Giochi dinamici prima e seconda mossa Capitolo 10

Giochi dinamici: prima e seconda mossa Capitolo 10 - Giochi Dinamici 1

Introduzione Spesso le imprese competono in sequenza – un’impresa fa una mossa • • un nuovo prodotto una campagna pubblicitaria – la seconda impresa osserva questa mossa e poi risponde Questi sono giochi dinamici – possono creare un vantaggio della prima mossa – o possono un vantaggio della seconda mossa – possono anche consentire al leader di prevenire altri ingressi sul mercato Possono generare equilibri molto differenti dai giochi di scelta simultanea Capitolo 10 - Giochi Dinamici 2

Stackelberg Pensate prima in termini di Cournot Le imprese scelgono la quantità sequenzialmente – il leader sceglie la sua quantità per primo, in modo osservabile – il follower osserva e sceglie la propria quantità Il first mover ha un vantaggio – può anticipare le azioni del follower – può perciò “manipolare” il follower Affinché sia davvero così, il leader deve vincolarsi credibilmente alla propria scelta di output L’impegno strategico ha un valore importante Capitolo 10 - Giochi Dinamici 3

L’equilibrio di Stackelberg Assumete ci siano due imprese con beni identici Come nell’esempio con Cournot, la domanda è: P = A – BQ = A – B(q 1 + q 2) I costi marginali per ciascuna impresa sono c L’impresa 1 è leader e sceglie la quantità q 1 Così facendo può anticipare le azioni dell’impresa 2 Considerate l’impresa 2: la sua domanda residuale è P = (A – Bq 1) – Bq 2 e i suoi ricavi marginali sono perciò R’ 2 = (A - Bq 1) – 2 Bq 2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 4

L’equilibrio di Stackelberg (2) Uguagliate R 2’ = (A - Bq 1) – 2 Bq 2 C’ = c i ricavi marginali Questa è la funzione q 2* = (A - c)/2 B - q 1/2 ai costi marginali L’impresa 1 sa che questa 2 Dal precedente esempio sappiamo di reazione dell’impresa è la questo èdell’impresa l’output di monopolio. 1 funzione di reazione La che domanda 1 è Ma l’impresa dell’impresa 2 alle scelte Questo è un aspetto importante: sa quanto sarà q 2 P = (A - Bq 2) – Bq 1 L’impresa di output di 1 1 può il leader in Stackelberg sceglie lo stesso Poutput = (Adi- Bq 2*) – Bq 1 ma l’impresa 2 anticipare la reazione un monopolista, (A – c)/2 B P = (A – Bqdal 1/2 mercato dell’impresa 2 non- è(A-c)/2) tagliata fuori P = (A + c)/2 – Bq 1/2 Ricavi marginali impresa 1: R’ 1 = (A + c)/2 - Bq 1 (A + c)/2 – Bq 1 = c (A – c)/4 B S Uguagliate i ricavi marginali Risolvete per q 1 ai costi marginali (A – c)/2 R 2 (A – c)/B q 1* = (A – c)/2 q 2* = (A – c)4 B Capitolo 10 - Giochi Dinamici 5

L’equilibrio di Stackelberg (3) L’output aggregato è 3(A-c)/4 B q 2 (A-c)/B Il prezzo di equilibrio èLa leadership dà R 1 benefici (A+3 c)/4 Profitti impresa 1 (A-c)2/8 B al leader impresa 1, ma danneggia l’impresa follower 2 (A-c)/2 B Profitti impresa 2 (A-c)/3 B (A-c)2/16 B (A-c)/4 B Sappiamo che l’equilibrio di Cournot sia q 1 C = q 2 C = (A-c)/3 B La funzione di reazione dell’impresa 1 è “come” quella dell’impresa 2 Confrontate con l’equilibrio di Cournot C S Con Leadership i. R 2 consumatori traggono q 1 benefici, ma si riducono (A-c)/3 B (A-c)/2 B (A-c)/ B i profitti aggregati Prezzo in Cournot (A+c)/3 Profitti di ciascuna impresa (A-c)2/9 B Capitolo 10 - Giochi Dinamici 6

