Grundbegriffe und Kennwerte Gliederung Deskriptive Statistik Grundbegriffe Merkmale

Grundbegriffe und Kennwerte Gliederung • Deskriptive Statistik • Grundbegriffe – – – Merkmale Variable Operationalisierung Skalenniveaus Fragebogenformate • Datensätze in SPSS • Kennwerte – Häufigkeiten – Maße der zentralen Tendenz – Maße der Dispersion 02_grundbegriffe_kennwerte 1

Deskriptive Statistik • Definition: „Unter deskriptiver Statistik versteht man ein Gruppe statistischer Methoden zur Beschreibung statistischer Daten anhand statistischer Kennwerte, Graphiken, Diagrammen oder Tabellen. “ (Leonhart, 2004) • Deskriptive Statistik bezieht sich immer auf eine Stichprobe, d. h. auf die Personen, die tatsächlich untersucht bzw. beobachtet wurden. • Die Inferenzstatistik zieht dagegen aus den in einer Stichprobe erhobenen Daten Schlüsse auf die zugrunde liegende Population. 02_grundbegriffe_kennwerte 2

Grundbegriffe der Datenerhebung • Bei einer Datenerhebung geht es darum, bestimmte Merkmalsausprägungen der untersuchten Einheiten zu messen. • Was sind Merkmale? • Was sind Einheiten? • Was ist eine Messung? 02_grundbegriffe_kennwerte 3

Deskriptive Statistik Beispiel 1: Merkmale von Psychologiestudierenden: • Geschlecht • Alter • Größe • Wohnort • Ängstlichkeit • Extravertiertheit • Statistikkenntnisse 02_grundbegriffe_kennwerte 4

Merkmale Beispiel 2: Merkmale von Therapiemaßnahmen: • Anzahl der therapeutischen Sitzungen (25 vs. 100) • Therapeutisches „Setting“ (z. B. Einzel- vs. Gruppentherapie) • Eingesetzte therapeutische Methoden (z. B. Gesprächsterapie vs. Verhaltenstherapie) • Motivation des Klienten • Motivation des Therapeuten • … Eine statistische Erhebung von Merkmalen muss nicht auf Basis von Personen erfolgen. 02_grundbegriffe_kennwerte 5

Merkmale Qualitative vs. Quantitative Merkmale • Qualitative Merkmale beschreiben die Zugehörigkeit einer Person oder eines Objektes zu einer Kategorie. • Quantitative Merkmale beschreiben die Ausprägung eines Merkmals auf einem Kontinuum. • Beispiele … – Qualitativ: Geschlecht, Wohnort – Quantitativ: Alter, Ängstlichkeit 02_grundbegriffe_kennwerte 6

Merkmale Manifeste vs. Latente Merkmale • Manifeste Merkmale können (im Prinzip) direkt beobachtet oder gemessen werden. • Latente Merkmale können nur indirekt zu erfasst werden. Diese Merkmale sind meist nur unzureichend operational definiert, so dass ihre Messung indirekt durch korrespondierender manifeste Merkmale geschieht. • Beispiele … – Manifest: Geschlecht, Körpergröße – Latent: Persönlichkeitseigenschaften 02_grundbegriffe_kennwerte 7

Deskriptive Statistik Klassifikation von Merkmalen: Manifest Latent Qualitativ • Geschlecht • Wohnort • … • Persönlichkeitstypus (z. B. „Choleriker“) • … Quantitativ • Alter • Gewicht • … • Persönlichkeitseigenschaft (z. B. Extraversion) • … 02_grundbegriffe_kennwerte 8

Messung Vom Merkmal zur Variable • Um ein Merkmal exakt zu erfassen, muss eine präzise Operationalisierung (Messvorschrift) vorliegen. • Die Operationalisierung definiert, wie unterschiedliche Ausprägungen eines Merkmals erfasst (kodiert) werden • Die Kodierung der Merkmalsausprägungen erfolgt in der Regel in Zahlen. • Man spricht nun von einer Variable, die Information enthält. • Ein Messung ist also eine Zuordnung von Zahlen zu Objekten gemäß den Regeln einer Operationalisierung. 02_grundbegriffe_kennwerte 9

Operationalisierung Beispiele für Operationalisierungen • Die Variable „sex“ soll das Geschlecht erfassen. Es wird für Frauen der Wert 1 und für Männer der Wert 2 verwendet. • Die Variable „alter“ soll das Alter der untersuchten Personen in Jahren erfassen. • Die Variable „alter“ soll das Alter von Säuglingen in Monaten erfassen. • Die Variable „opt“ soll den selbst eingeschätzten Optimismus auf einer Skala von -2 (überhaupt nicht optimistisch) bis +2 (extrem optimistisch) erfassen. • Die Variable „angst“ soll die Ängstlichkeit erfassen. Diese wird gemessen als die Zeitdauer in Sekunden, bis eine Spinne angefasst wird. 02_grundbegriffe_kennwerte 10

Variablen Klassifikation von Variablen: Diskret vs. Kontinuierlich • Diskrete Variablen: Die Anzahl der möglichen Werte ist abzählbar. • Kontinuierliche Variablen: Die möglichen Werte liegen auf einem Kontinuum. • Beispiele … 02_grundbegriffe_kennwerte 11

