GLI ANGOLI Prof ssa Carolina Sementa 1 Gli

GLI ANGOLI Prof. ssa Carolina Sementa 1

Gli ANGOLI Prendiamo DUE SEMIRETTE a e b che abbiano la stessa STESSA ORIGINE O, che non siano appartenenti alla stessa retta e che giacciano su uno STESSO PIANO. Avremo: Possiamo notare che le due semirette dividono il piano in due parti: una l'abbiamo colorata in ARANCIO e l'altra in MARRONE. Ognuna di queste due parti, nelle quali risulta diviso il piano, prende il nome di ANGOLO. Quindi possiamo dire che l'ANGOLO è la PARTE DI PIANO LIMITATA da DUE SEMIRETTE aventi la STESSA ORIGINE. 2

Le due SEMIRETTE a e b rappresentano i due LATI dell'angolo. L'ORIGINE delle due SEMIRETTE, O, è il VERTICE dell'angolo. La PARTE DI PIANO contenute nell'angolo è detta AMPIEZZA DELL'ANGOLO. Per indicare l'angolo che abbiamo disegnato si indica: prima la lettera a che indica una semiretta; poi la lettera O che indica il vertice. Il vertice viene contraddistinto da un accento circonflesso Ô; poi la lettera b che indica l'altra semiretta. Il nostro angolo si scriverà: aÔb. 3

In questo caso indicheremo l'angolo formato dalle due semirette in questo modo: la prima lettera indica un punto sulla prima semiretta, sarà dunque la lettera A; la seconda lettera O indica il vertice dell'angolo e lo indichiamo sempre con un accento circonflesso Ô; la terza lettera indica un punto sull'altra semiretta e sarà la lettera B. Il nostro angolo si scriverà: AÔB Quando non c'è nessuna possibilità di equivoco l'angolo può essere indicato anche solamente con la lettera che rappresenta il vertice, ovvero: Ô. 4

ANGOLI CONVESSI Nell'immagine sottostante abbiamo disegnato un angolo e lo abbiamo evidenziato con il colore ARANCIO. Ora disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo, ovvero i PROLUNGAMENTI di a e b e chiamiamo tali prolungamenti a' e b': 5

Osserviamo che le semirette a' e b' non sono contenute nell'angolo aÔb per questa ragione tale angolo si dice CONVESSO: Quindi, possiamo affermare che un ANGOLO si dice CONVESSO quando NON CONTIENE i PROLUNGAMENTI dei suoi LATI. Quando si parla genericamente di ANGOLO si intende un ANGOLO CONVESSO 6

ANGOLI CONCAVI Le due semirette a e b formano due angoli, uno evidenziato con il colore ARANCIO e, l'altro che evidenzieremo con colore MARRONE: Ora ci concentriamo su quest'ultimo angolo, quello indicato nella figura in MARRONE: Disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo, ovvero i PROLUNGAMENTI di a e b e chiamiamo tali prolungamenti a' e b': 7

Osserviamo che le semirette a' e b' sono contenute nell'angolo disegnato. Per questa ragione tale angolo si dice CONCAVO: Quindi possiamo affermare che, un ANGOLO si dice CONCAVO quando CONTIENE i PROLUNGAMENTI dei suoi LATI. Il nostro ANGOLO CONCAVO viene indicato così: aǑb; AǑB. 8

ANGOLO PIATTO, ANGOLO GIRO Disegniamo un ANGOLO i cui LATI siano due SEMIRETTE OPPOSTE: L'angolo così formato: aÔb prende il nome di ANGOLO PIATTO e misura 180°. Ora disegniamo un ANGOLO i cui LATI COINCIDONO L'angolo così formato: aÔb prende il nome di ANGOLO GIRO e misura 360°. Quindi possiamo dire che l'ANGOLO GIRO è DOPPIO dell'ANGOLO PIATTO o anche l'ANGOLO PIATTO è la META' dell'ANGOLO GIRO. 9

ANGOLI CONSECUTIVI e ANGOLI ADIACENTI Osserviamo l'immagine sottostante: Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O e che uno dei lati (il lato b) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (a e c) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (b). I due ANGOLI si dicono CONSECUTIVI. 10

Ora osserviamo quest'altra immagine: Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O, che uno dei lati (il lato e) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (d e f) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (e). Quindi i due ANGOLI sono CONSECUTIVI. Però notiamo anche i due lati non comuni (d e f) APPARTENGONO AD UNA STESSA RETTA. In questo caso i due ANGOLI si dicono ADIACENTI. 11

CONFRONTO di due ANGOLI Supponiamo di avere DUE ANGOLI: l'angolo aÔb; l'angolo a'Ô'b'. Ora vogliamo CONFRONTARE i due ANGOLI per vedere se essi sono uguali o, in caso contrario, quale dei due è maggiore rispetto all'altro. 12

