1 – Aria suprafeţelor plane Subgraficul unei funcţii continue şi pozitive Aria subgraficului unei funcţii continue şi pozitive Aria suprafeţei plane cuprinsă între subgraficele a două funcţii continue Grupa 2 - Arii Aria cercului Aria pătratului Aria dreptunghiului Aria trapezului Grupa 3 - Volumul corpurilor de rotaţie Volumul conului Volumul cilindrului Volumul sferei Volumul trunchiului de con Grupa 4 –Diferite probleme cu volumul unui corp de rotaţie Grupa 5 - Probleme din diverse domenii care se rezolvă cu ajutorul integralei definite Probleme propuse

Prima pagina Cum ar fi viaţa mea fără matematică?

Prima pagina 1. Aria unei suprafeţe plane Fie f: [a, b] [0; ) o funcţie continuă. Reamintim cele două moduri de abordare a problemei ariei mărginită de curba y=f(x), axa Ox şi dreptele verticale x=a şi x=b(fig. 1 a) Figura 1 Pentru a calcula aria A se împarte figura în benzi verticale(fig 1 b) şi fiecare bandă se aproximează cu aria unui dreptunghi. În final se face suma ariilor dreptunghiului. Această operaţie ne dă o aproximare a ariei A, care este cu atât mai bună cu cât numărul dreptunghiurilor este mai mare.

Prima pagina 2. Subgraficul unei funcţii continue si pozitive Dacă f: [a, b] R este o funcţie continuă, pozitivă, atunci mulţimea cuprinsă între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=a şi x=b se notează cu subgraficul funcţiei f, figura 1. = şi se numeşte

Prima pagina 2. 2. Aria subgraficului unei funcţii continue. Teoremă. Dacă f: [a, b] R este o funcţie continuă si pozitivă, iar: este subgraficul funcţiei f, atunci mulţimea = , are arie şi aria ( ) = Comentarii 1) Dacă f(x) 0, graficul funcţiei f este situat 2) deasupra axei Ox 2) Dacă f(x) aria ( ) =- 0; 0, graficul funcţiei f este situat sub axa Ox Aria ( ) .

3. Aria subgraficelor. Probleme rezolvate Exemplu Să se calculeze aria figurii determinate de graficul funcţiei f: [-2, 2]→R, f(x)=x², axa 0 x şi dreptele x=-2, x=2 (Fig 3). Soluţie. Aria cerută este egală cu aria dx= Observaţie Regiunea haşurată este simetrică în raport cu axa 0 y (funcţia este pară). Deci aria dx= Prima pagina

Prima pagina Cerinţă: Să se determine ariile subgraficelor funcţiilor: a) Rezolvare: Aria 2 2 3 2 Figura 5 b) Rezolvare: Aria Figura 6 0

Prima pagina c) Rezolvare: Figura 7 Aria d) Rezolvare: Aria Figura 8

Prima pagina 4. Aria suprafeţei plane cuprinsă între graficele a două funcţii continue Dacă f, g: [a, b] R sunt funcţii continue astfel încât: f(x) g(x), cuprinsă între graficele funcţiilor f şi g şi dreptele de ecuaţii x=a şi x x=b notată cu are arie si aria = = Figura 12 1. În general dacă f, g: → R sunt funcţii continue atunci aria suprafeţei plane cuprinsă între graficele funcţiilor f, g şi dreptele de ecuaţii x=a , x=b este aria = 2. Dacă . , atunci aria [a, b] atunci mulţimea

Prima pagina 4. 1. Aria suprafeţei plane cuprinsă între graficele a două funcţii continue. Probleme rezolvate 1. Să se determine aria suprafeţei plane mărginite de graficele funcţiilor Soluţie: Reprezentările geometrice ale graficelor două funcţii sunt redate în figura 13. Aria 2. Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între axa Ox şi imaginea geometrică a graficului funcţiei Soluţie: Imaginea geometrică a graficului funcţiei f este redată în figura 16. Aria suprafeţei plane haşurate este:

