Gnay DOU efika AKMAN Emel GLGE B Grkem

Günay DOĞU Şefika AKMAN Emel GÖLGE B. Görkem ŞAHİN BÖLÜM: İlköğretim Matematik Öğretmenliği

İÇİNDEKİLER • • KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ : . . 3 A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA : . . . 3 B. GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA: . . 3 C. İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: . . . 4 D. TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: . . . . 5 Pascal Üçgeni: . . . . 7 FORMÜLLER. . . . . 8 Kaynakça. . . . . 9

KONU HAKKINDA GENEL BİLGİ: • Bir denklemin daha düşük dereceli ifadelerin çarpım şeklinde yazılmasıdır. Çarpanlara ayırma ; rasyonel ifadelerin sadeleşmesinde ve denklem çözümünde kullanılır. 8. sınıf müfredatına dahildir. Matematiğin zincirini oluşturacak olan bu konu işlemlerimizi daha basit hale getirmemizi sağlar.

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA • A(X). B(X)+A(X). C(X)=A(X). [B(X)+C(X) • Ortak çarpan parantezine almaktaki amaç terim sayısını bire düşer • ÖRNEKLER 1: • 1 -)ax+bx-cx ifadesini çarpanlara ayıralım! ax+bx-cx üç terimlisinde ortak çarpan x’tir. buna göre; ax+bxcx=x. (a+b-c) olur. • 2 -)a b c+a bc ifadesini çarpanlarına ayıralım! İfade üç terimlidir ve abc ortak çarpandır. O halde; a b c+a bc=abc(ab+bc+a c)dir. mektir. Böylece ifadelerde sadeleştirme kolaylıkla yapılabilir.

B. GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA • Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde guplara ayrılır ve her grupta ortak bi çarpan bulunmaya çalışılır. • ÖRNEKLER 2: • 1 -)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by) 4 • =x(a+b)+y(a+b) =(a+b). (x+y) • 2 -)x-ax+2 x-2 a=(x-ax)+(2 x-2 a) =x(x-a)+2(x-a) =(x-1). (a-1) 3 -)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1) =a(x-1)1(x-1) =(x-1). (a-1)

C. İKİ KARE FARKI OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: • a 2 -b 2=(a-b). (a+b) • ÖRNEKLER 3 : • 1 -)4 x - 9=(2 x-3)(2 x+3) 2 x – 3 • 2 -)(2 a-3) - (a-2)= =(2 a-3) – (a-2) = • [(2 a-3)-(a-2)]. [(2 a-3)+(a-2)] =(2 a-3 a+2). (2 a-3+a-2) =(a-1). (3 a-5)

D. TAM KARE OLAN İFADELERİN ÇARPANLARA AYRILMASI: • (a+b)2=a 2+2 ab+b 2 • (a-b)2=a 2 -2 ab+b 2 • Tam kare üç terimli ifadelerde, iki terimin kare kökleri çarpımının iki katı, üçüncü(ortadaki) terimi vermektedir. • ÖRNEKLER 4 : • 1 -)x 2+4 x+4 ifadesi tam kare midir? x 2 + 4 x +4=(x+2)2 • x 2 • 2. x. 2=4 x (ortadaki terim) o halde x 2+4 x+4 tam karedir • 2 -)2000 -4000. 1999+1999 işleminin sonucu kaçtır? 2000 1999 2. 2000. 1999=4000. 1999 olduğuna göre 2000 -4000. 1999+1999=(2000 -1999) =1 olur.

E. ÜÇ TERİMLİYİ ÇARPANLARA AYIRMA: • x+bx+c • şeklindeki bir üç terimli çarpanlarına ayrılırken, çarpımları c(sabit terim), toplamları b(x in katsayısı) olan iki sayı aranır. • ÖRNEKLER 5 : • 1 -)x+y+4 x-6 y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir? x+y+4 x-6 y+19 =(x+4 x+4)+(y-6 y+9)+6 =(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur çarpanlarına ayrılır.

ÖRNEKLER 5 • 1 -)x+y+4 x-6 y+19 ifadesinin en küçük değeri nedir? x+y+4 x-6 y+19 =(x+4 x+4)+(y-6 y+9)+6 =(x+2)+(y-3)+6 (x+2) en az 0 (y-3) en az 0 olacağına göre (x+2)+(y-3)+6 nın en küçük değeri 6 olur çarpanlarına ayrılır.

Pascal Üçgeni: • Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.

Pascal üçgeninin bazı özellikleri: • • Kenarlar "1"den oluşur • ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir. • Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15, . . . ) • Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. • (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi) • • Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20, 21, 22, 23 , 24 , . . . • (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=24 ) • Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir. • ( Örnek: (a+b)3=1 a 3+3 ab 2+3 a 2 b+1 b 3)

ÖZET • • • FORMÜLLER 1. İki Kare Farkı - Toplamı I) a 2 – b 2 = (a – b) (a + b) II) a 2 + b 2 = (a + b)2 – 2 ab ya da a 2 + b 2 = (a – b)2 + 2 ab dir. 2. İki Küp Farkı - Toplamı I) a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ) II) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2 ) III) a 3 – b 3 = (a – b)3 + 3 ab (a – b) IV) a 3 + b 3 = (a + b)3 – 3 ab (a + b)

• 3. n. Dereceden Farkı - Toplamı • I) n bir sayma sayısı olmak üzere, xn – yn = (x – y) (xn – 1 + xn – 2 y + xn – 3 y 2 +. . . + xyn – 2 + yn – 1) dir. • II) n bir tek sayma sayısı olmak üzere, xn + yn = (x + y) (xn – 1 – xn – 2 y + xn – 3 y 2 –. . . – xyn – 2 + yn – 1) dir. • 4. Tam Kare İfadeler • I) (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2 • (a + b)2 = (a – b)2 + 4 ab • II)(a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 • (a – b)2 = (a + b)2 – 4 ab • III) (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

Kaynakça • FORMÜLLER. (2011, ARALIK 6). ARALIK 6, 2011 tarihinde http: //www. matematikcifatih. tr. gg/harfliifadeler. htm. adresinden alındı pascal üçgeni. (2011, aralık 6). aralık 6, 2011 tarihinde http: //www. frmtr. com/performansbilgileri/1020478 -pascal-ucgeni-8 -sinif. html. adresinden alındı