Merkmale und Variablen Merkmal Geschlecht Alter qualitativ oder quantitativ ? qualitativ quantitativ manifest oder latent ? manifest diskret oder kontinuierlich diskret ? Wohnort Optimismus qualitativ quantitativ manifest latent diskret Ängstlichkeit quantitativ latent kontinuierlich (Rating 1 bis 5) (Zeit bis zur Handlung) 02_grundbegriffe_kennwerte 12

Skalenniveaus Möglichkeiten, das Konstrukt „Ängstlichkeit“ zu operationalisieren: • „Mutprobe“ (z. B. bungee jump) – Erfolg: angst=„ 0“ – Misserfolg: angst=„ 1“ • „Experten-Rating“ (Einschätzung) – – nicht ängstlich („ 0“) wenig ängstlich („ 1“) eher ängstlich („ 2“) klinisch relevante Angststörung („ 3“) Die Art der Operationalisierung beeinflusst das Skalenniveau und damit die Möglichkeiten der statistischen Auswertung! • Ergebnis eines Ängstlichkeitsfragebogens – Werte von 0 -40 • „Mutprobe“ – Zeit bis zur erfolgreichen Handlung (0 bis ? Sekunden) 02_grundbegriffe_kennwerte 13

Skalenniveaus Vier Skalenniveaus: (1) Nominalskala (2) Ordinalskala (3) Intervallskala (4) Verhältnisskala • Die Messgenauigkeit und Aussagekraft der Daten steigt mit dem Skalenniveau. • Es sollte daher versucht werden, Daten auf einem möglichst hohem Skalenniveau zu erfassen. 02_grundbegriffe_kennwerte 14

Skalenniveaus Die Nominalskala • Es werden „Namen“ (Zahlenwerte) für jede Merkmalsausprägung vergeben. • Beispiel: Geschlecht („m“ / „w“) • Zwei Annahmen müssen berücksichtigt werden: 1. Exklusivität: Unterschiedliche Merkmalsausprägungen werden unterschiedlichen Zahlen zugeordnet. 2. Exhaustivität: Jeder beobachteten Merkmalsausprägung eine Zahl zugeordnet. • Man spricht von einer homomorphen Abbildung, d. h. aus der Variablen kann immer auf das Merkmal zurückgeschlossen werden. 02_grundbegriffe_kennwerte 15

Skalenniveaus Die Nominalskala • Aussagekraft von Variablenwerten: – Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung (Keine Aussagen zu größer/kleiner Relationen möglich!) • Mögliche Transformationen: – Die Variablenwerte können willkürlich vorgegeben und auch nachträglich geändert werden. – Es sind alle eineindeutigen Transformationen erlaubt – Beispiel: weiblich = 1; männlich = 2 oder weiblich = 2; männlich = 1 oder weiblich = 100; männlich = 200; 02_grundbegriffe_kennwerte 16

Skalenniveaus Die Ordinalskala • Bei der Ordinalskala (Rangskala) geben die Variablenwerte Aufschluss über die Rangfolge der Merkmalsträger bezüglich des gemessenen Merkmals • Beispiel: Schulabschluss „ 0“=kein SA, „ 1“=Haupts. , „ 2“=Reals. , „ 3“=Gymnasium) • Zusätzliche Annahme für die Operationalisierung: 3. Die zugeordneten Zahlen repräsentieren eine Rangreihe der Merkmalsausprägung. 02_grundbegriffe_kennwerte 17

Skalenniveaus Die Ordinalskala • Aussagekraft von Variablenwerten: – Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung – Größer / Kleiner Relationen • Mögliche Transformationen: – Erlaubt sind nur noch alle monotonen Transformationen. – Beispiele • y=x+3 • y = 2 x • y = log(x) 02_grundbegriffe_kennwerte 18

Skalenniveaus Die Intervallskala • Bei der Intervallskala geben die Variablenwerte Aufschluss über die Abstände zwischen Merkmalsausprägungen. • Beispiel: Ergebnisse eines Intelligenztests (IQ (Peter) = 115; IQ(Anne) = 130 Differenz 15 Punkte ) • Zusätzliche Annahme für die Operationalisierung: 4. Gleich große Intervalle zwischen Zahlenwerten der Variable repräsentieren gleich große Abstände in der Merkmalsausprägung. 02_grundbegriffe_kennwerte 19

Skalenniveaus Die Intervallskala • Aussagekraft von Variablenwerten: – Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung – Größer / Kleiner Relationen – Größe von Unterschieden • Mögliche Transformationen: – Erlaubt sind nur noch alle linearen Transformationen (y = ax+b). – Beispiele • y = x - 100 • y = 0. 1 x 02_grundbegriffe_kennwerte 20

Skalenniveaus Die Verhältnisskala • Die Verhältnisskala kann vor allem bei der Messung physikalischer Größen (Länge, Gewicht, Zeit) angenommen werden. • Beispiel: Reaktionszeit (ms) • Zusätzliche Annahme für die Operationalisierung: 5. Die Skala hat einen definierten Null-Punkt. 02_grundbegriffe_kennwerte 21

Skalenniveaus Die Verhältnisskala • Aussagekraft von Variablenwerten: – – Information über Gleichheit / Verschiedenheit der Merkmalsausprägung Größer / Kleiner Relationen Größe von Unterschieden Verhältnis von Merkmalsausprägungen (z. B. doppelte Reaktionszeit) • Mögliche Transformationen: – Erlaubt sind nur noch alle multiplikativen Transformationen (y = ax). – Beispiele • y = 0. 001 ∙ x (Umrechnung von Millisekunden in Sekunden) • y = 24 ∙ x (Umrechnung von Jahren in Monate) 02_grundbegriffe_kennwerte 22

