Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird

Grundgedanke der FEM Das zu berechnende Tragwerk wird in eine grössere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zerlegt und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und anderer statischer Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammengeführt. (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 1

FEM als statisches Berechnungsverfahren • Kraftgrössenverfahren – Kräfte und Momente • Verschiebungsgrössenverfahren – Verschiebungen und Verdrehungen Formulierung in Matrizenschreibweise in der Regel lineares Gleichungssystem (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 2

Benötigte Angaben • • Geometrie des Tragwerks Auflagerbedingungen Materialeigenschaften Lasteinwirkungen (C) 2007 -2009, Hermann

Lasteinwirkungen • verteilte äussere Kräfte • konzentrierte äussere Kräfte • initiale Verzerrungen (von externen Einwirkungen) • vorgeschriebene Rand- und Auflagerverschiebungen • beschleunigungsproportionale Massenkräfte (z. B. Eigengewicht) (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 4

Methode • Erarbeiten eines mathematischen Modells auf Grund der physikalischen Wirklichkeit. (C) 2007 -2009,

Knotenpunkte, Freiheitsgrade, Finite Elemente (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 6

Verschiebungsgrössenverfahren Voraussetzung: lineares Tragwerk das ergibt ein lineares Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannte. (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 7

Lastvektor und Verschiebungsvektor • Die in einem Knotenpunkt angreifenden Kräfte und Momente werden zum Lastvektor F zusammengefasst. • Die Knotenverschiebungen und -verdrehungen werden zum Verschiebungsvektor u zusammengefasst. Es gilt: F = K • u K ist die Systemsteifigkeitsmatrix (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 8

Beispiel 3 -4 (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 9

Das lineare Gleichungssystem K • u = F (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW

Vorgehensweise • numerische Erfassung des Tragverhaltens jedes einzelnen finiten Elements ( lokale Elementsteifigkeitsmatrizen) • Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors • Lösung der globalen Systemgleichungen • Ermittlung der Auflagerkräfte • Berechnung der Elementspannungen (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 11

Beispiel 3 -5 (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 12

Statisches System (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 13

Knotenverschiebungen (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 14

Koordinatensysteme (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 15

Koinzidenztabelle Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2) 1 2 3 4 5 6 (C) 2007

Knotenkräfte (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 17

K • u = F Das System hat 5 Freiheitsgrade. Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix K benötigt man die Elementsteifigkeitsmatrizen (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 18

Der Fachwerkstab • Es soll die Elementsteifigkeitsmatrix eines Fachwerkstabes hergeleitet werden, und zwar in einem lokalen Bezugssystem. • Der Fachwerkstab hat einen Querschnitt A, die Länge l und sein Material hat den Elastizitätsmodul E. • Entlang der Länge des Stabes wirkt die Normalkraft N und bewirkt eine Verlängerung . (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 19

Der Fachwerkstab (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 20

Die Spannungsmatrix S Für die Verlängerung gilt: Gleichzeitig ist: Damit folgt: (C) 2007 -2009,

Die Elementsteifigkeitsmatrix Die Elementsteifgkeitsmatrix ist aus den angreifenden Kräften und den Verschiebungen schnell angesetzt: in Matrixform: (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 22

Koordinatentransformation Beim Fachwerkstab werden beide Knoten transformiert. Das führt zu: ue(lok) = T •

Transformation der Kräfte Für die Kräfte an den Stabenden gilt also: Fe = TT

Folgerungen Es gilt im lokalen System: Fe(lok) = Ke(lok) • ue(lok) Einsetzen von: ue(lok) = T • ue führt zu Fe(lok) = Ke(lok) • T • ue Somit gilt: Fe = TT • Fe(lok) = TT • Ke(lok) • T • ue Daraus kann man ablesen, dass die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten folgende ist: Ke = TT • Ke(lok) • T (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 25

Elementsteifigkeitsmatrix für den Fachwerkstab (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 26

Die Spannungsmatrix für den Fachwerkstab N = Se(lok) • ue(lok) Mit ue(lok) = T • ue erhält man: N = Se • ue = Se(lok) • T • u Somit gilt: (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 27

Aufgabe Es sind alle Elemetsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen für alle Elemente in globalen Koordinaten aufzuschreiben. (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 28

Die Systemsteifigkeitsmatrix Vorgehensweise: • Anpassen der Verschiebungsgrössen der einzelnen Elemente an diejenigen des Knotenpunktes (Kompatibilitätsbedingungen) • Gleichgewichtsbedingungen in den Knotenpunkten Kf • uf=Ff (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 29

Kf = (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 30

Koinzidenztabelle Elementnummer Anfangspunkt (1) Endpunkt (2) 1 1 2 2 3 4 3 4

Auflagerbedingungen Hier gilt: v 3 = 0, u 4 = 0, v 4 = 0 Damit werden in Kf die letzten 3 Spalten mit Nullen besetzt und man kann sie streichen. Der Rang der Matrix Kf ist 5. Gestrichen werden die Zeilen, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, da rechts die Auflagerkräfte unbekannt sind. (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 32

Gleichungssystem (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 33

Lösung des Gleichungssystems Zuerst wird das erste Gleichungssystem gelöst. Das ergibt die Werte für u 1, v 1, u 2, v 2 und u 3. Diese Lösungen werden in das zweite Gleichungssystem eingesetzt und man kann die Auflagerkräfte in den Knoten 3 und 4 berechnen. (C) 2007 -2009, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 34