Per CONFRONTARE i due angoli TRASPORTIAMO uno di essi in modo da far COINCIDERE i rispettivi VERTICI e UN LATO di ciascuno dei due angoli Nel nostro esempio TRASPORTIAMO l'angolo a'Ô'b' in modo tale che: il punto O' coincida con il punto O; il lato O'a' coincida con il lato Oa. A questo punto si possono verificare tre casi diversi: 1. Anche il lato O'b' e il lato Ob coincidono. In questo caso i due angoli coincidono perfettamente. Essi hanno la STESSA AMPIEZZA. Pertanto si dice che i due ANGOLI sono CONGRUENTI e si scrive: 13

2. Il lato O'b' e il lato Ob non coincidono. I due angoli NON SONO UGUALI. In particolare notiamo che il lato O'b' si trova all'esterno rispetto all'angolo aÔb. Questo significa che l'angolo a'Ô'b' ha un'ampiezza maggiore dell'angolo aÔb. Quindi possiamo scrivere: a'Ô'b' > aÔb. 3. Il lato O'b' e il lato Ob non coincidono. I due angoli NON SONO UGUALI. In particolare notiamo che il lato O'b' si trova all'interno rispetto all'angolo aÔb. Questo significa che l'angolo a'Ô'b' ha un'ampiezza minore dell'angolo aÔb. Quindi possiamo scrivere: a'Ô'b' < aÔb. 14

SOMMA di due ANGOLI Supponiamo di avere DUE ANGOLI: l'angolo aÔb; l'angolo cÔ'd. Ora vogliamo SOMMARE i due ANGOLI. Per prima cosa dobbiamo TRASPORTARLI uno di seguito all'altro in modo da renderli CONSECUTIVI. Ricordiamo che due angoli sono CONSECUTIV Iquando hanno lo stesso vertice O e uno dei lati è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune. Effettuiamo il trasporto e avremo: 15

La SOMMA dei due ANGOLI aÔb e cÔ'd è l'angolo aÔd: Quindi possiamo scrivere: aÔb + cÔ'd = aÔd. 16

In altre parole per SOMMARE due ANGOLI occorre: DISPORLI CONSECUTIVAMENTE uno all'altro. L'angolo che ha per LATI i lati NON COMUNI dei due angoli è la loro SOMMA. La SOMMA di due ANGOLI ADIACENTI è un ANGOLO PIATTO. La SOMMA di due ANGOLI PIATTI è un ANGOLO GIRO. 17

DIFFERENZA di due ANGOLI Supponiamo di avere DUE ANGOLI: l'angolo aÔb; l'angolo cÔ'd. Tali che aÔb > cÔ'd. Ora vogliamo SOTTRARRE dal primo angolo il secondo. 18

Per prima cosa dobbiamo TRASPORTARE il secondo angolo sul primo in maniera tale che il lato O'c coincida con il lato Oa e che i due angoli si trovino da una stessa parte rispetto a tale lato: La DIFFERENZA dei due ANGOLI aÔb e cÔ'd è l'angolo dÔb: Quindi possiamo scrivere: aÔb - cÔ'd = dÔb. 19

MULTIPLI e SOTTOMULTIPLI di un ANGOLO Disegniamo l'ANGOLO aÔb : Ora SOMMIAMO tra loro più angoli uguali ad aÔb, ad esempio sommiamo tra loro 3 angoli uguali ad aÔb. Avremo: aÔd è MULTIPLO di aÔb secondo il numero 3 e possiamo scrivere: aÔd = 3 aÔb che si legge a. Od è uguale a 3 volte a. Ob. 20

Allo stesso modo possiamo dire che aÔb è la 3° parte di aÔd. Quindi possiamo dire che aÔb è SOTTOMULTIPLO di aÔd secondo il numero 3 e possiamo scrivere: aÔb = 1/3 aÔd che si legge a. Ob è uguale a 1/3 di a. Od. 21

BISETTRICE di un ANGOLO Disegniamo su un foglio di carta l'angolo aÔb: Ora pieghiamo il foglio di carta in due parti in modo da sovrapporre il lato a al lato b: Riaprendo il foglio noteremo che si è formata una piega che equivale ad una semiretta passante per il vertice O e che divide l'angolo in due parti uguali (l'abbiamo indicata nell'immagine successiva con la lettera c). Tale semiretta prende il nome di BISETTRICE DELL'ANGOLO. Dunque la BISETTRICE DI UN ANGOLO è la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI. 22