Skalenniveaus Skalenniveau Beispiele Mögliche Aussagen Erlaubte Transformationen Nominalskala Geschlecht, Diagnosen Gleichheit / Verschiedenheit Eineindeutige Transformationen Ordinalskala Schulbildung, Ratings Größer / Kleiner Relationen Monotone Transformationen Intervallskala IQ, Gleichheit von Persönlichkeits- Differenzen merkmale Verhältnisskala Alter, Reaktionszeit 02_grundbegriffe_kennwerte Gleichheit von Verhältnissen Lineare Transformationen Multiplikative Transformationen 23

Skalenniveaus • Das Skalenniveau hängt ab: 1. Von dem erhobenen Merkmal 2. Von der Operationalisierung der Messung • Beispiele: Geschlecht ist immer Nominalskaliert, da das Merkmal an sich keine Rangreihe oder Intervalle definiert. Ängstlichkeit kann jedoch nominal-, ordinal-, oder intervallskaliert erhoben werden (s. o. ) • Durch die Art der Messung kann das Skalenniveau sinken. 02_grundbegriffe_kennwerte 24

Skalenniveaus Niveau eines Merkmals vs. Niveau der Variablen • Beispiel 1: Zeit bis zum Anfassen der Spinne – Peter: 10 Sekunden; Martin: 20 Sekunden – Also: „Martin hat doppelt so lange gezögert wie Peter. “ (Zeit ist verhältnisskaliert) – Also: „Martin ist doppelt so ängstlich wie Peter“ – Das ergibt keinen Sinn – Ängstlichkeit kann vermutlich nicht auf Verhältnisskalenniveau gemessen werden. • Für (latente) psychologische Konstrukte wird in aller Regel nur Intervallskalenniveau angenommen. 02_grundbegriffe_kennwerte 25

Skalenniveaus Niveau eines Merkmals vs. Niveau der Variablen • Beispiel 2: Reaktionszeit – Viele psychologische Studien beruhen auf Reaktionszeiten – Die Zeit ist verhältnisskaliert – Aber: Unterschiede zwischen 500 ms und 600 ms sind „psychologisch bedeutsamer“ als Unterschiede zwischen 1500 ms und 1600 ms – Daher werden Reaktionszeiten vor der Auswertung manchmal logarithmiert – Nun gilt: • ln(600) - ln(500) = 6. 40 – 6. 22 = 0. 18 • ln(1600) - ln(1500) = 7. 38 – 7. 31 = 0. 07 – Eine Logarithmierung ist eigentlich nur für ordinalskalierte Variablen zulässig. – Dennoch wird angenommen, dass die logarithmierten Zeiten besser das intervallskalierte Konstrukt (z. B. Aufmerksamkeit) abbilden. 02_grundbegriffe_kennwerte 26

Skalenniveaus Das Skalenniveau von Fragebogen • Oft ist das Skalenniveau umstritten: – z. B. Schulnoten (ordinal oder intervall? ) – z. B. „Ratings“ (ordinal oder intervall? ) • Für einzelne Fragebogenitems kann man nur von einem Ordinalskalennieveau ausgehen • Bei einer Aggregation vielen „Items“ (Summenbildung) wird meist von einem Intervallskalenniveau ausgegangen. • Für psychologische Untersuchungen ist das Intervallskalenniveau von besonderer Bedeutung, da viele statistische Verfahren nur bei intervallskalierten Daten eingesetzt werden können. 02_grundbegriffe_kennwerte 27

Unterschiedliche Fragebogenformate Zweistufige Antworten Trifft nicht zu Trifft zu Bei allem sehe ich stets die positive Seite. 1 0 Ich blicke immer mit Zuversicht in die Zukunft 1 0 Auch in unsicheren Zeiten rechne ich im allgemeinen damit, dass sich alles zum Besten wendet. 1 0 Alles in allem erwarte ich, dass mir mehr gute als schlechte Dinge widerfahren. 1 0 02_grundbegriffe_kennwerte 28

Unterschiedliche Fragebogenformate -2 -1 0 1 2 Ich blicke immer mit Zuversicht in die Zukunft -2 -1 0 1 2 Auch in unsicheren Zeiten rechne ich im allgemeinen damit, dass sich alles zum Besten wendet. -2 -1 0 1 2 Alles in allem erwarte ich, dass mir mehr gute als schlechte Dinge widerfahren. -2 -1 0 1 2 02_grundbegriffe_kennwerte Trifft eher zu Trifft eher nicht zu Bei allem sehe ich stets die positive Seite. Unbestimmt Trifft gar nicht zu Trifft voll und ganz zu Mehrstufige Ratingskalen 29

Unterschiedliche Fragebogenformate Bipolare Ratingskalen Zufrieden 2 1 0 1 2 Ärgerlich Gut 2 1 0 1 2 Schlecht Ausgeruht 2 1 0 1 2 Schlapp Gelassen 2 1 0 1 2 Angespannt Ruhig 2 1 0 1 2 Unruhig 02_grundbegriffe_kennwerte 30

