Grafos Orientados digrafos CCECMestradoUFES Grafo Orientado ou digrafo

Grafos Orientados (digrafos) CC/EC/Mestrado/UFES

Grafo Orientado ou digrafo • Consiste em um grafo G = (V, A) onde V = {v 1, …, vn} é um conjunto de vértices e A = {a 1, …, ak} é um conjunto de arcos tais que ak, k=1, …, m é representado por um par ordenado (vi, vj) de vértices, i, j = 1, …, n. c e f d CC/EC/Mestrado/UFES

Lista de adjacência 1 2 3 4 5 CC/EC/Mestrado/UFES

Matriz de Adjacência • Seja G = (V, A) • A = (aij), 1 ≤ i, j ≤ n • aij = 1, quando (i, j) A 0, caso contrário CC/EC/Mestrado/UFES

Matriz de Adjacência a a c b b c d d e e a b c d 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 e 1 0 0 CC/EC/Mestrado/UFES

Matriz de Adjacência • Diagonal principal nula: grafos sem laços • Matriz não necessariamente simétrica. • Valores nulos: ausência de arestas • Valores não nulos: presença de arcos CC/EC/Mestrado/UFES

Matriz de Incidência • Seja G = (V, E) • B = (bkl), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m • bkl = 1, quando o vértice k é extremidade inicial do arco l -1, quando o vértice k é extremidade final do arco l 0, caso contrário CC/EC/Mestrado/UFES

Matriz de Incidência (a, b) (a, c) (a, e) (c, b) +1 +1 +1 0 0 -1 0 c 0 -1 0 +1 +1 0 -1 d 0 0 -1 +1 0 e 0 0 -1 0 0 a a c b d e (c, d) (d, b) (e, c) b -1 0 +1 CC/EC/Mestrado/UFES

Relações de adjacência • Em um digrafo G = (X, U), diz-se que y X é sucessor de x X quando existe (x, y) U. Diz-se também que x é antecessor de y. – + (x): conjunto de sucessores de x – - (x): conjunto de antecessores de x CC/EC/Mestrado/UFES

Vizinhança • Vizinho ou vértice adjacente de um vértice x, em um grafo orientado ou não, é todo vértice y que participa de uma ligação (arco ou aresta) com x. x + (x) x - (x) CC/EC/Mestrado/UFES

Vizinhança • Seja A X. Então + (A) = U + (x) , x A a A c b d e Idem para - (A)! CC/EC/Mestrado/UFES

Fechos Transitivos • Conjuntos que representam ligações diretas ou indiretas entre vértices em grafos orientados. • Diz-se que um vértice y é atingível a partir de x em um grafo G quando existe em G uma seqüência de sucessores que começa em x e termina em y. CC/EC/Mestrado/UFES

Fecho Transitivo Direto • ^ + (x): conjunto de vértices de G atingíveis a partir de x CC/EC/Mestrado/UFES

Fecho Transitivo inverso • ^ - (x): conjunto de vértices de G a partir dos quais x é atingível CC/EC/Mestrado/UFES

Incidência • Um arco incide exteriormente em x X se x for extremidade inicial e interiormente se x for extremidade final do arco. • O arco (i, j) é incidente em A X de um grafo G, se ele tem uma e só uma extremidade em um vértice pertencente a A. • (i, j) é incidente a A: interiormente (i A, j A) exteriormente (i A, j A) CC/EC/Mestrado/UFES

Grau de um vértice • Semigrau exterior (d+(x)): número de arcos incidentes exteriormente a x • Semigrau interior (d-(x)): número de arcos incidentes interiormente a x • d(x) = d+(x) + d-(x) • Vértice nulo: d+(x) = d-(x) = 0 CC/EC/Mestrado/UFES

Isomorfismo • Seja G um digrafo e G´ o grafo correspondente sem orientações. • Seja G´ um grafo não orientado. Então G, obtido a partir de G´ definindo-se uma orientação arbitrária de suas arestas é dito digrafo associado a G. CC/EC/Mestrado/UFES

Isomorfismo • Se G é um digrafo e G´ é um grafo não orientado obtido a partir de G: único. • Se G é um grafo não orientado e G´ é orientado, obtido a partir de G: várias possibilidades. CC/EC/Mestrado/UFES

Isomorfismo • Quando dois digrafos G 1 e G 2 são isomorfos? – Os grafos não orientados G 1´ e G 2´ correspondentes a G 1 e G 2 devem ser isomorfos. – As orientações entre as arestas correspondentes devem ser as mesmas. CC/EC/Mestrado/UFES

Alguns tipos de digrafos • Simples: sem laços ou arcos paralelos • Assimétrico: possui no máximo um arco entre cada par de vértices • Simétrico: para cada par de vértices existe um arco em cada direção • Completo simétrico (n(n-1) arcos) • Completo assimétrico (n(n-1)/2 arcos) CC/EC/Mestrado/UFES

Percursos • Percurso simples direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes. Nenhuma aresta aparece mais de uma vez, mas um vértice pode ser repetido. • Caminho direcionado: percurso simples sem repetição de vértices • Circuito: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção. CC/EC/Mestrado/UFES

Conexidade • Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não a direcionado c b d CC/EC/Mestrado/UFES

Conexidade • Grafo semi-fortemente conexo ou sfconexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou a seja, entre eles existe um caminho em ao c b menos um dos dois sentidos possíveis) d CC/EC/Mestrado/UFES

Conexidade • Grafo fortemente conexo ou f-conexo: é um grafo no qual todo par de vértices é mutuamente atingível. Assim, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos a b c • Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado CC/EC/Mestrado/UFES

Níveis de Conexidade CC/EC/Mestrado/UFES

Componentes f-conexas • Atingibilidade recíproca: (simetria) • Todo vértice é atingível a partir de si mesmo: (reflexividade) • Se z é atingível a partir de y é atingível a partir de x então z é atingível a partir de x: (transitividade) relação de equivalência sobre o conjunto de vértices de G CC/EC/Mestrado/UFES

Componentes f-conexas • Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais. • Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo. CC/EC/Mestrado/UFES

Árvores • Uma árvore é um digrafo s-conexo sem circuitos ou ciclos no grafo não orientado associado a c b d CC/EC/Mestrado/UFES