Giochi statici o a mosse simultanee ad informazione

Giochi statici (o a mosse simultanee) ad informazione incompleta Introduzione ai Giochi Bayesiani statici Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 1

Sintesi dei giochi statici ad informazione incompleta n Introduzione ai giochi statici ad informazione incompleta n Rappresentazione in forma Normale (o forma strategica) dei giochi Bayesiani statici n Equilibrio di Nash Bayesiano n Aste Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 2

Giochi statici ad informazione COMPLETA n Un insieme di giocatori (almeno due) n Per ogni giocatore, un insieme di strategie n Payoffs ricevuti da ogni giocatore a seconda della combinazione di strategie giocate. n I tre elementi citati sono conoscenza comune fra tutti i giocatori. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 3

Giochi statici ad informazione INCOMPLETA n I Payoffs non sono più conoscenza comune n Informazione incompleta significa che Ø Almeno un giocatore è incerto sulla funzione di payoff di qualche altro giocatore. n I giochi statici ad informazione incompleta sono anche chiamati giochi statici Bayesiani Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 4

Dilemma del prigioniero ad informazione completa n Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un brutto crimine. Non ci sono però prove schiaccianti. n Ad entrambi i sospetti sono elencate le condizioni della loro prigionia: Ø Se nessuno dei due confessa sarrano accusati di un crimine minore e faranno un mese di carcere. Ø Se entrambi confessano saranno accusati del crimine e faranno sei mesi di carcere. Ø Se uno confessa (accusando l’altro) e l’altro nega, chi confessa va fuori libero e l’accusato farà 9 mesi di carcere. Prig. 2 Nega Prig. 1 Nega Confessa -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 5

Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta n Il Prigioniero 1 è sempre razionale (egoista). n Il prigioniero 2 può essere razionale (egoista) o altruista, a seconda del fatto che sia felice oppure triste. n Se è altruista allora preferisce negare e pensa che confessare (accusando l’altro) è equivalente (in termini morali, di coscienza) a fare “quattro mesi di carcere in più”. n Il prigioniero 1 non sa sicuramente se il prigioniero 2 è razionale o altruista, ma lui crede che il prigioniero 2 è razionale con probabilità 0. 8, e altruista con probabilità 0. 2. Payoffs se il prigioniero 2 è altruista Prig. 1 Nega Confessa Prig. 2 Nega Confessa -1 , -1 -9 , 0 , -9 -6 , -10 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte -4 6

Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta n Data la convinzione (beliefs) del prigioniero 1 sul prigioniero 2, quale strategia dovrebbe scegliere il prigioniero 1? n Quale strategia deve scegliere il prigioniero 2 nel caso in cui sia razionale o altruista? Payoffs se il prig. 2 è razionale Prig. 1 Nega Confessa Prig. 2 Nega -1 , -1 -9 , 0 0 , -9 -6 , -6 Payoffs se il prig. 2 è altruista Prig. 1 Confessa Nega Confessa Prig. 2 Nega Confessa -1 , -1 -9 , 0 , -9 -6 , -10 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte -4 7

Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta n Soluzione: Ø Il Prigioniero 1 sceglie di confessare, data la sua convinzione sul prigioniero 2 Ø Il Prigioniero 2 sceglie di confessare se è razionale, e di negare se è altruista n Questo può essere scritto come (Confessa, (Confessa se razionale, Nega se altruista)) n Confessa è la risposta ottima del prig. 1 alla scelta del prigioniero 2 (Confessa se razionale, Nega se altruista). n (Confessa se razionale, Nega se altruista) è la risposta ottima del prig. 2 alla scelta del prigioniero 1 Confessa n Questo è un Equilibrio di Nash chiamato Equilibrio di Nash Bayesiano (BNE) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 8

Duopolio di Cournot ad informazione completa n La rappresentazione in forma normale : Ø Ø Ø Insieme dei giocatori: Insieme delle strategie: { Firm 1, Firm 2} S 1=[0, +∞), S 2=[0, +∞) Funzione dei payoff: u 1(q 1, q 2)=q 1(a-(q 1+q 2)-c), u 2(q 1, q 2)=q 2(a-(q 1+q 2)-c) n Tutte queste informazioni sono conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 9

