Grundlagen raumliche Vorstellung Der Wrfel und seine Folgen

Grundlagen – raumliche Vorstellung Der Würfel und seine Folgen … Folgende Teile der Präsentation: Ansichten Schrägriss Abbildungsebenen Gedanken zum Sehen, optische Täuschungen Koordinatensystem Dreieck im Raum Prisma im Raum 1

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? 2

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? Drei Linien, die zu einem Punkt führen? Ein Y-förmiges Gebilde? Drehflügel eines Windkraftwerkes? 3

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? 4

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? Eine Sechseck? Eine Bienenwabe? Ein sechseckiger Tisch von oben? 5

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Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? Wahrscheinlich war die Antwort: Ein Würfel. Es ist ein Sechseck, indem ein Y-förmiges Gebilde im Zentrum ist. 7

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Es handelt sich um eine zweidimensionale Darstellung und ein Würfel ist ein dreidimensionaler Körper! Das Papier, der Bildschirm oder die Leinwand ist zweidimensional (flach). Aber es ist eine Abbildung eines Würfels. Seit unserer Kindheit wissen wir, dass Würfel, die wir in den Fingern gedreht und mit den Lippen abgetastet haben, so aussehen, wie die Abbildung oben. 8

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? 9

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Was ist zu sehen? Drei gleichseitige Parallelogramme mit gleichen Seiten, diese werden auch Rhomben genannt. 10

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Werden die Rhomben so zusammengeschoben, dass ein Dreieck in deren Mitte entsteht, ist eine symmetrische Figur entstanden. Es sieht einem Firmenlogo ähnlich. 11

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Werden die Rhomben so zusammengeschoben, dass ein Dreieck in deren Mitte entsteht, ist eine symmetrische Figur entstanden. Es sieht einem Firmenlogo ähnlich. Werden drei Flächen eingefärbt …… 12

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Werden die Rhomben so zusammengeschoben, dass ein Dreieck in deren Mitte entsteht, ist eine symmetrische Figur entstanden. Es sieht einem Firmenlogo ähnlich. Werden drei Flächen eingefärbt entsteht eine Abbildung zweier senkrechter, grauer Flächen, von der eine weiße Fläche oben rechtwinkelig nach hinten und eine dunkelgraue Fläche nach vorne abgewinkelt ist. 13

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Werden die Flächen anders eingefärbt ergibt sich eine Abbildung einer anderen räumlichen Figur. Ein horizontales, weißes Quadrat gemeinsam mit einem Dreieck. Von Letzterem ist ein hellgraues Quadrat nach links unten und ein etwas dunkleres Quadrat unter 45° rechts nach oben geklappt (wie Papschachteldeckel). Es gibt auch noch andere vorstellbare Figuren. 14

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Zurück zu unseren drei Rhomben und einem Würfel, der mit diesen abgebildet werden könnte …. . . 15

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Zurück zu unseren drei Rhomben und einem Würfel, der mit diesen abgebildet werden könnte, wenn die Rhomben entsprechend zusammengesetzt werden. 16

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Zurück zu unseren drei Rhomben und einem Würfel, der mit diesen abgebildet werden könnte, wenn die Rhomben entsprechend zusammengesetzt werden. Etwas eingefärbt sieht die Abbildung des Würfels viel räumlicher aus. 17

Grundlagen – raumliche Vorstellung Ansichten Das Abbild eines etwas gedrehten Würfels ist ebenfalls räumlich leicht vorstellbar. Hier wurden auch die unsichtbaren Seitenkanten strichliert dargestellt. 18

Grundlagen – raumliche Vorstellung Schrägriss Diese Art der Abbildung wird „Schrägriss“ genannt, weil in der Abbildung der Würfel von schräg rechts oben dargestellt wird. Damit kann von dem Würfel die Vorderansicht (hellgrau), die Seitenansicht (dunkelgrau) und die Ansicht von oben gezeigt werden (weiß). 19

Grundlagen – raumliche Vorstellung Schrägriss Diese Art der Abbildung wird „Schrägriss“ genannt, weil in der Abbildung der Würfel von schräg. rechts oben dargestellt wird. Mit den unsichtbaren Kanten (strichliert gezeichnet) sind auch die Unterseite, die Ansicht von der anderen Seite und die Rückseite hinter dem Würfel quasi zu „sehen“. 20

Grundlagen – raumliche Vorstellung Schrägriss Nun ist eine Abbildung eines Würfels zu sehen, bei dem links, oben, vorne eine schräge Fläche und rechts, unten, hinten, ein kleiner Würfel herausgeschnitten wurde. Auch in dieser Abbildung sind mit den unsichtbaren Linien und Kanten die Unterseite, die linke Seitenfläche und die Rückseite zu erkennen. 21