5. Aria unei suprafeţe plane. Probleme rezolvate Cerinţă: Să se determine aria suprafeţei plane pentru: a) Figura 9 Soluţie: Expresia f(x) se explicitează astfel: { Subgraficul Prima pagina 1 -x, x [-1, 1] x-1, x (1, 2] este reprezentat în figura 9. În acest caz, aria

Prima pagina b) Soluţie: Subgraficul Aria { este reprezentat în figura 10. [0, 1] (1, 2]

Prima pagina Cerinţă: Să se determine aria cuprinsă între graficul lui Soluţie. Observăm că Deci aria dacă , axa Ox şi dreptele x=1, x=2 (Fig. 5).

Prima pagina 6. Aria unei regiuni cuprinse între graficul lui f, axa Ox şi dreptele x=a, x=b Dacă este continuă, atunci aria mulţimii A delimitată de graficul lui , axa Ox şi dreptele x=a, x=b este egală cu aria (Fig. 6)

Prima pagina Exemplu. Să se calculeze aria mulţimii A determinate de graficul lui , axa Ox şi dreptele x=0, x=2 (Fig. 7) Soluţie Aria cerută este egală cu aria , unde { Deci aria (A)=aria(A 1)+(A 2)=

Prima pagina 7. Probleme rezolvate 1. Fie a) Să se determine aria limitată de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x=0 şi x= Soluţie: 2. Să se calculeze aria figurii delimitate de graficul funcţiei Soluţie: Ecuaţia f(x)=6 are soluţiile şi şi de dreapta y=6. Cum ptr. x [4, 5], rezultă că aria căutată este: 3. Fie Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între graficul funcţiei şi axa Ox. Soluţie: Dacă x Atunci aria căutată va fi: , cosx deci În concluzie pentru x .

Prima pagina 4. Se dă funcţia definită prin de dreptele x=-2, x=2, axa Ox şi graficul funcţiei. Să se calculeze aria suprafeţei mărginite Soluţie: Se impune explicitarea funcţiei: ecuaţia are soluţia { Aria căutată este: 5. Să se calculeze aria figurii delimitate de graficul funcţiei Se observă că pentru 6. Fie Soluţie: Observăm că şi dreptele şi deci aria este: si . Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între graficele funcţiilor f şi g. pentru Rezultă că aria căutată este

Prima pagina 7. Să se determine aria mărginită de graficul funcţiei Solutie: Cum 8. Fie , axa Ox şi dreptele , aria căutată este: { definită prin: . Să se afle aria cuprinsă între graficul f, axa Ox şi dreptele Soluţie: Pentru şi, deci, sin Vom calcula o primitivă a funcţiei: . Prin urmare: Rezultă că aria cerută este

Prima pagina 8. Probleme propuse 1. Se consideră funcţiile date prin şi a)Să se calculeze aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele 2. Se consideră funcţia , a)Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele 3. Pentru şi se consideră funcţiile definite prin a)Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficul funcţiei şi . si axa Ox şi dreptele de ecuaţii si 4. Se consideră funcţia a)Să se determine numărul real axa Ox, dreptele de ecuaţii astfel încât aria suprafeţei plane determinată de graficul funcţiei f, si să fie egală cu

Prima pagina 5. Se consideră funcţiile defintie prin şi a)Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaţii 6. Se consideră funcţiile definite prin şi . a)Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaţii 7. Se consideră funcţiile şi şi a)Să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei F, axa Ox şi dreptele de ecuaţii 8. Se consideră funcţia şi şi definită prin a)Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa şi dreptele de ecuaţii şi

Prima pagina Bibliografie 1. Matematică- Manual pentru clasa a XII-a, Marius şi Georgeta Burtea, Editura Carminis 2. Matematică- clasa XII- Culegere de probleme, B. Enescu, L. Vlaicu, Editura Europontic 3. Matematică- Manual pentru clasa a XII-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress 4. http: //www. ideiindialog. ro/articol_167/umanismul_matematicii. html 5. www. math. msu. edu/~mshapiro/Kid. Math. html

Prima pagina

Prima pagina

Prima pagina

Prima pagina 1. ARIA CERCULUI Să se calculeze aria cercului cu central în origine si de rază r. Ecuaţia acestui cerc este x²+y²=r², de unde Semicercul superior are ecuaţia , iar aria lui este care se mai poate scrie , x[r, r].