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta n Un prodotto omogeneo è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità da esse prodotte sono indicate con q 1 e q 2. n Le quantità vengono scelte simultaneamente. n Il prezzo di mkt. : P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q 1+q 2. n La funzione dei costi dell’impresa 1: C 1(q 1)=cq 1. n Tutto questo è conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 10

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta n I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i. e. la n n tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: Ø ALTO (H): funzione dei costi: C 2(q 2)=c. Hq 2. Ø Basso (L): funzione dei costi : C 2(q 2)=c. Lq 2. Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali. Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff. L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: Ø C 2(q 2)=c. Hq 2 con probabilità , e Ø C 2(q 2)=c. Lq 2 con probabilità 1–. Queste cose sono conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 11

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 12

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 13

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 14

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 15

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 16

Duopolio di Cournot ad informazione incompleta Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 17

Riassunto n Definizione di gioco statico ad informazione incompleta n Dilemma del prigioniero ad informazione incompleta n Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta n Prossimo argomento n Altri esempi n Equilibrio di Nash Bayesiano Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 18

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) n Un prodotto omogeneo è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità relative sono rispettivamente q 1 e q 2. n Le imprese scelgono le quantità simultaneamente. n Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q 1+q 2. n Queste caratteristiche del gioco sono di conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 19

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) n I costi marginali dell’impresa 2 dipendono da alcuni fattori (i. e. la n n tecnologia) che sono noti solo all’impresa 2. Il suo costo marginale potrebbe essere: Ø ALTO (H): funzione dei costi: C 2(q 2)=c. Hq 2. Ø Basso (L): funzione dei costi : C 2(q 2)=c. Lq 2. Prima di produrre, l’impresa 2 può osservare il suo fattore specifico e sapere esattamente quale sarà il suo livello di costi marginali. Invece, l’impresa 1 non può sapere quale sarà il livello dei costi marginali dell’impresa 2. Quindi, sarà anche “incerto” su quello che sarà il livello dei payoff. L’impresa 1 crede (beliefs) che la funzione dei costi dell’impresa 2 sarà: Ø C 2(q 2)=c. Hq 2 con probabilità , e Ø C 2(q 2)=c. Lq 2 con probabilità 1–. Queste cose sono conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 20

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) n Anche i costi marginali dell’impresa 1 dipendono da alcuni fattori indipendenti da quelli dell’impresa 2 che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo marginale può quindi essere Ø Alto (H): funzione dei costi: C 1(q 1)=c. Hq 1. Ø Basso (L): funzione dei costi: C 1(q 1)=c. Lq 1. n Prima di produrre, l’impresa 1 può osservare questi fattori e conoscere esattamente il livello del proprio costo marginale. n Invece, l’impresa 2 non conosce esattamente i costi dell’impresa 1. Quindi, è anche incerta sui payoff dell’impresa 1. n L’impresa 2 crede che la funzione dei costi dell’impresa 1 sarà Ø C 1(q 1)=c. Hq 1 con probabilità , e Ø C 1(q 1)=c. Lq 1 con probabilità 1–. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 21

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 22

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 23

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 24

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 25

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 26

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 27

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 28

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 29

Battaglia dei sessi n In posti separati, Chris e Pat devono scegliere cosa fare la sera (opera o combattimento). n Entrambi conoscono quanto segue: Ø Ø Ø Preferiscono passare la serata insieme. Chris preferisce l’opera. Pat preferisce il combattimento. Pat Opera Chris Prize Fight Opera 2 , 1 0 , 0 Prize Fight 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 30

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) n Adesso le preferenze di Pat dipendono dal fatto che sia o meno felice. n Se è felice allora le sue preferenze saranno le stesse. n Se è infelice allora preferisce starsene da solo e le sue preferenze sono quelle del gioco sottorappresentato. n Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris “believes” che Pat sia felice con probabilità 0. 5 e infelice con probabilità 0. 5 Pat Payoffs se Pat è infelice Opera Chris Prize Fight Opera 2 , 0 0 , 2 Prize Fight 0 , 1 1 , 0 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 31

