GRFICAS Y FUNCIONES U D 12 3 ESO

GRÁFICAS Y FUNCIONES U. D. 12 * 3º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

CORTES CON EJES Y CONTINUIDAD U. D. 12. 7 * 3º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

Cortes con los ejes • CORTE DE UNA FUNCIÓN CON EL EJE DE ORDENADAS • Hacemos x=0, y calculamos f (0) • El punto Pc(0, f(0)) será el corte con el eje de ordenadas. • CORTE DE UNA FUNCIÓN CON EL EJE DE ABCISAS • Hacemos f(x)=0 Y resolvemos la ecuación que resulte. • Si la ecuación es lineal ( m. x+n = 0) habrá un punto de corte. • Si la ecuación es cuadrática ( a. x 2+b. x+c = 0 ) habrá dos puntos de corte con el eje de abscisas, Pc(x 1, 0) y Pc(x 2 , 0) si tiene solución. • Si la ecuación es cúbica ( a. x 3+b. x 2+c. x+d = 0 ) habrá uno o tres puntos de corte con el eje de abscisas, nunca dos. • Si la ecuación es inversa para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas, si los hay, igualamos el numerador a 0. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

Ejemplo 1 • Sea f(x) = 5. x – 7 • Hallar los cortes con los ejes. y • Con OY, eje de ordenadas • x=0 f(0) = 5. 0 – 7 = – 7 • Pc(0, – 7) 0 • • • Con OY, eje de abscisas f(x)=0 5. x – 7 = 0 Ecuación que resolvemos: 5. x = 7 / 5 = 1, 4 El punto de corte es: Pc(1, 4 , 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1 2 x – 7 4

Ejemplo 2 • Sea f(x) = x 2 – 3. x + 2 • Hallar los cortes con los ejes. y 2 • Con OY, eje de ordenadas • x=0 f(0) = 02 – 3. 0 + 2 = 2 • Pc(0, 2) • • Con OY, eje de abscisas f(x)=0 x 2 – 3. x + 2 = 0 Ecuación que resolvemos: x = [3+/- √(9 – 8)]/2 = (3 +/- 1) / 2 = x 1 = 4 / 2 = 2 y x 2 = 2 / 2 = 1 Los puntos de corte son: Pc(1 , 0) y Pc (2 , 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 0 1 2 x 5

Ejemplo 3 • Sea f(x) = x 3 – 9. x • Hallar los cortes con los ejes. y • Con OY, eje de ordenadas • x=0 f(0) = 03 – 9. 0 = 0 • Pc(0, 0) • • Con OY, eje de abscisas – 3 f(x)=0 x 3 – 9. x = 0 Ecuación que resolvemos: x. (x 2 – 9) = 0 x. (x + 3). (x – 3) = 0 Los puntos de corte son: Pc(– 3 , 0) , Pc (0 , 0) y Pc(3 , 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 0 3 x 6

Ejemplo 4 • Sea f(x) = (x – 4) / (x + 2) • Hallar los cortes con los ejes. • Con OY, eje de ordenadas • x=0 f(0) = (0 – 4)/(0+2) = – 2 • Pc(0, – 2) • • Con OY, eje de abscisas Igualamos a 0 el numerador. f(x)=0 x – 4 = 0 Ecuación que resolvemos: x=4 El punto de corte es: Pc(4 , 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO y 0 4 x -2 7

Continuidad de funciones • • Gráficamente podemos decir que es una función continua cuando podemos dibujarla sin necesidad de levantar el lápiz del papel, o sea de un solo trazo, aunque esté compuesta de numerosos segmentos. En caso contrario son funciones discontinuas: 2 0 0 1 @ Angel Prieto Benito 3 2 3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Funciones continuas Función LINEAL Función CUADRÁTICA Función CÚBICA Función COMPUESTA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

Funciones discontinuas Función COMPUESTA 2 0 En x=0 presenta una discontinuidad, pues pasa de valer – 4 a valer 0 @ Angel Prieto Benito Función INVERSA 3 En x=3 presenta una discontinuidad, un salto finito: Pasa de valer 0 a valer 2 En x=2 presenta una discontinuidad Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

FUNCIONES CONTINUAS • Una noria de feria es una función continua. • Gráficamente podemos decir que es una función continua cuando podemos dibujarla sin necesidad de levantar el lápiz del papel, o sea de un solo trazo, aunque esté compuesta de numerosos segmentos. @ Angel Prieto Benito v = 25 km/h 5 mn 10 mn 5 mn P = 25 mn • La forma de transmitirse la electricidad, por ondas, es una función continua. Se llama función senoidal. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

• EJEMPLO_2 • La función senoidal , f(x) = sen x , nos da en todo momento el valor del seno de un ángulo. Es una de las funciones trigonométricas. • Es la forma en la cual se transmite la electricidad. En este proceso la forma de onda se repite cada 360º. En Europa, España incluida, el periodo es de 1 / 50 = 0, 020 segundos. En América, el periodo es de 1 / 60 = 0, 016 segundos, razón por la que no conviene adquirir electrodomésticos americanos que no estén modificados. • La electricidad P = 0, 02 s @ Angel Prieto Benito P = 0, 02 s Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

FUNCIONES DISCONTINUAS 1000 rpm • • • El siguiente ejemplo es de una máquina: Durante 10 mn su velocidad va aumentando. Pero a los 10 mn alcanza tal temperatura que se detiene bruscamente. Tras 5 mn de parada, vuelve a funcionar. En los puntos en que cae bruscamente su velocidad decimos que presenta una discontinuidad. @ Angel Prieto Benito 500 rpm 10 mn • • 10 mn Su expresión algébrica es: • • 5 mn F(x) = 100. x si 0 < x < 10 0 si 10 < x < 15 100. x - 1500 si 15 ≤ x < 25 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

Otro ejemplo de función discontinua • La esperanza de vida (edad media) que puede alcanzar una persona en un determinado país es una función discontinua. y = f(x) 80 años 75 años 73 años 70 años x 1900 @ Angel Prieto Benito 1915 1930 1945 1960 1975 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1990 2005 14