Prima pagina Pentru calcul primitivei Deci procedăm astfel: de unde prin urmare, aria unui semicerc. Deci:

Prima pagina 2. ARIA DREPTUNGHIULUI Se obţine ca aria subgraficului funcţiei Aria:

Prima pagina 3. ARIA PĂTRATULUI Se cere aria suprafeţei determinată de dreapta y=a, axa Ox şi dreapta de ecuaţie x=0 şi x=a. Aria:

Prima pagina 4. ARIA TRAPEZULUI Fie Determinăm m şi n din condiţia ca punctele A(0, a), B(h, b) să aparţină graficului funcţiei f. . Deci funcţia căutată este: Aria: Am obţinut astfel binecunoscuta formulă din geometria plană.

Prima pagina Blibliografie: v teorie: predare in cadrul orei de matematica cartea rosie-”numele” v imagini: reproducere prin intermediul programului de desenat Microsoft Paint

Prima pagina Aplicaţii ale integralei definite • Volumul corpului de rotaţie

Volumul corpurilor de rotatie O alta aplicatie a calculului integral (a integralei definite) o constituie determinarea volumelor unor corpuri de rotatie unor suprafete in jurul unei axe de rotatie. Corpurile astfel generate se numesc corpuri de rotatie. Prima pagina

Prima pagina Trunchiul de con Definitie: Trunchiul de con este corpul ce se obtine prin rotatia completa a unui trapez dreptunghic in jurul axei perpendiculare pe baza G˛=h˛+(R-r)˛ Elementele trunchiului de con: • 2 baze (cercuri de raze diferite) • baza mare C(O; R) • baza mica C(O; r) • generatoarea trunchiului (CB) • inaltimea trunchiului OOš • distanta dintre centrele bazelor

Prima pagina Din punct de vedere al calcului integral 1) Volumul trunchiului de con - trunchiul de con se obţinut prin rotirea trapezului a. ABb în jurul axei Ox. Dacă r şi R sunt razele bazelor trunchiului, atunci ecuaţia dreptei AB este şi deci trunchiul de con este corpul de rotaţie determinat de funcţia:

Prima pagina • Prin urmare, volumul său V este Dacă notăm h=b-a , atunci h este înălţimea trunchiului de con. Considerând x-a=t , obţinem Se obtine bine cunoscuta formula din geome in spatiu

Prima pagina Volumul Cilindrului • Cilindrul se obtine prin rotirea subgraficului functiei: in jurul axei Ox

Prima pagina Volumul Cilindrului-corp de rotatie

Prima pagina Conul • Conul circular drept de raza R si inaltime h se obtine prin rotirea subgraficului functiei: in jurul axei Ox

Prima pagina Sfera de raza R se obtine prin rotirea subgraficului functiei (semicerc) in jurul axei OX. • 1. Sa se calculeze volumul sferei de raza R. Vom considera semicercul de diametru 2 R , cu centrul in origine, situat in semiplanul determinat de axa Ox si semiaxa Oy. Acest semicerc reprezinta graficul functiei • Sfera se obtine rotind subgraficul functiei f in jurul axei Ox, prin urmare:

Prima pagina Sfera

Prima pagina Exemple de probleme: • Să se calculeze volumul corpului de rotaţie generat prin rotirea în jurul axei Ox a suprafeţei plane limitate de graficele funcţiilor. • Se stie ca pentru orice Prin urmare: si deci. In plus egalitatea are loc pentru x=0

Prima pagina Exemple de probleme: • Se considera functia Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei: Rezolvare:

Prima pagina Exemple de probleme: • . Se considera functia Sa se determine numarul real p a. i. volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox, a graficului functiei , pt orice sa fie minim. Rezolvare: sa fie minim. O functie de gradul doi are minimul in varf, deci V este minim daca p este abscisa varfului.

