Gioco ripetuto n Un gioco ripetuto un gioco

Gioco ripetuto n Un gioco ripetuto è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale si mette in atto un gioco a mosse simultanee almeno due volte, e ciò che succede negli stadi già giocati è osservabile nello stadio in cui si stà giocando. n Cercheremo di capire come si comportano i nostro attori in un gioco ripetuto. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 1

Giochi ripetuti a due stadi n Il dilemma del prigioniero a due stadi Ø Ø Ø Due giocatori giocano il seguente gioco simultaneo ripetendolo due volte Il risultato di quanto successo nel primo turno viene osservato dai giocatori prima di cominciare il secondo turno Il payoff dell’intero gioco è semplicemente la somma dei payoff dei due turni. Vale a dire, il fattore di sconto è 1. Player 2 L 2 Player 1 R 2 L 1 1 , 1 5 , 0 R 1 0 , 5 4 , 4 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 2

Albero del dilemma del prigioniero ripetuto 2 volte 1 R 1 L 1 2 2 L 2 1 1 L 2 1+1 L 1 R 1 2 2 R 2 L 2 1+5 1+0 L 2 R 2 1+0 1+5 2 R 2 L 2 1+4 5+1 0+1 2 5+5 5+0 0+5 1 1 L 1 R 2 L 2 R 2 2 2 R 2 L 2 5+4 0+1 5+1 L 1 R 2 L 2 0+5 0+0 5+5 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 2 R 1 2 R 2 L 2 R 2 0+4 4+1 5+4 4+1 4+5 4+0 4+5 4+4 3

Albero del gioco informale 1 R 1 L 1 2 2 L 2 1 (1, 1) L 1 2 L 2 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 1 (5, 0) L 1 R 1 2 L 2 R 2 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 1 (4, 4) L 1 (0, 5) L 1 R 1 2 R 2 L 2 1 R 2 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 R 2 0 5 4 4 4

Albero informale e backward induction 1 R 1 L 1 2 2 L 2 1 (2, 2) L 1 L 2 1 1 L 1 2 R 2 L 2 5 0 0 5 1 (6, 1) R 1 2 L 2 R 2 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 R 2 L 2 4 4 1 1 L 1 R 1 2 2 R 2 L 2 5 0 0 5 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 1 (5, 5) (1, 6) L 1 R 1 2 R 2 L 2 1 R 2 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 R 2 0 5 4 4 5

Dilemma del prigioniero a due stadi n L’SNE sarà (L 1 L 1 L 1, L 2 L 2 L 2 L 2) Il giocatore 1 gioca L 1 al primo turno, e gioca L 1 al secondo turno qualsiasi sia il risultato dello stadio 1. Il giocatore 2 gioca L 2 al primo turno 1, e gioca L 2 al secondo turno qualsiasi sia il risultato dello stadio 1. Player 2 L 2 Player 1 R 2 L 1 1 , 1 5 , 0 R 1 0 , 5 4 , 4 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 6

Giochi ripetuti in tempo finito n Un gioco ripetuto in tempo finito è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale un gioco (a mosse simultanee) è giocato un numero finito di volte, e i risultati dei turni già giocati sono osservati prima di passare al turno successivo. n Il gioco ripetuto in tempo finito ha un unico SNE se il singolo turno ha un unico NE (cioè il gioco a mosse simultanee). Quell’equilibrio di Nash è giocato ad ogni turno (o stadio) del gioco. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 7

Che succede se il singolo turno di gioco ha più di un equilibrio di Nash ? Ø Due giocatori ripetono 2 volte il gioco illustrato in diapositiva Ø Il risultato del primo turno è osservato prima di cominciare il secondo turno Ø I payoff del gioco sono pari alla somma dei payoff dei due turni di gioco cioè il fattore di sconto è unitario. Ø Domanda: possiamo trovare un SNE nel quale vengano giocati M 1, M 2? Oppure, idue giocatori possono cooperare in un SNE? Player 2 L 2 Player 1 M 2 R 2 L 1 1 , 1 5 , 0 0 , 0 M 1 0 , 5 4 , 4 0 , 0 R 1 0 , 0 3 , 3 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 8

Albero del gioco informale 1 L 1 M 1 2 L 2 (1, 1) 2 M 2 (5, 0) (1, 1) R 2 (0, 0) M 2 (5, 0) R 2 (0, 0) 2 L 2 M 2 (0, 5) (4, 4) 1 R 2 R 1 2 L 2 (0, 5) M 2 (4, 4) L 2 (0, 0) M 1 L 1 2 L 2 R 1 R 2 L 2 (0, 0) Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte M 2 (0, 0) R 2 (3, 3) 2 M 2 (0, 0) R 2 (3, 3) 9

