Gli insiemi N e Z I numeri naturali

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Definizione e caratteristiche I numeri naturali sono quelli che formano l’elenco illimitato e a tutti noto 0 1 2 3 4 5 6 7…. . L’insieme N si può rappresentare su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale sia fissato un verso di percorrenza. Scelto un segmento a di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine della semiretta lo riportiamo su di essa consecutivamente in modo da posizionare i numeri naturali sulla semiretta stessa: a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Ordinamento a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dalla rappresentazione grafica possiamo dedurre l’ordinamento di N: u. Diciamo che a è minore di b, e scriviamo a < b, se il punto corrispondente ad a viene prima del punto corrispondente a b sulla semiretta. u. Diciamo che a è maggiore di b, e scriviamo a > b, se il punto corrispondente ad a segue il punto corrispondente a b sulla semiretta. 2

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a + b è il numero naturale che si ottiene contando b unità verso destra a partire da a: 1 3+6=9 0 1 2 3 2 4 3 5 4 6 L’operazione introdotta si chiama ADDIZIONE. 5 7 6 8 9 a+b=c addendi somma u. L’addizione è un’operazione interna ad N perche la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale. u. L’addizione è commutativa, cioè a + b = b + a u. L’addizione è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c) 3

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a − b, se esiste, è il numero che addizionato a b dà a: 9− 4=5 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 a−b=c minuendo u. Il numero c può non esistere (la sottrazione non è un’operazione interna a N) 0 3 4 5 1 2 3 4 differenza sottraendo La sottrazione è possibile solo se a ≥ b 1 2 9 8 L’operazione introdotta si chiama SOTTRAZIONE. 5− 7=? 1 2 5 6 7 8 9 4

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni u. La sottrazione non è né commutativa né associativa u. La sottrazione gode della proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri a e b non cambia se ad entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso numero: a – b = (a + k) – (b + k) = (a − k) – (b − k) con a≥keb≥k 5

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Una moltiplicazione tra numeri naturali è un modo abbreviato di scrivere una somma di addendi tutti uguali tra loro: a b a+a+…+a sgnifica a b=c b volte fattori 1 volta 2 4=8 0 1 2 volte 2 3 3 volte 4 5 prodotto 4 volte 6 7 8 9 L’operazione di moltiplicazione ci porta alla definizione di multiplo: Si dice che un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b secondo n se a = b n. Per esempio: poiché 5 4 = 20 ma anche 20 è multiplo di 5 secondo 4 20 è multiplo di 4 secondo 5 6

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni La moltiplicazione gode delle stesse proprietà dell’addizione: uè commutativa, cioè a uè associativa, cioè (a b=b a b) c = a (b c) Vale inoltre la seguente proprietà: uproprietà distributiva rispetto all’addizione e, quando è possibile, alla sottrazione: ( a ± b) c = (a c) ± (b c) e c (a ± b) = c a ± c b ESEMPI (2 + 5) 4 = (2 4) + (5 4) = 8 + 20 = 28 6 (8 – 5) = 6 8 – 6 5 = 48 – 30 = 18 7

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Dati due numeri naturali a e b, con b ≠ 0, il numero c = a : b, se esiste, è il numero che, moltiplicato per b, è uguale ad a: b=c L’operazione definita si chiama DIVISIONE. se e solo se c b=a a: b=c dividendo Il numero c può non esistere, per esempio: 15 : 4 = ? quoziente divisore Perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 4, dà come prodotto 15. L’esistenza di c è garantita solo se a è multiplo di b, da cui deriva che la divisione non è un’operazione interna a N. 8

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni La divisione non è né commutativa, né associativa. La divisione gode delle seguenti proprietà: uproprietà invariantiva: il quoziente tra due numeri a e b non cambia se entrambi vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero non nullo. a : b = (a k) : (b k) Per esempio: 12 : 4 = (12 5) : (4 5) = 60 : 20 = 3 a : b = (a : h) : (b : h) Per esempio: 180 : 45 = (180 : 9) : (45 : 9) = 20 : 5 = 4 uproprietà distributiva (solo a sinistra) della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (se queste operazioni sono possibili in N): ( a ± b) : c = (a : c) ± (b : c) Per esempio: (15 + 20) : 5 = (15 : 5) + (20 : 5) = 3 + 4 = 7 (27 – 12) : 3 = (27 : 3) – (12 : 3) = 9 – 4 = 5 La divisione non è però distributiva a destra, per esempio: 60 : (12 + 3) 60 : 15 = 4 non è uguale a (60 : 12) + (60 : 3) 5 + 20 = 25 9

