GONIOMETRICK FUNKCE V PRAVOHLM TROJHELNKU Kristna Zemkov Vclav

GONIOMETRICKÉ FUNKCE V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium, Prachatice, Zlatá stezka 137 Dostupné z Metodického portálu www. rvp. cz, ISSN: 1802 -4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. 1

Pravoúhlý trojúhelník n Co víš o pravoúhlém trojúhelníku? Pythagorova věta: trojúhelníku: Strany pravoúhlého Thaletova věta: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé. 2

Sinus ostrého úhlu n Pomocí funkce sinus se naučíme vypočítat jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku. n Nejprve se však musíme domluvit na pojmenování odvěsen trojúhelníku: 3

n Dokážeš úhlu ? určit protilehlou a přilehlou odvěsnu 4

n Dokážeš určit sin ? 5

n Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti trojúhelníku, ale na poměru stran. 6

n. K čemu využijeme sinus úhlu? Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; a = 5 cm, c = 10 cm. Vypočítej úhel . Řešení: Nejprve vypočítáme sin. POZOR, to ještě není velikost úhlu! Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme úhel. 7

n Příklad 1: Trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; c = 5 cm, b = 3 cm. Kolik měří úhel ? 8

stranu a. 2. Vypočítáme sin. 3. Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme úhel . 4. Velikost úhlu je tedy přibližně 53° 8‘. 9

1. Vypočítáme pomocí funkce sin velikost úhlu . 2. Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°. 3. Velikost úhlu je tedy přibližně 53° 8‘. 10

n Příklad 2: Zjisti bez tabulek či kalkulačky, jen s pomocí pravítka a úhloměru, velikost úhlu , jestliže sin =0, 65. Řešení: 1. Nejprve si musíme uvědomit, že kde 10 je přepona trojúhelníku a 6, 5 protilehlá odvěsna daného úhlu. , 11

2. Tento trojúhelník sestrojíme. Pomůže nám Thaletova věta. Úhel změříme. 4. Výsledek si ověříme v tabulkách nebo na kalkulačce. 3. 12

Kosinus ostrého úhlu 13

n Příklad 1: Zapiš sinus a kosinus úhlů a pomocí délek stran trojúhelníku DEF. 14

n Příklad 2: Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem = 35°, změř potřebné strany a urči s přesností na dvě desetinná místa sin a cos. Řešení: Narýsujeme pravoúhlý trojúhelník s přeponou dlouhou 10 cm. Poté změříme délku odvěsen. 15

Tangens a kotangens ostrého úhlu 16

n Příklad 1: Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen rýsováním a měřením, urči přibližnou velikost ostrého úhlu , jestliže platí. Řešení: 17

n Příklad 2: Řešení: 18

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi ostrého úhlu Podobně: 19

20

21

n Příklad 1: Vypočítej sin , tg a cotg , je-li cos = 0, 6. 22

Tabulka hodnot goniometrických funkcí 23

Literatura: [1] Herman, J. a kol. : Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií - Podobnost a funkce úhlu. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80 -7196 -206 -6. s. 67 -114 [2] Odvárko, O. : Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80 -7196 -203 -1. s. 20 -24 24