Stackelberg e l’impegno credibile E’ fondamentale che il leader si impegni in maniera credibile a produrre la propria scelta di output – senza tale impegno, l’impresa 2 ignorerebbe qualunque intento espresso dell’impresa 1 sulla produzione di (A – c)/2 B unità – l’unico equilibrio sarebbe l’equilibrio di Cournot Come impegnarsi in maniera credibile? – costruendosi una reputazione – investendo in capacità addizionale – immettendo sul mercato la quantità dichiarata Dato tale impegno, ciò che conta è la tempistica di scelta Ma essere first mover è sempre vantaggioso? Considerate la competizione sui prezzi Capitolo 10 - Giochi Dinamici 7

Stackelberg e la concorrenza di prezzo Con concorrenza sui prezzi la faccenda è molto diversa Il first-mover non ha alcun vantaggio: – supponete prodotti identici • • il first-mover si impegna a vendere ad un prezzo superiore a C’ il follower abbasserà leggermente i prezzi e prenderà l’intero mercato l’unico equilibrio è P = C’ identico al gioco simultaneo – ora supponete prodotti differenziati • • come nel modello spaziale assumete esistano due imprese come nel capitolo 9, ma ora l’impresa 1 può stabilire il prezzo per prima (vincolandosi a tale prezzo) conosciamo le funzioni di domanda delle due imprese e conosciamo la funzione di reazione dell’impresa 2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 8

Stackelberg e la concorrenza di prezzo (2) Domanda impresa 1 Domanda impresa 2 Funzione di reazione impresa 2 D 1(p 1, p 2) = N(p 2 – p 1 + t)/2 t D 2(p 1, p 2) = N(p 1 – p 2 + t)/2 t p*2 = (p 1 + c + t)/2 L’impresa 1 conosce la funzione di reazione dell’impresa 2 e perciò la domanda di 1 è D 1(p 1, p 2*) = N(p 2* – p 1 + t)/2 t = N(c +3 t – p 1)/4 t Profitti impresa 1 π1 = N(p 1 – c)(c + 3 t – p 1)/4 t Derivate rispetto a p 1 π1/ p 1 = N(c + 3 t – p 1 + c)/4 t = N(2 c + 3 t – 2 p 1)/4 t Risolvendo ottenete p 1* = c + 3 t/2 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 9

Stackelberg e la concorrenza di prezzo (3) p 1* = c + 3 t/2 Sostituite nella funzione di reazione dell’impresa 2 p 2* = (p 1* + c + t)/2 p 2* = c + 5 t/4 I prezzi sono maggiori che nel gioco simultaneo p* = c + t L’impresa 1 ha un prezzo maggiore rispetto all’impresa 2 e perciò ha anche una minor quota di mercato: c + 3 t/2 + txm = c + 5 t/4 + t(1 – xm) xm = 3/8 Profitti impresa 1: Profitti impresa 2: π1 = 18 Nt/32 π2 = 25 Nt/32 La competizione di prezzo avvantaggia il second-mover Capitolo 10 - Giochi Dinamici 10

Giochi dinamici e credibilità I giochi dinamici visti prima richiedono che le imprese si muovano in sequenza: – che possano impegnarsi a perseguire le proprie scelte • • ciò è ragionevole quando si tratta di quantità è molto meno scontato quando si tratta di prezzi – in assenza di un impegno credibile la soluzione dei giochi dinamici diventa assai differente • • il leader in Cournot può non produrre l’output dichiarato il first-mover in Bertrand può non mantenere il prezzo dichiarato Considerate un gioco di entrata in un mercato: l’entrata di concorrenti può essere prevenuta dal first-mover? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 11

Credibilità e predazione Prendete un semplice esempio – due imprese: Megasoft (incumbent) e Novasoft (entrante) – Novasoft sceglie per prima • entrare o rimaner fuori dal mercato di Megasoft – Poi sceglie Megasoft • ostacolare l’entrata o accettare La matrice dei pay-off è come segue: Capitolo 10 - Giochi Dinamici 12