Prima pagina Exemple de probleme: • . Se considera functia: Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei h: [0, 1] R, Rezolvare: Volumul este:

Prima pagina Probleme propuse • 1)Se considera functia: Sa se calculeze volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului functiei f • 2) Sa se determine numarul real pozitiv a stiind ca volumul corpului obtinut prin rotatia, in jurul axei Ox, a graficului este egal cu

Prima pagina

Prima pagina

Prima pagina 1. Concentraţia unei soluţii apoase a unei substanţe, variază urmând legea : C , fiind grosimea stratului de soluţie. Care este cantitatea Q de substanţă conţinută într-o coloană verticală de soluţie a cărei secţiune dreaptă este S=1 m 2 şi grosimea variind între 0 şi 200 m ? Solutie: Considerăm un strat foarte mic al coloanei de soluţie apoasă cu secţiunea S si grosimea dx , situat la adâncimea x. Cantitatea de substanţă conţinută în acest strat este : d. Q=CSdx= dx Integrând de la 0 la 200 se obţine:

Prima pagina 2. O firmă de publicitate a primit comanda de a inscripţiona pe 50 de tricouri sigla clientului, aceasta având forma ovală, încadrate într-un dreptunghi de dimensiuni 10 cm şi 20 cm. Costul inscripţionării este de 5 lei pe centimetru pătrat , iar adaosul practicat este de 20% Calculaţi profitul firmei de publicitate obţinut după executarea acestei comenzi. (indicaţie: aproximaţi suprafaţa siglei cu aria unei elipse, considerând funcţiile unei unităţi de pe axă corespunzându-i 1 cm) , Soluţie: Cu ajutorul calculului integral calculăm aria elipsei: A=2 Raţionalizăm, despărţim în două integrale, una este formulă directă, iar cealaltă se calculează prin părţi. Obţinem

3. Un cazan in formă cilindrică se termină cu un segment de paraboloid de rotaţie, generat de parabola (vezi figura 3). Să se calculeze: Prima pagina a) înălţimea parţii cilindrice a cazanului; b) aria secţiunii axiale S a cazanului; c) volumul cazanului, ştiind că h=4 m, d=1 m. a) Ştiind că punctul A se află pe parabola, deci rezultă b) Aria mulţimii Figura 3 , mărginite de arcul de parabola OA, axa Ox si este , mărginite de arcul de parabola BOA si dreapta AB, este:

Aria mulţimii , a dreptunghiului ABCD, are expresia: Prima pagina Deci, c) Dacă notăm cu cilindrului, obţinem: volumul segmentului de parabola şi respectiv al Prin urmare, In cazul particular dat (h=4 m, d=1 m), rezultă aria , respectiv

Prima pagina 4. Să se arate ca într-un proces ireversibil izoterm, lucrul mecanic maxim efectuat este dat de variaţia energiei libere cu semn schimbat. Conform principiului al II lea al termodinamicii rezultă:

5. O cantitate m=1 kg de apă aflată la temperatura contact termic cu un termostat având temperatura T=373 K. Prima pagina este pusă în a. Care este variaţia entropiei apei, a termostatului şi a ansamblului apa-termostat? b. Dacă apa este pusă in contact termic cu un termostat de temperatura şi apoi, dupa atingerea echilibrului termic cu un alt termostat cu temperatura , care este variaţia entropiei ansamblului apa-termostat? Sistemul apă-termostat este izolat adiabatic fata de mediul exterior. a. Caldura primită de apă este: Unde d. T este caldura specifică a apei. Variaţia de entropie a apei va fi atunci :

Prima pagina Termostatul aflat la termperatura T= const. Cedează apoi cantitatea de caldura iar variaţia de entropie corespunzătoare va fi: Variaţia de entropie a ansamblului va fi: b. Ţinând cont de rezultatul de mai sus, Variaţia entropiei ansamblului va fi in acest caz: Se observă că în cazul acesta, variaţia entropiei ansamblului este mai mică decât în primul caz.