Albero del gioco informale e backward induction 1 L 1 M 1 2 L 2 (1, 1) + (1, 1) 2 M 2 (5, 0) (1, 1) R 2 (0, 0) (1, 1) L 2 (0, 5) (1, 1) M 2 (5, 0) R 2 (0, 0) 2 M 2 (4, 4) (3, 3) 1 L 1 2 L 2 R 1 R 2 (0, 0) (1, 1) M 1 (0, 5) M 2 (4, 4) M 2 (0, 0) (1, 1) R 1 2 L 2 R 2 L 2 (0, 0) Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte R 2 (3, 3) (1, 1) 2 M 2 (0, 0) R 2 (3, 3) 10

Gioco ripetuto a due stadi: n SNE: Ø Il giocatore 1 gioca M 1 allo stadio 1, e allo stadio 2, gioca R 1 se il risultato del primo turno è ( L 1, L 2 ), oppure L 1 se il risultato del primo turno non è ( L 1, L 2 ) Ø Il giocatore 2 gioca M 2 allo stadio 1, e allo stadio 2, gioca R 2 se il risultato del primo turno è ( L 1, L 2 ), oppure gioca L 2 se il risultato del primo turno non è ( L 1, L 2 ) Player 2 L 2 Player 1 M 2 R 2 L 1 1 , 1 5 , 0 0 , 0 M 1 0 , 5 4 , 4 0 , 0 R 1 0 , 0 3 , 3 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 11

Gioco ripetuto a due stadi n SNE: Ø Ø Allo stadio 1, il giocatore 1 gioca M 1, e il giocatore 2 gioca M 2. Allo stadio 2, Ø Ø Il giocatore 1 gioca R 1 se il risultato del primo stadio è ( M 1, M 2 ), oppure gioca L 1 se il risultato del primo stadio non è ( M 1 , M 2 ) Il giocatore 2 gioca R 2 se il risultato del primo stadio è ( M 1, M 2 ), oppure gioca L 2 se il risultato del primo stadio non è ( M 1 , M 2 ) I payoff del secondo stadio sono aggiunti a quello del primo. L 1 Player 2 L 2 M 2 R 2 2 , 2 6 , 1 1 , 1 M 1 1 , 6 7 , 7 1 , 1 R 1 1 , 1 4 , 4 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 12

Giochi ripetuti all’infinito n Un gioco ripetuto all’infinito è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale un gioco (a mosse simultanee) chiamato il gioco di turno viene giocato all’infinito, e i risultati di tutti gli stadi precedente vengono osservati prima di giocare lo stadio di riferimento. n Precisamente, il gioco a mosse simultanee viene giocato negli stadi 1, 2, 3, . . . , t-1, t, t+1, . . . I risultati di tutti gli t-1 stages precedenti vengono osservati prima di giocare lo stadio tesimo. n Ogni giocatore attualizza il proprio payoff di un fattore , dove 0< < 1. n Il payoff di un giocatore in un gioco ripetuto è il valore attuale della somma dei payoff di tutti gli stadi del gioco. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 13

Valore attuale Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 14

Giochi ripetuti all’infinito: esempio n Il gioco seguente viene ripetuto all’infinito n I risultati precedenti allo stadio da giocare sono osservabili n Il payoff di ogni giocatore è il valore attuale del payoff del singolo stadio in una serie infinita. Ø Domanda: quale è il SNE? Player 2 L 2 Player 1 R 2 L 1 1 , 1 5 , 0 R 1 0 , 5 4 , 4 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 15

Esempio: sottogioco 1 2 L 2 (1, 1) R 1 L 1 2 R 2 (5, 0) L 2 (0, 5) R 2 (4, 4) n Ogni sottogioco di un gioco ripetuto all’infinito è identico al gioco preso per intero. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 16

Esempio: strategia n Una strategia per un giocatore deve essere un piano completo. Può dipendere dalla storia del gioco (cioè da cosa è stato giocato nei vari stadi). n Una strategia per il giocatore i: gioca Li ad ogni stadio (o ad ognuno dei suoi insiemi informativi) n Un’altra strategia chiamata “trigger strategy” (o strategia di ritorsione o di minaccia) per il giocatore i: gioca Ri allo stadio 1, e al tesimo stadio, se il risultato di ognuno degli t-1 stadi precedenti è stato (R 1, R 2); altrimenti, gioca Li. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 17

