GRUP Grup Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur

GRUP

Grup � Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar abstrak (abstract algebra). � Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi. � Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistim tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.

Definisi II. 1 Suatu grup (group) < G , * > terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut : � Hukum tertutup : a * b G untuk semua a, b G, assosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuk semua a, b, c G,

(3) Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e G sehingga e*x=x*e=x untuk semua x G, (4) Hukum invers : untuk setiap a G, terdapatlah a G sehingga a * a = e. Biasanya lambang < G , * > hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a-1 adalah lambang untuk invers a.

Contoh II. 1 � Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap � Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi +. � Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi +. � Himpunan bilangan real R – {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian. � Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

Sifat-sifat sederhana dalam grup � Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup, sebarang persamaan a*x=b mempunyai penyelesaian dalam suatu grup yaitu x = a * b. � Sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema II. 1 Dalam sebarang grup berlaku sifat berikut : � Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y. � Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y. � Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e. � Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b. �( ab) -1 = b-1 a-1

Bukti : � 1. Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a G maka terdapat a-1 sehingga a a-1 = a-1 a = e dengan e identitas. Akibatnya a-1 (ax) = a-1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh (a-1 a)x = (a-1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x=y

3. Karena e suatu anggota identitas maka e e = e. Pada sisi lain e e = e, sehingga e e = e. 4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b. 5. Karena ab. b-1 a-1 = a (b b-1) a-1 = a e a-1 = a a-1 = e dan b-1 a-1. ab = b-1(a-1 a)b = b-1 e b = b-1 b = e maka (ab)-1 = b-1 a-1.

Latihan Grup

TERIMA KASIH