GramSchmidt Yntemi Ortonormal vektrler kolaylk saladna gre verilen

Gram-Schmidt Yöntemi Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal vektörlere dönüştürebilir miyiz? Lineer özelikleri ne? bağımsız verilmiş olsun, nasıl ‘ları elde ederiz Kolay olan q 1’i bulmak: q 2, q 1’e dik olmalı: Doğrultusu v 1 ile aynı, boyu da 1 Bu neye karşı düşüyor? V 2’nin q 1 Peki, neden çıkarıyoruz doğrultusunda ki bileşenine

Ancak ortonormal vektörler kümesine katılması için boyunun 1 olması gerek q 1, q 2 var q 3’ü oluşturalım: Diklik sağlandı birim olma da sağlanmalı

Benzer şekilde…. .

Hep Rn’ deydik fonksiyon uzayında neler oluyor acaba? Önce R∞ ’a dikkat edelim: Nasıl vektörlerden oluşuyor? Sonsuz bileşenli vektörlerden özel olarak boyu sonlu olanlar ile ilgileneceğiz….

Boyutu sonsuz olup da boyu sonlu olan vektörlerin oluşturduğu vektör uzayı …. . Özellikle de ilgilendiğimiz uzayın elemanları [a, b] aralığında tanımlı fonksiyonlar olsun…. Bu vektörlerin boyunu belirtmek için öncelikle bir norm tanımlayalım: Bir de iç çarpım tanımlayalım…. .

Böylece tanımladığımız norm ve iç çarpım, iç çarpım ve normdan beklediğimiz her şeyi sağlıyor Acaba sonsuz boyutlu fonksiyonlar uzayında sinx ve cos x’den yararlanarak bir baz tanımlanabilinir mi? Bu durumda fonksiyonlar aralığında tanımlı sin(kx)’ler ve cos(kx)’ler olsun k=0, 1, 2, 3, …. . Önce norm tanımına bakalım…. .

Sonra da iç çarpım tanımına…… Bunlara bakarak ne önerebilirsiniz……. .

Fourier Serisi Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 -1830) periyotlu bir fonksiyon olsun Nasıl belirleriz?

Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık…. . V vektör uzayının ortonormal qi vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. ise şeklinde yazılır Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak 1 0 0 ‘leri biliyorsak Ortonormal baz!!!

ortonormal bazları biliyoruz…. . b 1 ‘i bulmak için ne önerirsiniz? 0 0 0

sinüs ve cosinüs’den başka fonksiyonlar yok mu? Mesela 1, x, x 2 bu çok terimliler ile de ortonormal baz tanımlayabilir miyiz? Lineer bağımsızlar ancak ortogonal oldukları bir aralık yok Nedir bu yol? Ama ortogonal kılmanın bir yolunu biliyoruz Gram-Schmidt aralık [-1, 1] ve v 1 =1 olsun Neden bu aralık?

Gram-Schmidt’i uygulayalım Ortonormaller mi? Legendre çokterimlilerini elde etmiş olduk 1752 -1833

Spektral Teori Spectrum: Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl dönüşümlerle ilişkisini inceler. Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori lineer Bu durumda dönüşümü nasıl ifade ediyoruz? Bu ifade neye bağlı?

Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir? http: //en. wikipedia. org/wiki/Eigenvector#Examples_in_the_plane

Lineer Operatör lineer operatördür Hatırlatma bir vektör uzayıdır aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır. Teorem Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı NU 12 lineer operatördür bir vektör uzayıdır

Hatırlatma Teorem Ters Operatör NU 13 lineer operatördür vardır varsa, lineer operatördür Sınırlı Lineer Operatör lineer operatör sınırlı operatördür

Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme olmak üzere, (1) olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan Bu eşitliği daha önce nerede görmüştünüz? Anlamı nedir? matrisine ilişkin özdeğerdir. ‘ya ilişkin vektörü özvektördür. özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü ‘nın özdeğerine ilişkin karakteristik uzayını oluşturur. ‘nın tüm özdeğerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nın spektrumudur. Spektrumun ‘ye göre tümleyeni olan , ‘nın çözücü kümesidir. Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk? x Hangi uzayın elemanı? Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır.

Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer operatöre nasıl uygulayacağız? Teorem ST 1 lineer ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Tanıt Herhangi iki baz

Nasıl bir matris? Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler olsun

Göstermemiz gereken neydi? ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır. Özdeğerleri hesaplayalım Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz? ? ? Teorem ST 2 Lineer operatörünün en az bir özdeğeri vardır.

Boyut sonlu değilse lineer Kompleks bir sayı ‘de birim operator ‘nın tersi varsa Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum lineer ‘nin olağan değeri kompleks bir sayıdır var sınırlı ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı ‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu kümesi ‘nin çözücü kümesidi

Çözücü kümenin tümleyeni , ‘nin spektrumudur. ‘nin spektral değeridir. spektrum üç ayrık kümeye ayrılır: ayrık spektrum yok ve sürekli spektrum artık spektrum ‘nin öz değerleridir. ‘de yoğun küme. var ve var ancak ‘de yoğun küme değil. Teorem Ters Operatör NU 13 lineer operatördür Hatırlatma vardır varsa, lineer operatördür varsa lineerdir

Teorem ST 3 ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı Lineer operatör ve tüm Banach ve Teorem ST 4 Teorem ST 5 kapalı, sınırlı ‘de tanımlı ve sınırlı, lineer operatör Tüm ‘de sınırlı, lineer operatör olarak vardır ve açık kümedir vardır ve kapalı kümedir

Teorem ST 6 ‘nin gösterimi Bu gösterim, kompleks düzlemde Çemberindeki her için yakınsaktır ve bu çember ‘nın alt kümesidir.