Grfok s geometria Lovsz Lszl ELTE TTK Szmtgptudomnyi

Gráfok és geometria Lovász László ELTE TTK Számítógéptudományi Tanszék

Síkgráfok és egyenes szakaszok síkgráf Minden síkgráf egyenes élekkel is lerajzolható a síkban Fáry-Wagner

Síkgráfok és poliéderek 3 -szorosan összefüggő síkgráf Minden 3 -szorosan összefüggő síkgráf ábrázolható, mint egy konvex poliéder élhálója. Steinitz 1922

Síkgráfok és poliéderek Megforditás:

Síkgráfok szinezése 2 színnel I. Sarok: Minden sarkot hozzá lehet rendelni vagy a lapjához, vagy a csúcsához úgy, hogy minden lap 2 sarkot kap és minden csúcs legfeljebb 2 sarkot kap.

Síkgráfok szinezése 2 színnel I. kék sarok lap fehér sarok csúcs

Síkgráfok szinezése 2 színnel I. Sarok: Minden sarkot hozzá lehet rendelni vagy a lapjához, vagy a csúcsához úgy, hogy minden lap 2 sarkot kap és minden csúcs legfeljebb 2 sarkot kap. Euler-formula:

Síkgráfok szinezése 2 színnel II. Ha egy síkgráf éleit pirossal és kékkel szinezzük, akkor mindig van olyan csúcs, melyben a piros élek ill. a kék élek egymás után következnek.

Síkgráfok szinezése 2 színnel II.

Síkgráfok szinezése 2 színnel II. Ha egy síkgráf éleit pirossal és kékkel szinezzük, akkor mindig van olyan csúcs, melyben a piros élek ill. a kék élek egymás után következnek. Feltehetjük, hogy minden lap Minden lapon legfeljebb 2 valtósarok Minden csúcsban legalább 4 váltósarok Ellentmondás: Euler Formula!

Poliéderek merevsége Ha egy konvex poliéder lapjai merev sokszögek, és csak az élei mentén hajlítható, akkor merev. Cauchy élszög csökken élszög nő

Síkgráfok szinezése 2 színnel III. Minden síkgráf csúcsai kiszinezhetők pirossal és kékkel úgy, hogy minden lapon mindkét színű csúcs előforduljon. (szorgalmi feladat)

Gumiszalagok és síkgráfok G: 3 -szorosan összefüggő síkgráf külső lap: konvex sokszög élek: gumiszalagok Energia: Egyensúly:

Gumiszalagok és síkgráfok G 3 -szorosan összefüggő síkgráf a gumiszalagos reprezentáció beágyazást ad. Tutte Polinomiális időben könnyen számolható Demo! Steinitz reprezentációvá emelhető, ha a külső lap háromszög Maxwell-Cremona

Érintő kör reprezentáció

Érintő kör reprezentáció

Érintő kör reprezentáció Minden síkgráf reprezentálható érintő körökkel. Demo! Koebe

Síkgráfok és poliéderek 3 -szorosan összefüggő síkgráf Minden 3 -szorosan összefüggő síkgráf ábrázolható, mint egy konvex poliéder élhálója. Steinitz 1922

Síkgráfok és érintőpoliéderek Minden 3 -szorosan összefüggő síkgráf reprezentálható egy érintőpoliéder élhálójaként. Andre’ev

Síkgráfok és érintőpoliéderek Poliéderekből körrendszer horizont

Síkgráfok és érintőpoliéderek Poliéderekből duális körrendszer

Konvex lemez reprezentáció Ha K sima határú centrálszimmetrikus konvex lemez, akkor minden síkgráf reprezentálható K homotetikus példányaival. Schramm

Négyzet reprezentáció

Minden síkgráf, melyben a külső lap négyszög, a többi lap háromszög, reprezentálható téglalapot kitöltő négyzetekkel. Schramm

10 3 9 3 4 1 2 9 3 2 2 5 3 10

Gráfok és téglalapok kitöltése négyzetekkel 3 3 4 1 2 3 2 2 Demo! 3 5 Brooks-Smith-Stone-Tutte