Un esempio di predazione Qual è l’equilibrio di questo gioco? Matrice dei pay-off Ma (Entrare, Ostacolare) è credible? Megasoft Pare esistano due equilibri per questo gioco Entrare Ostacolare (Entrare, Ostacolare) Accettare non è un equilibrio (0, 0) (2, 2) Restare (1, 5) (Restare fuori, Accettare) (1, 5) Novasoft non è un equilibrio Capitolo 10 - Giochi Dinamici 13

Credibilità e predazione (2) Le opzioni elencate sono strategie e non azioni L’opzione di Megasoft di Ostacolare non è un’azione è una strategia – Megasoft ostacolerà l’entrata solo se Novasoft entra, ma altrimenti non agisce aggressivamente Analogamente Accettare è una strategia – definisce le azioni in relazione alla scelta strategica di Novasoft Le azioni implicite in una particolare strategia sono credibili? – La promessa di Ostacolare se Novasoft entra è plausibile? – Se non lo è, allora l’equilibrio associato è molto sospetto La rappresentazione in forma di matrice ignora il tempo – rappresentate il gioco nella sua forma estesa per mettere in evidenza la sequenza delle mosse Capitolo 10 - Giochi Dinamici 14

Ancora il nostro esempio Ostacolare viene eliminata E se Novasoft entra? (0, 0) Ostacolare Megasoft sta meglio accettando (2, 2) Entrare Accettare M 2 (2, 2) Novasoft N 1 Restare fuori Accettare Entrare, è l’unico equilibrio per questo gioco (1, 5) Novasoft sceglierà di entrare dato che Megasoft accetterà l’entrata Capitolo 10 - Giochi Dinamici 15

Il paradosso della catena di negozi E se Megasoft fosse presente in più di un mercato? – minacciare su un mercato potrebbe influenzare gli altri Ma emerge il paradosso della catena di negozi di Selten: – esiste una sequenza di 20 mercati – Megasoft sceglierà “ostacolare” nei primi mercati per prevenire l’entrata nei successivi mercati? No: questo è il paradosso • • Supponete Megasoft scelga “ostacolare” nei primi 19 mercati, sceglierà “ostacolare” anche per il ventesimo mercato? Con un solo mercato rimanente, siamo nella situazione di prima: “Entrare, Accettare” è l’unico equilibrio Ostacolare l’ingresso sul ventesimo mercato non aiuterà a prevenire l’entrata su altri mercati…Non ce ne sono altri!! Perciò, “Ostacolare” non può essere scelta per il ventesimo mercato Capitolo 10 - Giochi Dinamici 16

Il paradosso della catena di negozi (2) Ora considerate il 19° mercato – L’equilibrio sarà “Entrare, Accettare” – L’unico motivo per scegliere “Ostacolare” sul 19° mercato è di costruirsi una reputazione di impresa spietata per convincere i potenziali entranti del 20° mercato a non entrare – Ma Megasoft non sceglierà “Ostacolare” nel 20° mercato – Perciò “Entrare, Accettare” diventa l’unico equilibrio anche per questo mercato E il 18° mercato? – “Ostacolare” per dissuadere gli entranti del 19° e 20° mercato – Ma la minaccia di “Ostacolare” non è credibile – “Entrare, Accettare” è ancora l’unico equilibrio Andando a ritroso, osserviamo che Megasoft non ostacolerà l’entrata su alcun mercato Capitolo 10 - Giochi Dinamici 17

Esercizio 1 Si consideri un gioco di Stackelberg di concorrenza sulla quantità fra 2 imprese. L’impresa 1 è il leader, la 2 il follower. La domanda di mercato è P = 1000 -4 Q. Ciascuna impresa ha un costo unitario costante pari a 20. a) Trovate l’equilibrio di Nash b) Si supponga che il costo unitario produzione impresa 2 sia c<20. Quale valore dovrebbe avere c perché nell’equilibrio di Nash le 2 imprese abbiano la stessa quota di mercato? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 18

