Grafov algoritmy minimlna kostra najkratie cesty 2 o

Grafové algoritmy: minimálna kostra, najkratšie cesty

2 Čo máme v pláne ? 2 problémy a algoritmy na ich riešenie: boli motivované potrebami praxe formulácia v „reči“ ohodnotených grafov jednoduché riešenia zložitejšie dôkazy, že algoritmy naozaj fungujú Problém minimálnej kostry Nájdenie najkratších ciest v grafe

3 S čím budeme pracovať ? Neorientovaný graf bez násobných hrán a slučiek Ku každej hrane e grafu bude priradené kladné číslo w(e): váha hrany (cena hrany, ohodnotenie hrany) Graf je súvislý “Alternatívny pohľad”: “guličky a čiary”, nad čiarami budú napísané čísla neorientovaný = budeme používať čiary a nie šípky (tak ako na minulej prednáške)

4 Príklad (a možné interpretácie)

5 Interpretácie v reálnom svete Príklad 1: Vrcholy = mestá Hrany = priame cesty medzi mestami Váha hrany = dĺžka priamej cesty Príklad 2: Vrcholy = elektrické rozvodne Hrany = elektrické vedenie medzi rozvodňami Váha hrany = cena za rekonštrukciu vedenia

6 Ako reprezentovať ohodnotený graf ? Zoznam hrán + ku každej hrane pridáme váhu: [A, B, 7], [B, C, 8], …. Matica susednosti: 2 -rozmerné pole intov (resp. doublov): mapa n x n, kde n je počet vrcholov grafu (“miest”) políčko mapa[X][Y] obsahuje váhu hrany medzi vrcholmi X a Y -1 ak hrana neexistuje mapa[A][B] = 7, mapa[B][A] = 7, mapa[B][C] = 8, … A veľa iných spôsobov. . .

7 Graf v poli (matica susednosti) … A B C D E F G A -1 7 -1 5 -1 -1 -1 B 7 -1 8 9 7 -1 -1 C -1 8 -1 -1 5 -1 -1 D 5 9 -1 -1 15 6 -1 E -1 7 5 15 -1 8 9 F -1 -1 -1 6 8 -1 11 G -1 -1 9 11 -1 V reálnom programe vrcholy nebude označovať písmenami, ale číslami, aby sme označenie vrcholu použili ako indexy do poľa

8 Graf ako objekt Ako znalý objektového programovania v Jave a kolekcií, si môžeme vytvoriť triedu Graph, ktorá by reprezentovala graf (množina vrcholov + množina hrán) Vrchol reprezentovaný ako objekt triedy Vertex Hrana reprezentovaná ako objekt triedy Edge Očakávané metódy triedy Graph: public Set<Vertex> get. Vertices() vráti množinu vrcholov, ktoré tvoria graf public Set<Edge> get. Edges() vráti množinu hrán, ktoré tvoria graf

9 Problém minimálnej kostry – motivácia Uvažujme dopravnú sieť Máme nejaké peniaze z EÚ na výstavbu diaľníc Ktoré cesty máme prerobiť na diaľnice, aby existovalo (nie nutne priame) spojenie medzi každými 2 mestami výhradne po diaľniciach a pritom aby sme minuli, čo najmenej Vstup: pre každý úsek spájajúci 2 mestá náklady na jeho prestavbu na diaľnicu

10 Iné praktické motivácie Telefónna sieť: ktoré linky prebudovať na optické, aby bolo možné presmerovať všetky hovory po optických linkách a chceme pritom minúť čo najmenej ? Algoritmus na riešenie ako prvý navrhol v roku 1926 Otakar Borůvka, keď riešil problém efektívnej konštrukcie elektrickej siete na Morave

11 Čo je kostra grafu ? Kostra grafu je taká podmnožina T hrán grafu G, že platí: 1. Medzi každými 2 vrcholmi grafu existuje cesta využívajúca len hrany kostry T 2. Odobratím ľubovoľnej hrany kostry už vlastnosť 1 nebude platiť „Kostra“ sú hrany, ktoré graf „držia po kope“