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) n Come trovare una soluzione ? n Due “tipi” di Pat: felice e infelice Payoffs se Pat è felice con probabilità 0. 5 Chris Pat Opera Prize Fight Opera 2 , 1 0 , 0 Prize Fight 0 , 0 1 , 2 Payoffs se Pat è infelice con probabilità 0. 5 Chris Pat Opera Prize Fight Opera 2 , 0 0 , 2 Prize Fight 0 , 1 1 , 0 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 32

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) n Risposta ottima Ø Se Chris sceglie opera allora la risposta di Pat sarà: opera se è felice, e prize fight se è infelice Ø Supponiamo che Pat scelga opera se è felice, e prize fight se è infelice. Quale sarà la risposta ottima di Chris? Ø Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 2 se Pat è felice, o 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà allora di 2 0. 5+ 0 0. 5=1 Ø Se Chris sceglie prize fight allora lei otterà 0 se Pat è felice, o 1 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 0 0. 5+ 1 0. 5=0. 5 Ø Dato che 1>0. 5, la risposta ottima di Chris sarà opera Ø Un BNE: (opera, (opera se felice e prize fight se infelice)) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 33

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) n Risposta ottima Ø Ø Se Chris sceglie prize fight allora la risposta ottima di Pat sarà: prize fight se felice, e opera se infelice Supponiamo che Pat scelga prize fight se è felice, e opera se è infelice. Quale sarà la strategia ottima di Chris? Ø Ø Se Chris sceglie opera allora otterrà un payoff di 0 se Pat è felice, o 2 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà quindi di 0 0. 5+ 2 0. 5=1 Se Chris sceglie prize fight allora otterrà un payoff di 1 se Pat è felice, o di 0 se Pat è infelice. Il suo payoff atteso sarà di 1 0. 5+ 0 0. 5=0. 5 Dato che 1>0. 5, la risposta ottima di Chris sarà opera (prize fight, (prize fight se felice e opera se infelice)) NON è un BNE. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 34

Riassunto n Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione due) n Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione uno) n Prossimo argomento n Equilibrio di Nash Bayesiano Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 35

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) n Un prodotto omogeneo è prodotto solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate da q 1 e q 2. n La scelta delle quantità è simultanea. n Il prezzo di mercato è: P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q 1+q 2. n Tutto ciò è conoscenza comune Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 36

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) n I costi dell’impresa 2 dipendono da un fattore (e. g. la tecnologia) che solo l’impresa 2 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi: C 2(q 2)=c. Hq 2. Ø BASSO (L): funzione dei costi : C 2(q 2)=c. Lq 2. Ø n I costi dell’impresa 1 dipendono da un altro fattore (indipendente o dipendente) che solo l’impresa 1 conosce. Il suo costo può essere ALTO (H): funzione dei costi : C 1(q 1)=c. Hq 1. Ø BASSO (L): funzione dei costi : C 1(q 1)=c. Lq 1. Ø Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 37

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 38

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 39

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 40

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u 1(q 1, q 2(c. H); c. H) u 1(q 1, q 2(c. L); c. H) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 41

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u 1(q 1, q 2(c. H); c. L) u 1(q 1, q 2(c. L); c. L) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 42

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u 2(q 1(c. H), q 2; c. H) u 2(q 1(c. L), q 2; c. H) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 43

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) u 2(q 1(c. H), q 2; c. L) u 2(q 1(c. L), q 2; c. L) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 44

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 45

Modello del duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 46

Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 47

Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : payoffs Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 48

Rappresentazione dei giochi Bayesiani statici in forma normale : beliefs (probabilità) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 49

Strategia Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 50

Equilibrio di Nash Bayesiano: 2 -giocatori Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 51

Equilibrio di Nash Bayesiano: 2 -giocatori Nel senso di aspettative basate sui propri belief La risposta ottima del giocatore 2 se il suo tipo è t 2 j La risposta ottima del giocatore 1 se il suo tipo è t 1 i Nel senso di aspettative basate sui propri belief Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 52

