Graf lanjut GRAF LANJUT PERTEMUAN 12 oleh Tedy

Graf lanjut GRAF LANJUT PERTEMUAN 12 oleh : Tedy Setiadi tedyasni@gmail. com Teknik Informatika UAD 1

Graf lanjut TUJUAN : MHS MEMAHAMI REPRESENTASI SERTA BERBAGAI JENIS GRAF Pokok Bahasan � representasi graf � graf isomorfik � graf planar � graf euler � graf hamilton 2

Graf lanjut REPRESENTASI GRAF 3

Graf lanjut 4

Graf lanjut 5

Graf lanjut 6

Graf lanjut 7

Graf lanjut 8

Graf lanjut GRAF ISOMORFIK � Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang bersesuaian dengan matriks tersebut. 9

Graf lanjut � Jawaban: � Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri berbeda) isomorfik! 10

Graf lanjut GRAF ISOMORFIK 11

Graf lanjut 12

Graf lanjut 13

Graf lanjut 14

Graf lanjut 15

Graf lanjut LATIHAN � Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik? 16

Graf lanjut LATIHAN � Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik? 17

Graf lanjut LATIHAN � Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat 3 yang mempunyai 8 buah simpul 18

Graf lanjut GRAF PLANAR (PLANAR GRAPH) DAN GRAF BIDANG (PLANE GRAPH) � � � Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar, jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar. K 4 adalah graf planar: 19

Graf lanjut � K 5 adalah graf tidak planar: 20

Graf lanjut 21

Graf lanjut APLIKASI GRAF PLANAR 22

Graf lanjut APLIKASI GRAF PLANAR � Perancangan IC (Integrated Circuit) � Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan dapat menimbulkan interferensi arus listrik malfunction � Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar 23

Graf lanjut LATIHAN � Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan) 24

Graf lanjut � Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face). � Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar): 25

Graf lanjut � Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang: n–e+f=2 � (Rumus Euler) Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka 11 – 7 + 6 = 2. 26

Graf lanjut LATIHAN � Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk? 27

Graf lanjut JAWABAN: � Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 4 = 96. � Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2 jumlah sisi, sehingga jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48 � Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah. 28

Graf lanjut � Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku: e 3 n – 6 � Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler, � yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana � kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi. 29

Graf lanjut � Contoh: Pada K 4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab 6 3(4) – 6. Jadi, K 4 adalah graf planar. Pada graf K 5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab 10 3(5) – 6. Jadi, K 5 tidak planar K 4 K 5 K 3, 3 30

Graf lanjut 31

Graf lanjut 32

Graf lanjut 33

Graf lanjut 34

Graf lanjut 35

Graf lanjut 36

Graf lanjut 37

Graf lanjut LATIHAN � Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar. 38

JAWABAN: Graf lanjut Gambar (a) Graf Petersen (b) G 1 adalah upagraf dari G (c) G 2 homeomorfik dengan G 1 (d) G 2 isomorfik dengan K 3, 3 39

Graf lanjut PERSOALAN MENGGAMBAR DG PENSIL -LINTASAN EULER Gambar mana yang dpt diturunkan pada kertas tanpa mengangkat pensil? 40

Graf lanjut Jawab: kiri bisa yang kanan tidak 1 2 3 start 4 finish 6 5 41

Graf lanjut 42

Graf lanjut 43

Graf lanjut 44

Graf lanjut LATIHAN � Manakah di antara graf di bawah ini yang dapat dilukis tanpa mengangkat pensil sekalipun? 45

Graf lanjut LINTASAN DAN SIRKUIT HAMILTON 46

Graf lanjut 47

Graf lanjut 48

Graf lanjut 49

Graf lanjut 50

Graf lanjut 51

Graf lanjut LATIHAN � Gambar di bawah ini adalah denah lantai dasar sebuah gedung. Apakah dimungkinkan berjalan melalui setiap pintu di lantai itu hanya satu kali saja jika kita boleh mulai memasuki pintu yang mana saja? 52

Graf lanjut JAWABAN: � � Nyatakan ruangan sebagai simpul dan pintu antar ruangan sebagai sisi. Setiap pintu hanya boleh dilewati sekali (tidak harus kembali ke titik asal) melewati sisi tepat sekali lintasan Euler Di dalam graf tersebut ada 2 simpul berderajat ganjil (simpul 1 dan 6), selebihnya genap pasti ada lintasan Euler Kesimpulan: setiap pintu dapat dilewati sekali saja 53

Graf lanjut DAFTAR PUSTAKA Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied Discrete Structures for Computer Science, Science Research Associates, Inc. Toronti, 1985 � Kolman, Bernard, Robert C. Busby, Sharon Ross, Discrete Mathematical Structures, Prentice Hall, 1987 � Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi kedua, Penerbit Informatika Bandung, 2001 � Rosen, Kenneth H. , Discreete Mathematics and Its Application, The Random House Birkhauser Mathematics Series New. York, 1987 � 54

Graf lanjut WEB SITE � http: //syssci. atu. edu/math/faculty/finan/main 2. pdf � http: //www 1. cs. columbia. edu/~zeph/3203 s 04 /lectures. html � http: //www. informatika. org/~rinaldi/Matdis/ma tdis. htm 55