Grundlagen – raumliche Vorstellung Schrägriss Mit ein wenig Schattierung ist die Abbildung viel leichter räumlich zu sehen. Es ist einen Versuch wert, die Abbildung länger zu betrachten und sich den Würfel von allen Seiten vorzustellen; z. B. von links, oben oder von rechts unten, oder rechts, hinten, unten. 22

Grundlagen – raumliche Vorstellung Schrägriss Mit ein wenig Schattierung ist die Abbildung viel leichter räumlich zu sehen. Es ist einen Versuch wert, die Abbildung länger zu betrachten und sich den Würfel von allen Seiten vorzustellen; z. B. von links, oben oder von rechts unten, oder rechts, hinten, unten. Dafür ist ausreichend Zeit nötig. 23

Grundlagen – raumliche Vorstellung Schrägriss Diese Art der Abbildung von dreidimensionalen Körpern, der Schrägriss, ist nur eine Möglichkeit Körper auf Flächen darzustellen. In der Technik wird vorwiegend die Abbildung auf zwei (oder drei) Abbildungsebenen verwendet. Dazu werden Körper von vorne und von oben abgebildet, manchmal auch noch zusätzlich von der Seite. 24

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Dieser bearbeitete Würfel soll in Abbildungsebenen dargestellt werden. 25

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Dieser bearbeitete Würfel soll in Abbildungsebenen dargestellt werden. Dazu wird auf einer Parallelebene die Vorderansicht abgebildet … 26

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Dieser bearbeitete Würfel soll in Abbildungsebenen dargestellt werden. Dazu wird auf einer Parallelebene die Vorderansicht abgebildet, auf eine weitere die Ansicht von oben …. . 27

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Dieser bearbeitete Würfel soll in Abbildungsebenen dargestellt werden. Dazu wird auf einer Parallelebene die Vorderansicht abgebildet, auf eine weitere die Ansicht von oben und auf eine weitere die Ansicht von rechts. 28

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Hier nochmals alle drei Ansichten vorne, oben und von rechts. Die unsichtbaren Kanten und Linien werden auch in die Abbildungen übertragen. Dadurch kann auch jeweils „hinter“ und „in“ die Körper „gesehen“ werden. 29

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Diese Abbildungsebenen werden auch Aufriss für die Ansicht von vorne, Grundriss für die Ansicht von oben und Seitenriss (früher Kreuzriss) für die Ansicht von der Seite (in diesem Beispiel von rechts) genannt. 30

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Die Abbildungsebenen werden zusammengeschoben und ergeben ein ……. 31

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Die Abbildungsebenen werden zusammengeschoben und ergeben ein Koordinatensystem mit den Achsen X (vorne-hinten), Y (rechts-links) und Z (obenunten). Dieses Koordinatensystem ist aber auch noch räumlich und hilft nicht bei der flächenhaften Darstellung auf Papier oder Bildschirm. 32

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Um eine flächenhafte Darstellung zu erreichen werden alle Abbildungsebenen in die eine Fläche geklappt. Dadurch wird die X-Achse zweimal aufgetragen. 33

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Die Abbildungsebenen haben auch noch weitere Bezeichnungen. Die Ansicht von vorne wird im Aufriss dargestellt und mit P 2 bezeichnet. Die Ansicht von oben wird im Grundriss dargestellt und auch P 1 bezeichnet. Die Ansicht von rechts wird im Seitenriss dargestellt und auch P 3 bezeichnet. 34

Grundlagen – raumliche Vorstellung Abbildungsebenen Die Abbildungsebenen können auch von einander mit Abstand getrennt gezeichnet werden. Der Vergleich der Abbildungen mit der Schrägrissdarstellung hilft die räumliche und die flächenhafte Darstellung in Zusammenhang zu bringen. 35

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Die optische Wahrnehmung (Auge, Sehnerv und Sehzentrum im Gehirn) des Menschen (und der Tiere) dienen wie alle Sinnesfunktionen (Hören, Riechen, Schmecken, Fühlen) rein biologisch in erster Linie um Nahrung und Partner zu finden und Gefahren zu erkennen*. Alles Schöne, wie bildende Kunst, Musik und kulinarische Genüsse werden aber auch mit unseren Sinnen wahrgenommen und erfreuen uns. Somit wird auch jeder optische Eindruck zuerst auf diese drei Grundanforderungen geprüft. Alles was wir nicht erkennen können, wird daher unter „Gefahr“ eingereiht und eine Lösung zum Entkommen aus der Gefahr gesucht. *Manchmal werden DG-Aufgaben als Gefahr betrachtet! 36