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Qualunque siano i numeri naturali a e b, con b ≠ 0, si può dimostrare che esistono e sono unici due naturali q e r tali che: a=b q+r con 0≤r<b Il numero q si dice quoziente intero di a : b, il numero r è il resto di tale divisione. ESEMPI nella divisione 25 : 4, si ha che q = 6 e r = 1 perché 25 = 4 6 + 1 nella divisione 314 : 23, si ha che q = 13 e r = 15 perché 314 = 23 13 + 15 10

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Il numero 0 è l’elemento neutro dell’addizione, infatti: a+0=0+a=a Inoltre: a 0=0 a=0 Da quest’ultima proprietà segue la legge di annullamento del prodotto: Il prodotto di due numeri è zero se almeno uno di essi è uguale a zero. Il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione, infatti: a 1=1 a=a 11

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni • Insieme N dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4…} • Insieme No: No = {1, 2, 3, 4…} Operazioni Proprietà 12

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Operazioni Proprietà 13

Gli insiemi N e Z I numeri naturali La potenza Il prodotto di più numeri naturali uguali fra loro si abbrevia mediante il simbolo di potenza. Se a è un numero naturale e n è un numero naturale maggiore di 1, si pone a a a… a an = a n volte 1 se n > 1 00 non ha significato. se n = 1 se n = 0 e a ≠ 0 Proprietà delle potenze § a m an = am + n § a m : an = am − n esempio: 34 32 = 34 + 2 = 36 con m > n esempio: 34 : 32 = 34 – 2 = 32 § (am)n = am n esempio: (34)2 = 3 4 2 = 3 8 § (a b)n = an bn esempio: (2 3)4 = 24 34 § (a : b)n = an : bn esempio: (8 : 2)3 = 83 : 23 14

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Criteri di divisibilità Un numero è divisibile per: § 2 se termina per cifra pari (0 è ritenuto cifra pari) § 3 o 9 se lo è la somma delle due cifre § 5 se termina per 0 o per 5 § 4 o 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra, o termina con due zeri § 11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è divisibile per 11 o è zero. 15

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Numeri primi e primi tra loro Se un numero maggiore di 1 non ha altri divisori all’infuori di se stesso e dell’unità, si dice primo. Ci sono infiniti numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … ma ad oggi non si conosce una regola che li possa generare tutti. Un numero che non è primo si può scomporre in modo unico nel prodotto di fattori primi. Ad esempio: 288 = 25 32 Due numeri si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni all’infuori dell’unità. 16

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Il massimo comun divisore Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro massimo comun divisore il maggiore fra i divisori comuni. Per indicarlo si scrive M. C. D. (a, b) ESEMPIO I divisori di 40 sono 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Quindi M. C. D. (40, 36) = 4 I divisori di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Per determinare il M. C. D. tra due o più numeri si segue la regola: Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto dei soli fattori comuni, prendendoli una sola volta, con il minimo esponente. Seguendo l’esempio precedente: 40 = 23 5 36 = 22 32 Quindi M. C. D. (40, 36) = 22 = 4 17

Gli insiemi N e Z I numeri naturali Il minimo comune multiplo Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro minimo comune multiplo il più piccolo fra i multipli comuni. Per indicarlo si scrive m. c. m. (a, b). ESEMPIO I multipli di 15 sono 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, … I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … Quindi m. c. m. (15, 12) = 60 Per determinare il m. c. m. di due o più numeri si segue la regola: Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente. Seguendo l’esempio precedente: 15 = 3 5 12 = 22 3 Quindi m. c. m. (15, 12) = 22 3 5 = 60 18