Zusammenfassung Grundbegriffe • Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung einer Stichprobe. • Grundlage jeder Statistik ist ein Datensatz. Dieser entsteht durch die Messung von Merkmalen der Mitglieder dieser Stichprobe. • Dabei spielt die Operationalisierung der Merkmale eine entscheidende Rolle. • Die Daten können auf unterschiedlichen Skalenniveaus vorliegen: – Noninalskala, Ordinalskala, Intervallskala, Verhältnisskala • Grundsätzlich sollte versucht werden, bei einer Messung ein möglichst hohes Skalenniveau zu erreichen. • Bei der Erfassung vieler psychologischer Merkmale kann ein Intervallskalenniveau erreicht werden. 02_grundbegriffe_kennwerte 31

Datensätze in SPSS 02_grundbegriffe_kennwerte 32

Datensätze in SPSS 02_grundbegriffe_kennwerte 33

Datensätze in SPSS Erstellen eines neuen Datensatzes • Definieren der Variablen (Variablenansicht) – – – Name (kurzer Bezeichner) Typ (meist: Numerisch = Zahl oder String = Text) evtl. : Variablenlable und Wertelable wichtig: Wert für missings (fehlende Werte) definieren! Messniveau (Skalenniveau): Nominal, ordinal, oder Metrisch • Eingabe der Daten (Datenansicht) – Jede Zeile ist ein Fall (eine Versuchsperson) – Bei fehlenden Angaben immer den Wert für missings eintragen! 02_grundbegriffe_kennwerte 34

Statistische Kennwerte • Daten können auf viele unterschiedliche Arten dargestellt werden. • Es gehört zu den Kompetenzen eines Statistikers zu entscheiden, welche Art der Darstellung geeignet ist. • Sinnvoll ist immer eine Zusammenfassung des ursprünglichen Datensatzes. • Gleichzeitig soll aber auch möglichst viel Information über das erhobene Merkmal erhalten bleiben. • Dies erfolgt z. B. durch die Darstellung von – Häufigkeiten – Maßen der Zentrale Tendenz – Maßen der Dispersion 02_grundbegriffe_kennwerte 35

Häufigkeiten • Eine Urliste enthält alle Werte einer Stichprobe • Beispiel Geschlecht: (w, w, w, m, m, w, w, m, …) • Zur Darstellung der Geschlechterverteilung fasst man diese Urliste zusammen: Geschlecht Anzahl Prozent w 75 21. 4% m 21 76. 5 % gesamt 96 100. 0 % • Berechnung der Prozente: 02_grundbegriffe_kennwerte 36

Häufigkeiten in SPSS Befehle in SPSS • Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, Befehle aufzurufen (1) Das Menu • Vorteil: Einfache Bedienung, wenn man sich nicht gut auskennt • Nachteil: Wenn man das Ergebnis nochmal braucht, muss man alles von neuem anklicken. (2) Das Syntaxfenster • Öffnen mit Datei > Neu > Syntax • Dann können Befehle direkt eingetippt werden. • Vorteil: Man kann die Syntax speichern, und alle Berechnungen später erneut ausführen • Nachteil: Man muss die Befehle kennen • Sie müssen den Syntax nicht für die Klausur lernen. • ABER: Ich empfehle jedem regelmäßigem SPSS Nutzer, sich mit der SPSS Syntax vertraut zu machen. 02_grundbegriffe_kennwerte 37

Häufigkeiten in SPSS Häufigkeiten über das Menu berechnen • Analysieren > Deskriptive Statistik > Häufigkeiten 02_grundbegriffe_kennwerte 38

Häufigkeiten in SPSS Häufigkeiten über das Menu berechnen • Die interessierenden Variablen aus der Liste (links) in das Auswahlfeld (rechts) schieben • … und OK anklicken 02_grundbegriffe_kennwerte 39

Häufigkeiten in SPSS Häufigkeiten über den Syntax berechnen • Ein Syntaxfester öffnen • Den Befehl eingeben: – frequency sex. – fre sex. • Den Befehl ausführen: – Strg. R („run“) – oder den blauen Pfeil anklicken 02_grundbegriffe_kennwerte 40

Häufigkeiten in SPSS Häufigkeiten – SPSS Ausgabe 02_grundbegriffe_kennwerte 41

Häufigkeiten in SPSS Häufigkeiten – SPSS Ausgabe 02_grundbegriffe_kennwerte 42

Häufigkeiten in SPSS Häufigkeiten – SPSS Ausgabe Bundesland Gültig Baden-Württemberg Bayern Hessen Saarland Nordrhein-Westfalen Rheinland-Pfalz Niedersachsen Berlin Thüringen Mecklenburg-Vorpommern Bremen außerhalb Deutschlands Gesamt Fehlend -1 Gesamt 02_grundbegriffe_kennwerte Häufigkeit 53 7 8 2 7 3 3 2 2 2 1 4 94 Prozent 54, 1 7, 1 8, 2 2, 0 7, 1 3, 1 2, 0 1, 0 4, 1 95, 9 4 4, 1 98 100, 0 Gültige Kumulierte Prozente 56, 4 7, 4 63, 8 8, 5 72, 3 2, 1 74, 5 7, 4 81, 9 3, 2 85, 1 3, 2 88, 3 2, 1 90, 4 2, 1 92, 6 2, 1 94, 7 1, 1 95, 7 4, 3 100, 0 43

