Graficacin IA 7200 T Bases Matemticas Bases Matemticas
Graficación IA 7200 -T Bases Matemáticas
Bases Matemáticas • • • Vectores Producto interno Determinantes Producto vectorial Orientación de 3 puntos Polígonos Graficación • Punto en un triángulo/polígono/l ínea • Distancia/proyecció n entre punto y línea • Triangulación de polígonos 2
Vectores Concepto matemático de vector ≠ Java Vector. Los vectores no se alteran por translaciones a=b Graficación 3
Vectores c=a+b |a|=longitud de a 0=vector cero |0|=0 -a: |-a|=|a|, dir. op. ca: |ca|=c|a| Dirección de a si c>0 Opuesta si c<0 Graficación 4
Vectores i, j yk - vectores ortogonales unitarios Sistema derecho: rotación de i en la dirección de j corresponde a girar un tornillo derecho, así k tiene la dirección en que el tornillo avanza Graficación 5
Vectores Cualquier vector puede expresarse como: v=xi+yj+zk Se escribe: v=[x, y, z]=(x, y, z) Graficación 6
Producto Interno a b = |a| |b| Cos γ a b=0 Si a, b ≠ 0 otro caso i i=j j=k k=1 i j=j i=j k=k j=k i=i k=0 |a| = √(a a) Graficación 7
Producto Interno c(k u v) =ck(u v) (cu+kv) w = cu w+kv w u v=v u u u=0 solo si u=0 u = [u 1 u 2 u 3] y v = [v 1 v 2 v 3] u v = u 1 v 1+u 2 v 2+u 3 v 3 Graficación 8
Determinantes Graficación 9
Determinantes Graficación 10
Determinantes Donde Mij (menor), se obtiene de D borrando el renglón i y la columna j. Graficación 11
Determinantes - Propiedades Graficación 12
Determinantes - Propiedades Graficación 13
Determinantes - Aplicación Elegancia: Ecuación de línea que pasa por P 1(x 1, y 1) y P 2(x 2, y 2) Ecuación del plano que pasa por P 1(x 1, y 1, z 1), P 2(x 2, y 2, z 2) y P 3(x 3, y 3, z 3) Graficación 14
Determinantes - Aplicación Graficación 15
Determinantes - Aplicación Graficación 16
Producto Cruz v=a×b |v| = |a| |b| Sen γ Si a = cb, c escalar, v = 0 Graficación 17
Producto Cruz - Propiedades Graficación 18
Producto Cruz Graficación 19
Orientación de 3 Puntos ¿(A, B, C) giran con o contra el reloj? 1 -1 0 si son colineales Graficación 20
Orientación de 3 Puntos Definimos: • a = CA • b = CB Si podemos girar a <180° y llegar a b, es positiva Graficación 21
Orientación de 3 Puntos Si a y b terminan en (a 1, a 2, 0) y (b 1, b 2, 0), respectivamente Graficación 22
Orientación de 3 Puntos Solución 2 D: α ángulo entre a y x+ β ángulo entre b y x+ Respuesta: (β – α) < 180° Graficación 23
Polígonos Secuencia de puntos • n>=3 • sin intersección • vértices sucesivos no colineales Graficación Convexos: ángulos interiores < 180° Cóncavos: no convexos 24
Polígonos - Area |a×b| = área del paralelogramo formado por a y b 2 área del triángulo formado por a y b Válido solo si A, B, C van contra el reloj. Si no, tomar el valor absoluto. Graficación 25
Polígonos - Area En general, para cualquier polígono, cóncavo o convexo: Graficación 26
Punto dentro de un Triángulo P está dentro de ABC si la orientación de ABP, BCP y CAP es la misma que la de ABC Graficación 27
Punto dentro de un Polígono Trazar una semilínea: • True si el número de intersecciones es impar • False si el número de intersecciones es par Ignorar: • Horizontales • Máximos • Mínimos Graficación 28
Punto dentro de un Polígono Para ignorar horizontales, máximos y mínimos, incrementar intersecciones si el lado del vértice i al i+1 cumple con: Considerar el segmento AB solo si está a la derecha de P. ABP va contra el reloj. Graficación 29
Punto en una Línea Para saber si P está en la línea verificamos que P satisfaga la ecuación Si se trata de un segmento de línea AB: = Graficación { 30
Distancia de un Punto a una Línea Graficación 31
Distancia de un Punto a una Línea Si la ec. de la línea es Donde Entonces Donde Graficación 32
Distancia de un Punto a una Línea Graficación 33
Proyección de un Punto en una Línea Dados L y P (no en L), determinar la proyección, P’, de P en L. P’ tiene las siguientes propiedades: • P’ es el punto mas cercano a P en L • La long. de P P’, es la distancia de P a L • P P’ y L son perpendiculares Graficación 34
Proyección de un Punto en una Línea Vector unitario en dir. AB: La long. de AP’: Graficación 35
Proyección de un Punto en una Línea Graficación 36
Triangulación de Polígonos Dado un polígono almacenado en un vector de n puntos (ccw), se desea dividirlo en triángulos. El resultado se almacena en un vector de n-2 triángulos. Repetir n-2 veces: • Recorrer los vértices del polígono ccw. • Para cada tres vértices P, Q y R, donde Q es convexo • Cortar el triángulo PQR si no contiene ningún otro vértice Graficación 37
Triangulación de Polígonos Graficación 38
Triangulación de Polígonos Ver Myprog 15 Graficación 39
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