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche Spesso nella vita quotidiana si utilizzano numeri preceduti da un segno – Ad esempio la temperatura di – 5° gradi indica che siamo 5 gradi sotto lo zero. Sulla retta orientata, partendo dall’origine, possiamo muoverci in senso opposto rispetto a quello indicato dalla freccia. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Possiamo cioè costruire la rappresentazione grafica dei numeri negativi. Ai numeri così costruiti si dà il nome di numeri interi o anche numeri interi relativi. I numeri che sono preceduti dal segno + si dicono positivi e si trovano a destra dello zero, quelli preceduti dal segno – si dicono negativi e si trovano a sinistra dello zero; il numero zero non è né positivo né negativo e si scrive senza alcun segno. − 4 − 3 − 2 − 1 0 +1 +2 +3 +4 19

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche L’insieme dei numeri relativi si indica con Z: Z = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Sottoinsiemi di Z: Insieme degli interi senza zero: Z 0 = {…, − 4, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi positivi: Z+ = {1, 2, 3, 4, …} Insieme degli interi positivi: Z− = {…, − 4, − 3, − 2, − 1} Nei numeri positivi il segno + può essere sottinteso 20

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Definizione e caratteristiche Alcune definizioni: § numeri concordi: numeri con lo stesso segno § numeri discordi: numeri con segni diversi § valore assoluto di un numero: numero stesso senza segno § numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto e segno diverso es. − 7, − 9 ; +3, +27 es. +2, − 3 ; − 2, +3 es. |− 7| = 7 ; |+7| = 7 es. +7 , − 7 21

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Ordinamento L’ordinamento dei numeri relativi corrisponde a quello dei punti associati sulla retta orientata dei numeri. − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 Quindi: § tra due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del negativo es. +7 > − 8 § lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo es. 0 > − 3 ; 0 < +2 § tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiore es. +7 > +5 perché |+7| >|+5| § tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minore es. − 2 > − 8 perché |− 2| = 2 < |− 8| = 8 22

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Addizione La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri attribuendo al risultato lo stesso segno degli addendi. ESEMPI (+5) + (+7) = + (5 + 7) = +12 (− 4) + (− 3) = − (4 + 3) = − 7 La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza fra i valori assoluti dei numeri (il maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore. ESEMPI (+12) + (− 8) = + (12 − 8) = +4 (− 26) + (+15) = − (26 − 15) = − 11 23

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Differenza e somma algebrica La differenza a – b di due numeri interi è il numero c che, addizionato a b, restituisce a; si calcola facendo la somma del primo con l’opposto del secondo. ESEMPIO (+5) − (+7) = (+5) + (− 7) = − 2 La sottrazione può sempre essere eseguita in Z e rappresenta l’operazione inversa dell’addizione. Poiché una sottrazione può sempre essere trasformata in un’addizione, si parla in generale di somma algebrica. Quindi l’espressione: (+2) − (+3) = (+2) + (− 3) si trasforma in +2 – 3 omettendo il segno di addizione e le parentesi 24

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Moltiplicazione, divisione e potenza Il prodotto di due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato il segno indicato nella seguente tabella: + − + + − − − + ESEMPI (+3) (+5) = +15 (− 3) (− 5) = +15 (+3) (− 5) = − 15 (− 3) (+5) = − 15 25

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi Moltiplicazione, divisione e potenza La divisione a : b tra due numeri si può eseguire solo se il valore assoluto di a è multiplo del valore assoluto di b. In questo caso il quoziente c = a : b è un numero intero che ha : § per modulo il quoziente dei moduli di a e b § segno negativo se a e b sono discordi § segno positivo se a e b sono concordi ESEMPI (+24) : (− 6) = − 4 (+24) : (+6) = +4 (+15) : (− 4) = non esiste in Z (− 24) : (+6) = − 4 (− 24) : (− 6) = +4 26

Gli insiemi N e Z I numeri interi relativi La potenza an con a Zen N viene definita come nell’insieme dei numeri naturali. § se a è un numero positivo, il valore della potenza è ancora positivo qualunque sia l’esponente: (+3)4 = +81 (+2)5 = +32 Il prodotto di due numeri positivi è sempre positivo § se a è un numero negativo, il segno della potenza dipende dall’esponente: • se n è pari si ha un numero positivo: (− 5)2 = +25 (− 2)4 = +16 • se n è dispari si ha un numero negativo: (− 2)5 = − 32 (− 3)3 = − 27 Il prodotto di un numero pari di numeri negativi è sempre positivo, il prodotto di un numero dispari di numeri negativi è sempre negativo. 27