12 Vlastnosti kostier (bez dôkazu) Graf môže mať veľa kostier Každá kostra grafu s n vrcholmi má práve n-1 hrán Hrany kostry nevytvárajú cyklus Pridanie ľubovoľnej nekostrovej hrany ku kostre vytvorí cyklus Medzi každými 2 vrcholmi grafu existuje jediná cesta využívajúca len kostrové hrany Minimálna kostra: taká kostra, v ktorej súčet ohodnotení (váh) hrán je minimálny spomedzi všetkých možných kostier grafu

13 Algoritmus na nájdenie minimálnej kostry: Kruskalov algoritmus 1. Utriedime vzostupne hrany grafu podľa váhy: e 1, e 2, e 3, …, em tak, že w(e 1) <= w(e 2) <= w(e 3) <= …, <= w(em) 2. Množina hrán kostry T = {} 3. Postupne skúšame hranu ei pre i = 1. . m Ak T + ei neobsahuje cyklus, tak do množiny hrán kostry T pridáme hranu ei

14 A 7 5 8 B 5 7 9 15 D C E 8 9 6 F Červené sú hrany vybrané do vytváranej kostry. 11 G

15 Ako to naprogramovať ? Problémy: Utriediť hrany podľa váh (Quick. Sort, Heap. Sort) Zistiť, či po pridaní hrany ei k aktuálne vybraným hranám kostry T vznikne cyklus Pozorovanie: Cyklus po pridaní hrany ei = {X, Y} vznikne práve vtedy, keď medzi vrcholmi X a Y už existuje cesta po vybraných kostrových hranách Počas algoritmu vznikajú skupiny vrcholov, ktoré sú prepojené kostrovými hranami: „ostrovčeky súvislosti” (komponenty) vzhľadom na hrany vytváranej kostry T

16 “Komponenty súvislosti” Pozorovanie vlastností komponentov: Medzi vrcholmi X a Y existuje cesta po aktuálnych kostrových hranách, ak patria rovnakým komponentom Pridaním hrany ei = {X, Y}, kde X a Y sú v rôznych komponentoch, sa tieto komponenty „zlúčia“ Ako efektívne zistiť, že vrcholy sú v rovnakom komponente ?

17 “Komponenty súvislosti” 2 Pre každý vrchol budeme udržiavať “identifikátor“ komponentu, do ktorého patrí Porovnaním „identifikátorov“ vieme rýchlo zistiť, či sú v rovnakom alebo rôznom komponente Na začiatku je vrchol i v komponente s identifikátorom i Ak sa 2 komponenty (pridaním hrany) zlúčia, tak všetkým vrcholom jedného z komponentom nastavíme identifikátor druhého komponentu

18 Programujeme. . .

19 Prečo to funguje ? (Dôkaz sporom) Nech T je kostra vypočítaná algoritmom a Y je nejaká minimálna kostra, ktorá má s kostrou T najviac spoločných hrán Keďže T je rôzne od Y existuje taká hrana z T, ktorá nepatrí do Y a naopak (pretože T aj Y majú presne n-1 hrán) Nech e je prvá hrana vybraná algoritmom do kostry T, ktorá nie je v Y Y+e vytvára cyklus (viď tvrdenia o kostrách), ktorý musí obsahovať nejakú hranu f, ktorá nie je z T (inak by cyklus už existoval v T, čo nie je možné) Y+e–f je opäť kostra, ale keďže Y je najlacnejšia, musí platiť, že w(e) > w(f) w(e) = w(f) nemôže platiť, lebo potom Y+e-f by bola kostra s minimálnou cenou, ktorá má viac spoločných hrán s T ako Y

20 Prečo to funguje ? (Pokračovanie) Keďže w(e) > w(f) v algoritme spracovali hranu f pred hranou e Pripomenutie: e je prvá hrana zaradená do T, ktorá nie je v Y f je hrana okrem iného hrana z Y, ktorá nie je v T Keďže sme f nezaradili do T musela vytvárať cyklus s hranami, ktoré boli dovtedy vybrané do T, čo sú zároveň hrany z Y (viď pripomenutie) Teda už časť hrán z Y spolu s f vytvára cyklus, čo je spor s tým, že Y je kostra (t. j. neobsahuje žiaden cyklus)

