Giochiamo dazzardo Tommaso Boccali Simuliamo dei giochi n

Giochiamo d’azzardo…. Tommaso Boccali

Simuliamo dei giochi … n Simulazioni di giochi d’azzardo n Partiamo sul semplice: I dadi

Dadi n Stupido, si potrebbe fare a mano … Ma comunque lo facciamo! n Gioco scemo n n Punto 1 euro per giocare, se esce 5 ne guadagno 6

Cosa scopriamo? n Dopo ~10000 tentativi, la cassa vale 10104, ma io ho speso 10000 euro per giocare n Gioco sostanzialmente in pari

Roulette n Roulette: n Ci sono 37 caselle, con I numeri da 0 a 36 n Si può puntare sui numeri diversi da zero Se esci, posta per 36 n È giusto? n n Provare. .

Scopriamo che … n Per un numero sufficientemente alto di tentativi, lo scarto è -2. 7% (1/37 = 2. 7%) n Il casino vince in media il 2. 7% dei soldi che vengono giocati

Formalizziamo… n Speranza di vincita = Somma vinta in questo caso (rispetto alla somma puntata) Probabilità che questo avvenga

Esempi n n Dadi: punto che esca il 5 S = 1/6*0+1/6*0 +1/6*6+1/6*0 =1 n Il gioco è giusto, in media vinco quello che ho puntato e non di meno n Quindi è giusto pagare 1 per giocare a questo gioco Se avessi ottenuto 2, vorrebbe dire che dovrei pagare 2 euro per giocare, finendo in pari n

Lotto n Ambo: paga 250 volte, ma la probabilità di fare ambo è una su 89*90/2 = 4005 n Terno: paga 4250 volte, ma la probabilità è una su n Quindi … n Non giocate al lotto ….

Vi propongo un giochino … n Regola: n n n Voi pagate 1 (euro) per giocare e lanciate una moneta Se esce testa, perdete Se esce croce, il montepremi vale 1 tirate una moneta n n Se esce testa prendete 1 Se esce croce, il montepremi vale 2 tirate una moneta n n Se esce testa prendete 2 Se esce croce, il montepremi vale 4 tirate una moneta

Raddoppiate montepremi Testa? si no Ritirate montepremi

Domanda? n Il gioco è giusto? n Meglio ancora, quanto sarebbe giusto pagare per giocare a questo gioco? n Proviamo!!

Quanto vi viene? n . . . Boh n Provate a aumentare il numero di tentativi. . . n Io ho fatto un po’ di prove su computer POTENTI 10 n 1000 n n 1. 5 3. 7 n 100000 n n 3. 98 4. 7 n 10 milioni n 100 milioni n 1 miliardo n n 7. 56 5. 9 8. 2 10 miliardi n n 0. 6 9. 7 Ma quale è la risposta giusta? n Nota che il gioco è semplice, non mi aspettavo ci mettesse tanto a convergere (se lo ha fatto. . . )

Quanto vale la speranza? n S=1/2*0+1/4*1+1/8*2+1/16*4+. . . n S=0+1/4+1/4+ n S=+inf . . .

n Cosa diavolo significa? Secondo la nostra definizione, vorrebbe dire che per poter giocare converrebbe giocare qualunque cifra. . . n Cosa completamente contraria al senso comune. . n Idee? Ditemi voi. . . n

Altro esempio cretino n n Un tale vuole fare una scommessa con voi: Voi gli date 1000 euro, e poi lanciate un dado con un miliardo di facce, se esce 4400 lui vi dà un Milione di Miliardi di euro Il gioco è favorevole? S= 0*99999/100000+1000000*1/10 0000 = 1000 n n Molto favorevole. . . Però probilmente non accettate. . .

Dovreste esserci arrivati n La speranza matematica ha un senso solo nel limite del numero di tentativi che va a +inf n Cosa è successo nel gioco della moneta? Avete fatto 1000 lanci n n n n 500 volte avete perso 250 volte avete guadagnato 1 125 volte avete guadagnato 2. . Circa una volta avete guadagnato 256 Meno di una volta avete guadagnato 512. . . E così via. . .

Con un numero limitato di lanci. . . n S=1/2*0+1/4*1+1/8*2+1/16*4+. . . n La somma si ferma da qualche parte, perché il numero di lanci che io faccio non è sufficiente ad esplorare una certa parte dello spazio delle probabilità n Su di un singolo tentativo di 1000 lanci, è difficile che esplori le possibilità con probabilità di uscita minore di diciamo il 0. 1 volte n n n 1000*10 = 10000, 213 = 8192 Per cui la vincita media (su questi 1000) dovrebbe essere intorno a 0+1/4+1/4+1/4+1/4+1/4+1/4 = 3

Risposta finale. . . n Anche se il gioco è cretino, hanno importanza finita nel calcolo della speranza anche combinazioni con probabilità infinitesima n Sono perciò NON AFFIDABILI simulazioni di Monte. Carlo con meno di Infinito tentativi n NON sono affidabili simulazioni Monte. Carlo