ANGOLI OPPOSTI al VERTICE Disegniamo le semirette a e b che si incontrano nel punto O: Le due semirette formano l'angolo aÔb. Ora disegniamo i prolungamenti delle due semirette a e b e li chiamiamo a'b'. Le due semirette a' e b' formano l'angolo a'Ôb': 23

due ANGOLI aÔb e a'Ôb' si dicono ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE. Quindi due ANGOLI si dicono OPPOSTI AL VERTICE se i LATI DELL'UNO sono i PROLUNGAMENTI dei lati dell'altro. Due ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE sono UGUALI tra loro. 24

ANGOLO RETTO - ANGOLO ACUTO - ANGOLO OTTUSO ANGOLO GIRO misura 360°. La META' di un angolo giro è un ANGOLO PIATTO che misura 180°: La META' di un angolo piatto è un ANGOLO RETTO che misura 90°: 25

Un angolo MINORE dell'ANGOLO RETTO si dice ANGOLO ACUTO Un angolo MAGGIORE dell'ANGOLO RETTO si dice ANGOLO OTTUSO: 26

ANGOLI COMPLEMENTARI, SUPPLEMENTARI ed ESPLEMENTARI Consideriamo due angoli, l'angolo Alfa e l'angolo Beta: Ora sommiamo i due angoli e avremo: Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli dati è un ANGOLO RETTO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI COMPLEMENTARI 27

Consideriamo ora i seguenti angoli: Ora sommiamo i due angoli e avremo: Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è un ANGOLO PIATTO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI COMPLEMENTARI. 28

Infine consideriamo i seguenti angoli: Ora sommiamo i due angoli e avremo: Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è un ANGOLO GIRO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, per questa ragione, ANGOLI ESPLEMENTARI. 29

Ricapitolando: due ANGOLI si dicono COMPLEMENTARI se la loro SOMMA è un ANGOLO RETTO; due ANGOLI si dicono SUPPLEMENTARI se la loro SOMMA è un ANGOLO PIATTO; due ANGOLI si dicono ESPLEMENTARI se la loro SOMMA è un ANGOLO GIRO. 30

MISURA degli ANGOLI L'UNITA' DI MISURA scelta per gli ANGOLI è il GRADO I SOTTOMULTIPLI del grado sono: il PRIMO pari alla sessantesima parte del grado; il SECONDO pari alla sessantesima parte del primo. Quando disegniamo un ANGOLO per poterne misurare la sua AMPIEZZA possiamo usare un GONIOMETRO: 31

La parte del goniometro che noi abbiamo colorato di rosso è divisa in 180 parti uguali: essa corrisponde alla suddivisione di un angolo piatto in 180°. Per misurare l'ampiezza di un ANGOLO CONVESSO si procede nel modo seguente: 32

Si posiziona il goniometro in modo da far coincidere il punto O con il vertice V dell'angolo in maniera tale che il lato b coincida con il bordo dritto del goniometro (quello che noi abbiamo colorato di giallo). Sul bordo curvo del goniometro (quello che noi abbiamo colorato di rosso), nel punto in cui il lato a interseca il goniometro, andiamo a leggere la misura che indica l'ampiezza dell'angolo: 33

PROBLEMI con gli ANGOLI Esempio 1: Un angolo misura 30°: qual è l'ampiezza del suo complementare? Per risolvere un problema di questo tipo è sufficiente sapere che due ANGOLI si dicono COMPLEMENTARI se la loro SOMMA è un ANGOLO RETTO. Chiamiamo l'angolo di cui conosciamo l'ampiezza Alfa e chiamiamo il suo complementare Beta. Possiamo scrivere: Alfa + Beta = Angolo Retto. Ora noi sappiamo che l'angolo Alfa misura 30° e sappiamo anche l'angolo retto è un angolo che misura 90°. Quindi possiamo scrivere: 30° + Beta = 90°. Quindi se noi a 90° togliamo 30° sapremo quanto vale l'angolo Beta: 90° - 30° = 60° - ampiezza dell'angolo complementare. 34

Esempio 2: Un angolo misura 30°: qual è l'ampiezza del suo supplementare? Per risolvere un problema di questo tipo è sufficiente sapere che due. ANGOLI si dicono SUPPLEMENTARI se la loro SOMMA è un ANGOLO PIATTO. Chiamiamo l'angolo di cui conosciamo l'ampiezza Alfa e chiamiamo il suo supplementare Gamma. Possiamo scrivere: Alfa + Gamma = Angolo Piatto. Ora noi sappiamo che l'angolo Alfa misura 30° e sappiamo anche l'angolo piatto è un angolo che misura 180°. Quindi possiamo scrivere: 30° + Gamma = 180°. Quindi se noi a 180° togliamo 30° sapremo quanto vale l'angolo. Gamma: 180° - 30° = 150° - ampiezza dell'angolo supplementare. 35