Grafici di rette e funzioni lineari Daniela Valenti

Grafici di rette e funzioni lineari Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

Piano dell’attività A. Riconoscere equazioni di rette e tracciarne il grafico A. Riconoscere e rappresentare graficamente fenomeni descritti da funzioni lineari Daniela Valenti, Treccani Scuola 2

Riconoscere l’equazione di una retta Esempi di equazioni che descrivono rette Sono tutte equazioni lineari: le lettere x e y compaiono al massimo al 1° grado. Esempi di equazioni che NON descrivono rette Sono tutte riconducibili a equazioni polinomiali che hanno grado maggiore di 1. Daniela Valenti, Treccani Scuola y non è data da una potenza di x 3

Tracciare il grafico di un’equazione lineare Primo esempio Equazione Per due punti passa una sola retta x=2 Un punto P percorre la retta solo se la sua ascissa x vale 2 A e B sono due punti che hanno ascissa 2 Daniela Valenti, Treccani Scuola 4

Tracciare il grafico di un’equazione lineare Secondo esempio Equazione y = 2 x Per due punti passa una sola retta Un punto P percorre la retta solo se la sua ordinata y vale 2 volte l’ascissa x O e A sono due punti che hanno x ed y legate dall’equazione y = 2 x Daniela Valenti, Treccani Scuola 5

Procedimento per tracciare il grafico di un’equazione lineare Funzione lineare y = mx + q Esempio • Con l’aiuto di una tabella si determinano due punti A e B con le coordinate legate dall’equazione. • Si indicano A e B sul piano cartesiano. • Con l’aiuto di un righello si congiungono A e B. Equazione lineare ax + by + c = 0 con b ≠ 0 Si esplicita y e si torna al caso precedente. Esempi o. Daniela Valenti, Treccani Scuola 6

Leggi lineari nella realtà La realtà suggerisce vari fenomeni che conducono a studiare leggi lineari. Ecco un esempio. Quanto costa l’abbonamento ad una palestra? Daniela Valenti, Treccani Scuola 7

Costo dell’abbonamento ad una palestra Secondo i primi calcoli l’abbonamento B ha il costo più basso. Ma il grafico mostra che l’abbonamento A diventa il meno costoso, quando vado in palestra per più di 3 8 Daniela Valenti, Treccani Scuola mesi.

Riflessioni su formule e grafici • Riconosco leggi lineari, anche quando le variabili sono indicate con lettere diverse da x e y. CA = 40 t + 50 CB = 60 t • Costo dell’abbonamento e tempo non possono essere numeri negativi, perciò, per tracciare il grafico, basta il 1° quadrante di un piano cartesiano. • Ho scelto l’unità di misura sui due assi cartesiani in modo da ottenere un grafico ben visibile. Daniela Valenti, Treccani Scuola Diversa unità di misura sui due assi 9

Leggi lineari e proporzionalità LEGGE LINEARE 1. La legge: è una funzione lineare del tipo CA = mt + q 2. Il grafico: i punti (t; CA) si trovano su una retta. Daniela Valenti, Treccani Scuola PROPORZIONALITÀ 1. La legge: è una funzione lineare del tipo CB = mt (con q = 0) 2. La tabella: se raddoppia t, raddoppia CB; 10 3. Il grafico: i punti (t; CB) si trovano

Proporzionalità e leggi lineari Una legge di proporzionalità diretta è una particolare legge lineare. LEGGI LINEARI Daniela Valenti, Treccani Scuola P R O P O R Z I O N A L I T À 11

Attività 2. Grafici di rette e funzioni lineari Ora dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone per un’attività su due tematiche: - lavorare sui grafici di rette; - risolvere problemi descritti da funzioni lineari. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 30 minuti di tempo Daniela Valenti, Treccani Scuola 12

Che cosa abbiamo ottenuto? I. Riconoscere funzioni lineari e loro grafici II. Risolvere problemi descritti da leggi lineari Daniela Valenti, Treccani Scuola 13

Riconoscere funzioni lineari Monomi di 2° grado Ricorda: un’equazione lineare è somma di monomi con x e y al massimo al 1° grado Daniela Valenti, Treccani Scuola 14