Riassunto n Duopolio di Cournot ad informazione incompleta (versione tre) n Equilibrio di Nash Bayesiano n Prossimo argomento n Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) n Aste Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 53

Battaglia dei sessi n In posti separati, Chris e Pat devono scegliere se andare ad un opera oppure ad un incontro di boxe. n Entrambi sanno quanto segue: Ø Entrambi preferiscono passare la serata in compagnia reciproca. Ø Chris preferisce l’opera. Ø Pat preferisce la boxe. Pat Opera Chris Prize Fight Opera 2 , 1 0 , 0 Prize Fight 0 , 0 1 , 2 Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 54

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) n La preferenza di Pat dipende dal fatto che sia o meno n n n felice. Se è felice le preferenze sono le solite. Se è infelice allora preferisce passare la serata da solo. Chris non può sapere se Pat è felice o meno. Ma Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0. 5 e infelice con probabilità 0. 5 La preferenza di Chris dipende dal fatto che sia o meno felice. Se è felice le preferenze sono le solite. Se è infelice allora preferisce passare la serata da sola. Pat non può sapere se Chris è felice o meno. Ma Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3 e infelice con probabilità 1/3. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 55

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Chris è felice Pat è felice Chris Opera Fight Opera 2, 1 0, 0 Fight 0, 0 1, 2 Chris è infelice Pat è felice Chris Pat Opera Fight Opera 0, 1 2, 0 Fight 1, 0 0, 2 Chris è felice Pat è infelice Chris Opera Fight Opera 2, 0 0, 2 Fight 0, 1 1, 0 Chris è infelice Pat è infelice Chris Pat Opera Fight Opera 0, 0 2, 2 Fight 1, 1 0, 0 n Controllate se ((Opera se felice, Opera se infelice), (Opera se felice, Fight se infelice)) è un BNE Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 56

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 57

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 58

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 59

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 60

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Chris crede che Pat sia felice con probabilità 0. 5, infelice 0. 5 Pat (0. 5, 0. 5) Chris è felice Chris (O, O) (O, F) (F, O) (F, F) O 2 1 1 0 F 0 1/2 1 Chris è infelice Chris Pat (0. 5, 0. 5) (O, O) (O, F) (F, O) (F, F) O 0 1 1 2 F 1 1/2 0 Il payoff atteso di Chris giocando Fight se Chris è felice e Pat gioca (Opera se felice, Fight se infelice) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 61

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) Pat crede che Chris sia felice con probabilità 2/3, infelice 1/3 Pat è felice Chris (2/3, 1/3) Pat è infelice Pat O F (O, O) 1 0 (O, F) 2/3 (F, O) 1/3 4/3 (F, F) 0 2 Chris (2/3, 1/3) Pat O F (O, O) 0 2 (O, F) 1/3 4/3 (F, O) 2/3 (F, F) 1 0 Il payoff atteso da Pat giocando Opera se Pat è infelice e Chris gioca (Fight se felice, Fight se infelice) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 62

Battaglia dei sessi ad informazione incompleta (versione due) n Controllate se ((Fight se felice, Opera se infelice), (Fight se felice, Fight se infelice)) è un BNE. Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 63

Asta di primo prezzo in busta chiusa Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 64

Asta di primo prezzo in busta chiusa Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 65

Asta di primo prezzo in busta chiusa Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 66

Asta di primo prezzo in busta chiusa Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 67

Asta di primo prezzo in busta chiusa Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 68

Riassunto n Battaglia dei sessi con informazione incompleta (versione due) n Asta di primo prezzo in busta chiusa n Se in futuro dovessimo incontrarci di nuovo e vorreste parlare ancora di Teoria dei giochi con me parleremmo di: Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 69

Altri argomenti interessanti n Giochi dinamici ad informazione incompleta n Giochi di segnalazione (importanti per la selezione avversa, vedi i modelli di Spece sul mkt del lavoro) n Giochi di comunicazione n Giochi cooperativi (meno al centro dell’attenzione accademica negli ultimi 20 anni ma di nuovo tornati al centro del “focus” di ricerca) Teoria dei giochi - D'Orio - Terza parte 70