21 Zložité otázky o zložitosti. . . m hrán, n vrcholov Utriedenie hrán: O(m log m) Nájdenie kostry: O(m) + O(n 2) Spracovanie jednej z m hrán stojí čas O(1) Zlúčenie komponentov stojí čas O(n), ale to vykonávame iba n-1 krát Celková časová zložitosť O(n 2 + m log m) Chytrejšie implementácie: O(m log n)

22 Najkratšie cesty v grafe – motivácia Mapa s informáciami o priamych cestách (spojniciach) medzi mestami Hľadáme najkratšiu (najrýchlejšiu, najlacnejšiu) cestu medzi 2 mestami Aplikácie: Google. Maps, GPS + navigátor, . . .

23 Mať orientáciu sa oplatí Orientované grafy sú niekedy lepšie na modelovanie reálnej situácie: Cesta z A do B (do kopca) trvá 1 hodiny Cesta z B do A (z kopca) trvá 45 minút Orientovaný ohodnotený graf: Hrany majú svoj smer Medzi 2 vrcholmi najviac 2 hrany: každá má iný smer „guličky + šípky, nad ktorými sú čísla“ Reprezentácia: Matica susednosti nemusí byť symetrická (mapa[A][B] = 60, mapa[B][A] = 45)

24 Dijkstrov algoritmus 1959, Edsger Dijkstra (Holandsko) Vstup: ohodnotený orientovaný/neorientovaný graf G s kladnými ohodnoteniami hrán vrchol v grafu G Výstup: pre každý vrchol w dĺžka najkratšej cesty z vrcholu v do vrcholu w informácia na zrekonštruovanie najkratších ciest

25 Princíp algoritmu Počas výpočtu si udržiavame: Množinu vrcholov S, do ktorých sa podarilo definitívne vypočítať dĺžku najkratšej cesty zo štartovacieho vrcholu v Pre každý vrchol w dĺžku najkratšej cesty d[w] z vrcholu v do vrcholu w, ktorá vedie len cez vrcholy z množiny S Iniciálne: S = prázdna množina d[w] = nekonečno (budeme reprezentovať ako zápornú hodnotu), pre všetky w z V-{v} d[v] = 0

26 Dijkstrov algoritmus Kým existuje vrchol x z V-S taký, že d[x] nie je nekonečno: 1. Vyber vrchol u z V-S taký, že d[u] je minimálne 2. Pridaj u do množiny S 3. Pre každý vrchol w z V-S skúsime zlepšiť d[w] pomocou cesty prichádzajúcej z u: Ak d[w] > d[u] + w((u, w)), tak d[w] = d[u] + w((u, w))

27 Simulácie a vizualizácie algoritmu http: //cam. zcu. cz/~rkuzel/aplety/Dijkstra. html http: //www. cs. auckland. ac. nz/software/Alg. Anim/ dijkstra. html http: //www. unf. edu/~wkloster/foundations/Dijkstr a. Applet/Dijkstra. Applet. htm

28 Programujeme. . .

29 Prečo to funguje ? (Náznak/Bonus) Kľúčové pozorovanie: Ak (v, v 1, v 2, v 3, …, x, …, w) je najkratšia cesta z v do w, potom (v, v 1, v 2, v 3, …, x) je najkratšia cesta z v do x Pre formálny dôkaz treba ukázať: Ak zaradíme nejaký vrchol u do S, tak naozaj hodnota d[u] obsahuje dĺžku najkratšej cesty z vrcholu v do vrcholu u Platnosť invariantov (tvrdenia platiace vždy keď prechádzame istým miestom programu)

30 Zložitosť algoritmu Každý vrchol (z n vrcholov) je zaradený do S najviac raz: Výber prvku u z minimálnym d[u] : O(n) Zlepšenie d[w] cez vrchol u: O(n) Celková časová zložitosť: O(n 2) Úloha na cvičenia: Algoritmus nájde dĺžku najkratšej cesty z vrcholu v do ostatných vrcholov. Ako zistíme, ako najkratšia cesta vyzerá ?

31 Ďakujem za pozornosť Otázky ? ? ?