Riconoscere grafici di funzioni lineari Daniela Valenti, Treccani Scuola 15

Problemi sui grafici di funzioni lineari Daniela Valenti, Treccani Scuola 16

Risolvere problemi lineari 4. Un negozio ha venduto in un mese 90 tablet al prezzo di 100 euro; il mese successivo ha aumentato il prezzo di 20 euro, vendendo però soltanto 80 tablet. Ipotizza che il numero d di tablet acquistati dai consumatori in un mese diminuisca linearmente all’aumentare del prezzo p e risolvi i seguenti quesiti: a. rappresenta i dati e il grafico della legge; b. scrivi la legge che lega d a p; c. calcola il numero di tablet che si prevede di vendere al prezzo di 200 euro; a. Rappresento i punti A(100, 90) e B(120, d. calcola a quale prezzo si prevede di traccio non vendere alcun tablet. 80); poi il segmento di retta AB nel Daniela Valenti, Treccani Scuola I quadrante, dato che d e p non possono essere negativi. b. Scrivo l’equazione della retta per i due punti A e B. pendenza m = (80 – 90) : (120 – 100) = – 0, 5 d – 90 = – 0, 5(p – 100) d = – 0, 5 p + 140 c. Calcolo d corrispondente a p = 200 d = – 0, 5 � 200 + 140 = 40 d. Calcolo p corrispondente a d = 0 17 0 = – 0, 5 p + 140 p = 140 : 0, 5 = 280

Risolvere problemi lineari 5. La massa M dei rifiuti in una discarica aumenta linearmente al passare del tempo t (in ore); ad un certo istante la massa è di 30 kg e 2 ore dopo è 60 kg. Risolvi i seguenti quesiti: a. rappresenta i dati e il grafico della legge; b. scrivi la legge che lega M a t; c. calcola la massa di rifiuti dopo 4 ore; d. calcola quanto tempo occorre per avere una massa di 180 kg. b. Legge lineare, cioè del tipo M = mt + q q = 30 pendenza m = (60 – 30) : 2 = 15 M = 15 t + 30 c. Calcolo la massa M dopo 4 ore M = 15 4 + 30 = 90 d. Calcolo il tempo t corrispondente a M = 180 = 15 t + 30 esplicito t = (180 – 30) : 15 = 10 Daniela Valenti, Treccani Scuola 18

Risolvere problemi lineari 6. La massa M dei rifiuti in una discarica aumenta proporzionalmente al tempo t (in ore) e, 2 ore dopo l’apertura della discarica, la massa è 60 kg. a. rappresenta i dati e il grafico della legge; b. scrivi la legge che lega M a t; c. calcola la massa di rifiuti dopo 4 ore; d. calcola quanto tempo occorre per avere una massa di 180 kg. . b. Legge di proporzionalità diretta, cioè del tipo M = mt pendenza m = 60 : 2 = 30 M = 30 t c. Valuto la massa M dopo 4 ore. M = 120 kg perché la massa raddoppia al raddoppiare del tempo. [M = 30 4 = 120] d. Valuto il tempo t corrispondente a M = 180 t = 6 ore perché la massa triplica al triplicare del tempo. [180 = 30 t da cui t = 180 : 30 = 6] Daniela Valenti, Treccani Scuola 19

Fenomeni lineari nella fisica I fenomeni regolati da leggi lineari sono molto numerosi e vari specialmente in fisica. Ecco qualche esempio. Nel moto rettilineo con velocità costante v la distanza percorsa s è legata al tempo t dalla legge lineare s = s 0 + vt Daniela Valenti, Treccani Scuola 20

Fenomeni lineari nella fisica I fenomeni regolati da leggi lineari sono molto numerosi e vari specialmente in fisica. Ecco qualche esempio. Nel moto rettilineo con accelerazione costante a la velocità istantanea v è legata al tempo t dalla legge lineare v = v 0 + at Daniela Valenti, Treccani Scuola 21

Fenomeni lineari nella fisica I fenomeni regolati da leggi lineari sono molto numerosi e vari specialmente in fisica. Ecco un ultimo esempio. La lunghezza L di una molla è legata al peso p, fissato ad un estremo, dalla legge lineare L = L 0 + kp Daniela Valenti, Treccani Scuola 22