Esempio: SNE perfetto n Controllate se esiste un SNE perfetto nel quale il giocatore i gioca Li ad ogni stadio (o ad ognuno dei suoi insiemi informativi). n Questo può essere fatto seguendo i due passaggi di seguito elencati: . n Passo 1: controllare se la combinazione delle strategie è un NE del gioco ripetuto all’infinito. Ø Ø Ø Se player 1 gioca L 1 ad ogni stadio, la risposta ottima per player 2 è giocare L 2 ad ogni stadio. Se player 2 gioca L 2 ad ogni stadio, la risposta ottima per player 1 è di giocare L 1 ad ogni stadio. Quindi, è un NE del gioco ripetuto all’infinito. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 18

Esempio: SNE perfetto n Passo 2: controllate che l’NE del gioco ripetuto all’infinito induca un NE in ogni sottogioco del gioco ripetuto all’infinito. Ricordate che ogni sottogioco del gioco ripetuto all’infinito è identico al gioco ripetuto all’infinito Ø Ovviamente, indurrà quindi un NE in ogni sottogioco Ø n Quindi, potremo parlare di SNE perfetto. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 19

Esempio: sottogioco 1 R 1 L 1 2 2 L 2 1 (1, 1) L 1 2 L 2 R 2 L 2 1 1 5 0 0 5 1 (5, 0) L 1 R 1 2 L 2 R 2 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 All’infinito Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 1 (4, 4) L 1 (0, 5) L 1 R 1 2 R 2 L 2 1 R 2 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 R 2 0 5 4 4 20

Strategie. Trigger (di ritorsione o minaccia) n La strategia trigger per il giocatore i: gioca Ri allo stadio 1, e allo stadio tesimo, se il risultato di tutti i t-1 stadi precedenti è (R 1, R 2) allora gioca Ri; altrimenti gioca Li. n Controllate se c’è un SNE perfetto nel quale ogni giocatore gioca la sua strategia di ritorsione. n Ciò può essere fatto in due passi: Ø Ø Passo 1: controllate se le trigger strategy sono un NE nel gioco ripetuto all’infinito Passo 2: se si, controllate che l’NE induca un NE in ogni sottogioco Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 21

Trigger strategy: passo 1 Stadio 1: (R 1, R 2) Stadio 2: (R 1, R 2) Stadio t-1: (R 1, R 2) Stadio t: (R 1, L 2) Stadio t+1: (L 1, L 2) Stadio t+2: (L 1, L 2) Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 22

Trigger strategy: passo 1 Stadio 1: (R 1, R 2) Stadio 2: (R 1, R 2) Stadio t-1: (R 1, R 2) Stadio t: (R 1, L 2) Stadio t+1: (L 1, L 2) Stadio t+2: (L 1, L 2) Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 23

Trigger strategy: passo 2 Stadio 1: (R 1, R 2) Stadio 2: (R 1, R 2) Stadio t-1: (R 1, R 2) Stadio t+1: (R 1, R 2) Stadio t+2: (R 1, R 2) n Passo 2: controllare se il NE induce un NE in ogni sottogioco del gioco ripetuto all’infinito. Ø Vi ricordo che ogni sottogioco del gioco ripetuto all’infinito è identico al gioco ripetuto all’infinito completo. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 24

Passo 2: sottogioco 1 R 1 L 1 2 2 L 2 1 (1, 1) L 1 2 L 2 R 2 L 2 1 1 5 0 0 5 1 (5, 0) L 1 R 1 2 L 2 R 2 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 0 5 All’infinito Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 1 (4, 4) L 1 (0, 5) L 1 R 1 2 R 2 L 2 1 R 2 R 1 2 2 R 2 L 2 4 4 1 1 R 2 L 2 5 0 R 2 0 5 4 4 25

Trigger strategy: continuazione passo 2 Ø Noi abbiamo due classi di sottogiochi: Sottogiochi che seguono una storia nella quale il risultato degli stadi precedenti sono tutti (R 1, R 2) Ø Sottogiochi che seguono una storia nella quale il risultato degli stadi precedenti NON sono tutti(R 1, R 2) Ø Ø L’equilibrio di Nash del gioco ripetuto all’infinito induce un NE nel quale ogni giocatore continua a giocare la sua trigger strategy per la prima classe di sottogiochi Ø L’equilibrio di Nash del gioco ripetuto all’infinito induce un NE nel quale si gioca (L 1, L 2) per sempre per la seconda classe di sottogiochi. Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 26

Riassunto n Giochi ripetuti nel tempo finito n Giochi ripetuti all’infinito n Prossimo argomento n Giochi ripetuti all’infinito n Giochi statici ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte 27