Kategorisierung • Oft hat ein Merkmal zu viele Ausprägungen, um für jede einzelne die Häufigkeit anzugeben. • In diesem Fall kann es sinnvoll sein, Kategorien zu bilden. • Regeln für die Bildung von Kategorien: Kategorien sind disjunkt (keine Überlappung) Kategorien sind direkt benachbart (keine Lücken) An den Rändern sind „offene“ Kategorien erlaubt Alle geschlossenen Kategorien sind gleich breit Je größer eine Stichprobe, desto mehr und desto schmalere Kategorien werden gebildet, in der Regel nicht mehr als 20. – Faustregel für die Anzahl der Kategorien (Leonhard, 2004): – – – • • Bei N Probanden: Bei 20 Probanden: Bei 1000 Probanden: 02_grundbegriffe_kennwerte m = 1 + 3. 32 ∙ log (N) m = 1 + 3. 32 ∙ log (20) = 1 + 3. 32 ∙ 1. 3 ≈ 4 m = 1 + 3. 32 ∙ log (100) = 1 + 3. 32 ∙ 2. 0 ≈ 8 m = 1 + 3. 32 ∙ log (100) = 1 + 3. 32 ∙ 3. 0 ≈ 10 44

Kategorisierung Kenntnisse in der Statistik Häufigkeit Gültig 02_grundbegriffe_kennwerte 0 0. 1 2 5 10 15 20 23 25 30 35 36 40 50 55 60 62 65 70 80 Gesamt 8 1 2 7 17 6 12 1 2 12 1 1 10 10 1 1 2 2 98 Prozent Gültige Prozente 8, 2 1, 0 2, 0 7, 1 17, 3 6, 1 12, 2 1, 0 2, 0 12, 2 1, 0 10, 2 1, 0 1, 0 2, 0 100, 0 Kumulierte Prozente 8, 2 9, 2 11, 2 18, 4 35, 7 41, 8 54, 1 55, 1 57, 1 69, 4 70, 4 71, 4 81, 6 91, 8 92, 9 93, 9 94, 9 95, 9 98, 0 100, 0 45

Kategorisierung Selbsteinschätzung der Statistikkenntnisse (Kategorisiert) Kategorie Prozent Kumuliert 0 ≤ x < 10 18. 40% 10 ≤ x < 20 23. 40% 41. 80% 20 ≤ x < 30 15. 30% 57. 10% 30 ≤ x < 40 14. 30% 71. 40% 40 ≤ x < 50 10. 20% 81. 60% 50 ≤ x < 60 11. 30% 92. 90% 7. 10% 100. 00% 60 ≤ x 02_grundbegriffe_kennwerte 46

Maße der Zentralen Tendenz • Maße der zentralen Tendenz geben an, wie ein Merkmal bei den meisten Mitgliedern einer Stichprobe bzw. in dieser Stichprobe im Durchschnitt ausgeprägt ist. • Es gibt dafür unterschiedliche Maße der zentralen Tendenz – Modalwert (für alle Skalentypen) – Median (für mindestens ordinalskalierte Daten) – Mittelwert (für mindestens intervallskalierte Daten). 02_grundbegriffe_kennwerte 47

Der Modalwert • Der Modalwert (Modus, Mo) ist derjenige Wert aus einer Verteilung, welcher am häufigsten besetzt ist. • Es kann auch mehrere Modalwerte geben. – SPSS gibt dann nur den kleinsten Wert aus. • Bei kategorisierten Daten wird die Mitte der am häufigsten besetzten Kategorie angegeben. • Die Angabe des Modalwertes ist besonders bei nominalskalierten Daten sinnvoll. 02_grundbegriffe_kennwerte 48

Der Modalwert Beispiele: Wert 0 0. 1 2 5 10 15 20 23 25 30 35 36 40 50 55 60 62 65 70 80 02_grundbegriffe_kennwerte Häufigkeit 8 1 2 7 17 6 12 1 2 12 1 1 10 10 1 1 2 2 Kategorie Prozent 0 ≤ x < 10 18. 40% 10 ≤ x < 20 23. 40% 20 ≤ x < 30 15. 30% 30 ≤ x < 40 14. 30% 40 ≤ x < 50 10. 20% 50 ≤ x < 60 11. 30% 60 ≤ x 7. 10% 49

Der Modalwert in SPSS Den Modalwert über das Menu berechnen • Analysieren > Deskriptive Statistiken > Häufigkeiten… • Auswahl „Statistiken …“ • Auswahl „Modalwert“ 02_grundbegriffe_kennwerte 50

Der Modalwert in SPSS Den Modalwert über den Syntax berechnen frequencies age /format notable /statistics modus. • • Ergänzende Unterbefehle in der Syntax werden immer mit einem „/“ eingeleitet. Ganz am Ende des Kommandos steht ein Punkt. „/format notable“ unterdrückt die normale Häufigkeitstabelle „/statistics modus” gibt den Modalwert aus. 02_grundbegriffe_kennwerte 51

Der Modalwert in SPSS Modalwert – SPSS Ausgabe 02_grundbegriffe_kennwerte 52

Der Median • Der Median (Md) ist derjenige Wert, der die geordnete Reihe der Messwerte in die oberen und die unteren 50 Prozent aufteilt. Somit ist die Anzahl der Messwerte über und unter dem Median gleich. • Man benötigt ordinalskalierte Daten, um eine „geordnete Reihe“ bilden zu können. 02_grundbegriffe_kennwerte 53