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Räumliches Erkennen ist ein Teil dieser optischen Wahrnehmung und wir lernen es vom Babyalter an. Babies führen alle Gegenstände zum Mund ertasten mit den sehr sensiblen Lippen das, was sie sich danach „ansehen“. Das komplexe räumliche Verständnis (aus den verschiedensten Darstellungen heraus) ist erst mit etwa 17 Jahren abgeschlossen. Hier ein Beispiel, wie sehr uns „Unbekanntes“ oder „Unmögliches“ beunruhigt. 37

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Dieser U-förmige Gegenstand ist leicht zu erkennen. 38

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Dieser U-förmige Gegenstand ist leicht zu erkennen. Auch dieser Gegenstand ist leicht zu erkennen und vorstellbar. 39

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Dieser U-förmige Gegenstand ist leicht zu erkennen. Auch dieser Gegenstand ist leicht zu erkennen und vorstellbar. Die Kombination aus beiden Gegenständen ist in der Wirklichkeit nicht möglich. 40

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Dieser unmögliche Gegenstand lässt den Betrachter ständig von links oben nach rechts unten blicken und würden die Gehirnströme dabei gemessen werden, würde eine hohe Aktivität erkennbar sein. Der Gegenstand wird als „Gefahr“ erkannt. Dieser Gegenstand könnte auch nie gefertigt werden, aber als flächenhafte Darstellung im Schrägriss, können auch „unmögliche“ Körper dargestellt werden. 41

Grundlagen – raumliche Vorstellung Gedanken zum Sehen Auch dieser unmögliche Gegenstand lässt den Betrachter ständig von links oben nach rechts unten blicken. Ein besonderer Künstler, der Abbildungen von unmöglichen dreidimensionalen Objekten in großen Anzahl hergestellt hat ist M. C. Escher 1898 -1972. 42

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem Nun wieder zurück zu der Darstellung von Würfel im Koordinatensystem. 43

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem In der Schrägrissdarstellung wird der rechte, vordere obere Punkt markiert. 44

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem In der Schrägrissdarstellung wird der rechte, vordere obere Punkt markiert. Im Grundriss ist dieser Punkt nun zu sehen. 45

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem In der Schrägrissdarstellung wird der rechte, vordere obere Punkt markiert. Im Grundriss ist dieser Punkt nun zu sehen. Nun auch im Aufriss und …. 46

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem In der Schrägrissdarstellung wird der rechte, vordere obere Punkt markiert. Im Grundriss ist dieser Punkt nun zu sehen. Nun auch im Aufriss und im Seitenriss. 47

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem In der Schrägrissdarstellung wird der rechte, vordere obere Punkt markiert. Im Grundriss ist dieser Punkt nun zu sehen. Nun auch im Aufriss und im Seitenriss. Im Grundriss ist zu sehen, wie weit der Punkt „vorne“, im Aufriss wie hoch und wie weit er seitlich ist. Damit ist der Punkt im Raum definiert. Der Seitenriss ist eine zusätzliche Kontrolle. 48

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem Nun wird ein zweiter Punkt, jener in der Mitte der Grundfläche des Würfels ebenso in den drei Abbildungsebenen und im Raum dargestellt. 49

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem Nun wird ein zweiter Punkt, jener in der Mitte der Grundfläche des Würfels ebenso in den drei Abbildungsebenen und im Raum dargestellt. Nun wird der Würfel in die Abbildungsebenen „gerückt“ und es können die räumlichen Zusammenhänge studiert werden. Dafür ist ausreichend Zeit nötig. 50

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem Kurz zusammengefasst: Das Koordinatensystem ist im aufgeklappter Form zweidimensional und stellt in wenigsten zwei Ansichten (von oben und von vorne oder von vorne und von der Seite) dreidimensionale Körper dar. Jeder Punkt des Körpers hat einen X-, Y- und Z-Wert im Koordinatensystem. 51

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem Der gekennzeichnete Punkt am Würfel hat also eine Höhe (Z-Wert), einen Wert, wie weit er vorne ist (X-Wert) und wie weit er seitlich ist (Y-Wert). Die Werte werden vom Ursprung (Zusammentreffen der drei Achsen X, Y, Z) aus gerechnet. Somit ist der Eckpunkt A (X, Y, Z) im Raum definiert. 52

Grundlagen – raumliche Vorstellung Koordinatensystem In folgenden Power. Point. Präsentationen wird die Konstruktion im Koordinatensystem gezeigt: „DG 1 -Dreieck im Raum“ „DG 1 - Prisma im Raum“ 53

Grundlagen – raumliche Vorstellung Danke für´s Mitdenken! Euer n. willmann@liwest. at www. nw-service. at 54