Prima pagina 6. O găleată goală se pune sub robinet şi se umple cu apă. t reprezintă timpul cât stă galeata sub robinet. Debitul apei care curge este egal cu 2, 3 -0, 1 t galoane pe minut. Câtă apă este în galeată dupa 5 minute? Variabila independentă este timpul t măsurat în minute din momentul în care galeata a fost pusă sub robinet. Ni se dă formula pentru debitul apei r(t) cu care intră găleata în timpul t. Astfel r(t) va juca rolul unei functii f(x) menţionată mai sus. Notăm V(t) volumul în galoane a apei din galeată in timpul t. Ne interesează V(5) din ce moment ni s-a spus că V(0)=0 (galeata este goală când o punem sub robinet) vom avea V(5)=V(5)-V(0) şi intervalul de interes este intervalul[0, 5]. Functia r(t) este continuă în acest interval. Mai mult relaţia dintre debitul şi schimbarea de volum a apei este astfel dacă apa curge în galeată cu un debit constant r în intervalul de timp [c, d] atunci se schimba volumul intre timpul c si d după formula V(d)-V(c)=r(d-c). Astfel presupunerile 1 şi 2 sunt vf şi putem exprima V(5) ca o integrală definită: V(5)=V(5)-V(0)=

Prima pagina 7. O albină călătoreşte cu viteza. Unde t-timpul măsurat în secunde în momentul plecării de la stup. Cât de departe ajunge albina în timpul celei de a doua secundă? Soluţie: 8. Se confecţionează un vas având forma corpului de rotaţie determinat de funcţia , f(x)= , unei unităţi de pe axă corespunzându-i 10 cm. Verificaţi dacă încap în acest corp 50 litri de apă. Soluţie: 10 cm=1 dm, 1 dm 3=1 l Calculăm volumul corpului de rotaţie determinat prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcţiei f: V= 50 l

Prima pagina 1. O colonie de bacterii creşte la o rată de 5, 3 × 105 × 1. 7 t, în cazul în care nu se măsoară în ore. În cazul în care iniţial există 106 bacterii prezente, cât de multe bacterii vor fi în colonie după trei ore?

Prima pagina 2. Un fabricant de materiale de constructie vrea să realizeze un pavaj din dale având forma şi dimensiunile din figura 2, unde mijlocul I al. segmentului AB este centru de simetrie pentru arcul a. Să se arate că există o funcţie al cărei grafic este b. Dacă calculaţi aria dalei şi verificaţi rezultatul prin considerente geometrice.

Prima pagina 3. Un leu urmareşte o gazelă. Timpul se măsoara în secunde şi t=0 marchează începutul cursei , de exemplu în momentul în care gazela îl vede pe leu. Pentru t≥ 0 viteza leului în km/h este dată de formula V(L)=90 -2 t (deci leul fuge deja cu viteza gazelei in km/h este dată de formula V(G)=5 t (astfel gazela are viteza mai mare). a) În ce moment t gazela şi leul au aceeaşi viteză? b) Cu cât se diminuează distanţa dintre leu şi gazelă în timpul primelor 2 secunde ale cursei? c) Cât trebuie să se aproprie L de G la începutul cursei astfel incât să o prindă pe gazelă?

Prima pagina Matematică-manual pentru clasa a XII a M 2, Mihai Postolache, editura Fair Parteners Matematică-manual pentru clasa a XII a M 2, Marius Burtea, Georgeta Burtea, editura Carminis www. wikipedia. ro www. math. ohiou. edu

Prima pagina