Der Median – Berechnung • Für ungerade N nimmt man den Wert in der Mitte der geordneten Liste: – Liste: 20, 21, 23, 27, 35 – Md = 23 – Allgemein: • Für gerade N nimmt man den Mittelwert der beiden in der Mitte stehenden Werte: – Liste: 20, 21, 23, 27, 35, 36 – Md = (23+27) / 2 = 25 – Allgemein: 02_grundbegriffe_kennwerte 54

Der Median Beispiel: 02_grundbegriffe_kennwerte 55

Der Median in SPSS Den Median über das Menu berechnen • Analysieren > Deskriptive Statistiken > Häufigkeiten • Auswahl „Statistiken …“ • Auswahl „Median“ 02_grundbegriffe_kennwerte 56

Der Median in SPSS Den Median über den Syntax berechnen frequencies age /format notable /statistics median. • • • Ergänzende Unterbefehle in der Syntax werden immer mit einem „/“ eingeleitet. Ganz am Ende des Kommandos steht ein Punkt. „/format notable“ unterdrückt die normale Häufigkeitstabelle „/statistics median” gibt den Median aus. Man kann auch Kennwerte kombinieren: – “/statistics median, modus. ” 02_grundbegriffe_kennwerte 57

Der Median in SPSS Median – SPSS Ausgabe 02_grundbegriffe_kennwerte 58

Der Median bei kategorisierten Daten • Bei kategorisierten Daten wird berücksichtigt, wie viel Prozent der Stichprobe oberhalb und unterhalb der Kategorie mit dem Median liegen. • Berechnung: – – u. G: KB fk cum fk-1: 02_grundbegriffe_kennwerte Untere Grenze der Kategorie, in der Median liegt. Breite der Kategorie Häufigkeit in der Kategorie k, in der Median liegt kumulierte Häufigkeit der Kategorie k-1, d. h. die Summe der Häufigkeiten aller Kategorien unter dem Median. 59

Der Median Berechnung 02_grundbegriffe_kennwerte Kategorie f cumf 0 ≤ x < 10 18 18 10 ≤ x < 20 24 42 20 ≤ x < 30 15 57 30 ≤ x < 40 14 71 40 ≤ x < 50 11 82 50 ≤ x < 60 11 93 60 ≤ x 7 100 60

Das arithmetische Mittel • Der arithmetische Mittel (Mittelwert, „Durchschnitt“, ) ist das häufigste Maß der zentralen Tendenz. • Das arithmetische Mittel darf nur für intervallskalierte Daten berechnet werden. 02_grundbegriffe_kennwerte 61

Das arithmetische Mittel – Berechnung • Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Messwerte geteilt durch deren Anzahl N. Zum Rechnen mit dem Summenzeichen siehe auch Leonhart (2004, S. 421 f) 02_grundbegriffe_kennwerte 62

Das arithmetische Mittel Beispiel: 02_grundbegriffe_kennwerte Vp lot 1 16 2 23 3 12 4 19 5 25 63

Das arithmetische Mittel in SPSS Das arithmetische Mittel über das Menu berechnen • Analysieren > Deskriptive Statistik… • Variable auswählen • OK 02_grundbegriffe_kennwerte 64

Das arithmetische Mittel in SPSS Das arithmetische Mittel über den Syntax berechnen descriptives lot. oder descriptives lot /statistic mean. oder descriptives age, lot, stat_k /statistic mean. oder frequency age, lot, stat_k /format notable /statistic mean. 02_grundbegriffe_kennwerte 65

Das arithmetische Mittel in SPSS Das arithmetische Mittel– SPSS Ausgabe frequency age, stat_k, lot /format notable /statistic mean. descriptives age, stat_k, lot /statistic mean. 02_grundbegriffe_kennwerte 66

Vergleich der Maße der Zentralen Tendenz frequencies age, freiburg /format notable /statistics modus median mean. • • • Alter: Mittelwert > Median > Modus Einstellung zu Freiburg: Modus > Median > Mittelwert Warum? 02_grundbegriffe_kennwerte 67

Vergleich der Maße der Zentralen Tendenz 02_grundbegriffe_kennwerte 68

Vergleich der Maße der Zentralen Tendenz 02_grundbegriffe_kennwerte 69

Das gewichtete arithmetische Mittel (GAM) • Problem: Wie berechnet man das arithmetische Mittel, wenn man nur Mittelwerte aus verschiedenen Gruppen kennt? • Beispiel: Die Studienmotivation von Psychologiestudierenden des 1. Semesters soll bestimmt werden. Ein Fragebogen wird in den drei Tutorien vorgegeben. Die Tutorinnen melden folgende Ergebnisse zurück: – Gruppe 1: M = 12 – Gruppe 2: M = 10 – Gruppe 3: M = 8 • Wichtig: Die Gruppengrößen müssen beachtet werden! 02_grundbegriffe_kennwerte 70

Das gewichtete arithmetische Mittel (GAM) Berechnung: Gruppe 1: M=12; N=50 Gruppe 2: M=10; N=20; Gruppe 3: M=8; N=10; 02_grundbegriffe_kennwerte 71

Zusammenfassung: Maße der zentralen Tendenz • Eine einfache Form der Zusammenfassung ist die Darstellung der Häufigkeiten oder Prozente. • Der Modalwert ist der Wert einer Verteilung, der am häufigsten vorkommt. • Der Median ist der Wert, der eine Stichprobe in die oberen 50% und unteren 50% aufteilt. • Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte. • Die Maße der zentralen Tendenz lassen auch Rückschlüsse auf die Verteilungsform zu. • Sollen Mittelwerte aus Mittelwerten berechnet werden, müssen die Gruppengrößen berücksichtigt werden (GAM). 02_grundbegriffe_kennwerte 72

Maße der Dispersion • Die Maße der zentralen Tendenz geben Auskunft über die „Mitte“ einer Verteilung. • Maße der Dispersion beziehen sie dagegen auf die „Variabilität“ einer Verteilung, d. h. darauf, wie sehr sich die Werte unterscheiden. • Beispiel: Schulnoten in zwei Klassen – Gruppe 1: 3, 3, 3, 3 – Gruppe 2: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5 – Modalwert (=3), Median (=3) und Mittelwert (=3) unterscheiden nicht zwischen beiden Gruppen! – Dennoch gibt es natürlich Unterschiede zwischen den Verteilungen. 02_grundbegriffe_kennwerte 73

Maße der Dispersion: • Spannweite • Interquartilabstand • Varianz • Standardabweichung • Schiefe, Exzess 02_grundbegriffe_kennwerte 74

Spannweite (Range) • Die Spannweite wird auch als Variationsbreite oder Range bezeichnet. • Unterschiedliche Definitionen für kontinuierliche und diskrete Variablen: – Für kontinuierliche Variablen: Range = maximaler Wert – minimaler Wert. – Für diskrete Variablen: Range = maximaler Wert – minimaler Wert +1 (bzw. : Range = Anzahl der Kategorien) • Bewertung – Eher geringe Aussagekraft über die Verteilung, da nur 2 Werte berücksichtigt werden (der Kleinste und der Größte) – Hohe Empfindlichkeit gegenüber Ausreißerwerten. 02_grundbegriffe_kennwerte 75

Spannweite (Range) Beispiel: Wie groß ist der „Range“? Minimum Maximum Range Geschlecht 1 2 2 Alter 18 49 31 Bundesland 1 11 11 Kenntnisse „Freiburg“ 5 90 85 02_grundbegriffe_kennwerte 76

Spannweite (Range) • In SPSS kann der Range über den Befehl „Häufigkeiten“ ausgegeben werden. – Anwählen: Statistiken > Spannweite • Syntax: frequency age, stat_k, lot /format notable /statistic range. • Achtung: SPSS verwendet immer die Formel für kontinuierliche Variablen! 02_grundbegriffe_kennwerte 77

Interquartilabstand • Als Quartilgrenzen werden die drei Punkte einer Verteilung bezeichnet, welche die geordnete Liste von Werten in vier Bereiche mit jeweils 25% der Stichprobe einteilen. – 25% (1. QG) 25% (2. QG) 25% (3. QG) 25% • Die 2. Quartilgrenze entspricht damit dem Median • Beispiel: In einem Assessment-Center erhalten die 12 Teilnehmer folgende Gesamtbeurteilungen (Max. 50 Punkte möglich): – 24, 28, 30, 31, 34, 35, 36, 37, 41, 42, 43 Q 1=30. 5 02_grundbegriffe_kennwerte Q 2=35. 5 Q 3=39 78

Interquartilabstand • Der Abstand zwischen dem 1. und dem 3. Quartil wird als „Interquartilabstand“ bezeichnet. • Es ist ein Maß für den „Kernbereich“ einer Verteilung. • Im Interquartilbereich liegen 50% der Stichprobe. • Berechnung: IQA = Q 3 – Q 1 – IQA = 39 – 30. 5 = 8. 5 • Vorteil: Der IQA ist weniger anfällig gegenüber Ausreißern als die Spannweite. • Voraussetzung für die Bildung von Quartilen ist ein Ordinalskalenniveau. 02_grundbegriffe_kennwerte 79

Interquartilabstand • In SPSS kann man sich die Quartilgrenzen mit dem Befehl „Häufigkeiten“ ausgeben lassen: • Im Menu „Analysieren > Deskriptive Statistiken > Häufigkeiten“ aufrufen. • Dann unter Statistiken „Quartile“ auswählen. 02_grundbegriffe_kennwerte 80

Interquartilabstand • In der Syntax: frequency age, stat_k, lot /format notable /percentiles 25, 50, 75. • Perzentile sind „hundertstel“ der Verteilung • 25 Hundertstel entsprechen 1 Viertel – 1. Qurtil = Perzentil 25 – 2. Quartil = Perzentil 50 – 3. Quartil = Perzentil 75 02_grundbegriffe_kennwerte 81

Interquartilabstand • SPSS Ausgabe: • IQA = 26. 5 – 20. 0 = 6. 5 02_grundbegriffe_kennwerte 82

Zentrale Momente • Als zentrales Moment wird der Abstand der Messwerte vom Mittelwert bezeichnet. • Dabei unterscheidet man verschiedene „Ordnungen“: – Zentrales Moment 1. Ordnung: – Zentrales Moment 2. Ordnung: „Varianz“ – Zentrales Moment 3. Ordnung: „Schiefe“ – Zentrales Moment 4. Ordnung: „Exzess“ 02_grundbegriffe_kennwerte 83

Varianz • Das wichtigste Maß für die Dispersion ist die Varianz. • Bei der Berechnung der Varianz wird jeder einzelne Wert berücksichtigt. • Die Varianz gibt an, wie weit jede individuelle Merkmalsausprägung vom Mittelwert der Verteilung entfernt ist. • Dabei wird die Summe des zentralen Moments 2. Ordnung über alle Probanden einer Stichprobe durch die Anzahl der Probanden dividiert: • Voraussetzung für die Berechnung der Varianz ist Intervallskalenniveau. 02_grundbegriffe_kennwerte 84

Varianz Beispiel: Berechnung der Varianz für folgende Variable: Vp 1 2 3 4 5 x 4 2 2 2 5 x-M (x-M)² 1 1 -1 1 2 4 1. Berechnen Sie den Mittelwert 2. Bilden Sie für jede Merkmalsausprägung die Differenz zum Mittelwert 3. Quadrieren Sie die Differenzen 4. Bilden Sie die Summe 5. Teilen Sie die Summe durch N 02_grundbegriffe_kennwerte 85

Varianz in der Stichprobe und in der Population • Die Formel für die Varianz, die wir bisher kennengelernt haben, gilt für die Berechnung der Varianz in einer Stichprobe. • In aller Regel will man etwas über die Varianz eines Merkmals in der gesamten Population erfahren. • Die Varianz ist aber kein „erwartungstreuer Schätzer“, d. h. wenn man viele Stichproben untersucht, dann entspricht der Mittelwert der Varianzen dieser Stichproben nicht der Varianz der gesamten Population. • Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz. • Diese Abweichung ist umso stärker, je kleiner die Stichprobe ist. 02_grundbegriffe_kennwerte 86

Varianz in der Population • Die Formel für die Populationsvarianz korrigiert die Unterschätzung der Varianz in der Stichprobe: • Unterschiede zu der Formel für s²: – Wir verwenden nun ein griechisches Sigma (statt s), um zu verdeutlichen, dass wir uns auf die Population beziehen. – Das ^ wird verwendet, um zu zeigen, dass die Populationsvarianz nur geschätzt werden kann. – Im Nenner steht N-1 (statt N). Dadurch wird das Ergebnis der Formel etwas größer. 02_grundbegriffe_kennwerte 87

Varianz Zurück zum Beispiel: • Stichprobenvarianz: • Populationsschätzer: 02_grundbegriffe_kennwerte 88

Standardabweichung • Die Varianz ist durch die Bildung der Quadrate schwer zu interpretieren. • Daher wird aus ihr oft die Standardabweichung berechnet, indem wieder die Quadratwurzel aus der Varianz gezogen wird. • Voraussetzung für die Berechnung der Standardabweichung ist wiederum Intervallskalenniveau. 02_grundbegriffe_kennwerte 89

Standardabweichung • In der Stichprobe: • Populationsschätzer: 02_grundbegriffe_kennwerte 90

Schiefe • Zusätzliche Information über die Form einer Verteilung liefert die Schiefe. • Man unterscheidet 02_grundbegriffe_kennwerte 91

Schiefe • Die Schiefe wird aus dem zentralen Moment 3. Ordnung berechnet: • Es gilt dabei: – a 3<0 rechtssteile Verteilung – a 3=0 symmetrische Verteilung – a 3>0 linkssteile Verteilung 02_grundbegriffe_kennwerte 92

Exzess (Kurtosis) • Weitere Information über die Form einer Verteilung liefert der Exzess (Kurtosis). • Man unterscheidet 02_grundbegriffe_kennwerte 93

Exzess (Kurtosis) • Der Exzess wird aus dem zentralen Moment 4. Ordnung berechnet: • Es gilt dabei: – a 4<0 breitgipflige Verteilung – a 4=0 „Normalverteilung“ – a 4>0 schmalgipflige Verteilung 02_grundbegriffe_kennwerte 94

Kennwerte in SPSS • Varianz, Standardabweichung, Schiefe und Exzess können in SPSS über die Befehle „Häufigkeiten“ oder „Deskriptive Statistiken“ berechnet werden. • Syntax für den Befehl Häufigkeiten: frequencies freiburg psycho stat /format notable /statistic mean variance stddev skewness kurtosis. frequencies freiburg_k psycho_k stat_k /format notable /statistic mean variance stddev skewness kurtosis. 02_grundbegriffe_kennwerte 95

Kennwerte in SPSS Ausgabe: 02_grundbegriffe_kennwerte 96

Kennwerte und Skalenniveaus Maß Skalenniveau mindestens: Häufigkeit / Prozente Nominal Modalwert Nominal Median Ordinal Quartile Ordinal Arithmetisches Mittel Intervall Varianz Intervall Standardabweichung Intervall Schiefe Intervall Exzess Intervall 02_grundbegriffe_kennwerte 97

Zusammenfassung Dispersionsmaße • Wichtige Maße der Dispersion sind der Range, der Interquartilabstand, die Varianz und die Standardabweichung. • Bei Varianz und Standardabweichung muss beachtet werden, ob ein Maß für die Stichprobe oder für eine Population berechnet wird. • Weiteren Aufschluss über die exakte Verteilungsform liefern die Schiefe und der Exzess. • Bei der Berechnung statistischer Kennwerte muss beachtet werden, ob das entsprechende Skalenniveau gegeben ist. 02_grundbegriffe_kennwerte 98