Esercizi (2) Risoluzione Esercizio 1 a) L’impresa 2 sceglie la sua quantità per massimizzare i profitti Ora l’impresa 1 sceglie l’output per massimizzare i propri profitti Capitolo 10 - Giochi Dinamici 19

Esercizi (3) Risoluzione Esercizio 1 b) Non esiste un c non negativo tale per cui leader e follower hanno le stesse quote di mercato. Per vedere il perché, considerate c = 0. In questo caso la quantità prodotta dal leader è 120, mentre la quantità del follower è inferiore a 120. Al crescere di c, la quota di mercato del leader cresce mentre quella del follower diminuisce. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 20

Esercizi (4) Esercizio 2 Cittadina di Tavullia, abitanti 1000 uniformemente distribuiti lungo la via centrale lunga 10 Km. Ogni cittadino acquista ogni giorno un frullato di frutta, usando uno scooter per spostarsi (andata e ritorno) con un costo di 0, 50 di benzina per Km. Gianni possiede il negozio dell’estremità occidentale e Oscar il negozio dell’estremitò orientale. Costo marginale 1 frullato è di 1€ per negozio. Inoltre ciascuno di essi paga una tassa di 250€ al giorno. a) Gianni fissa il suo prezzo P 1 per primo e poi Oscar fissa il suo a P 2. Dopo che i prezzi sono stati fissati, quali prezzi stabiliranno i 2 negozi? b) Quanti clienti servirà ciascun negozio e quali saranno i 2 profitti? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 21

Esercizi (5) Risoluzione Esercizio 2 a) Definiamo p 1 il prezzo praticato da Gianni e p 2 il prezzo praticato da Oscar. Sia x la posizione di un consumatore indifferente tra raggiungere Gianni o Oscar. Ne segue che Di conseguenza, la domanda affrontata da Gianni è Dunque, i profitti di Gianni sono dati da Capitolo 10 - Giochi Dinamici 22

Esercizi (6) Risoluzione Esercizio 2 Mentre i profitti di Oscar sono Dato che Oscar è il follower, per prima cosa massimizziamo π2 rispetto a p 2 per ricavare la funzione di reazione di Oscar. Ora, sostituiamo la funzione di reazione di Oscar nella funzione di profitto di Gianni e otteniamo Capitolo 10 - Giochi Dinamici 23

Esercizi (7) Risoluzione Esercizio 2 Massimizziamo ora π1 rispetto a p 1 Ora, dalla funzione di reazione di Oscar, otteniamo Capitolo 10 - Giochi Dinamici 24

Esercizi (8) Risoluzione Esercizio 2 b) Perciò, Gianni servirà una quota di mercato pari a Mentre Oscar avrà una quota di mercato pari a I profitti di Gianni sono 375(16 – 1) – 250 = 5375 I profitti di Oscar sono 625(13, 5 – 1) – 250 = 7562, 5 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 25

Esercizi (9) Esercizio 4 Una impresa ha 2 fornitori di acqua. Uno di essi è Norda che offre acqua limpida ma non effervescente. L’altro è Pellegrino che offre acqua effervescente ma con dei residui. Il settore marketing ha sintetizzato la seguente matrice dei profitti sulla base dei prezzi per un contenitore da 8 litri. a) Quale equilibrio di Nash se le 2 imprese stabiliscono il prezzo simultaneamente? b) Quale equilibrio se la Norda stabilisce il prezzo per prima e la Pellegrino risponde al meglio? c) Dimostrare che la scelta del prezzo per primo è uno svantaggio per la Norda Prezzo della Pellegrino 3 4 5 6 3 24, 24 30, 25 36, 20 42. 12 4 25, 30 32, 32 41, 30 48, 24 5 20, 36 30, 41 40, 40 50, 36 6 12, 42 24, 48 36, 50 48, 48 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 26

Esercizi (10) Risoluzione Esercizio 4 Capitolo 10 - Giochi Dinamici 27

Esercizi (11) Risoluzione Esercizio 4 a) In questo caso possiamo utilizzare la funzione di reazione della Pellegrino per trovare la scelta ottimale. Chiamiamo la funzione di reazione della Pellegrino P (___Scelta di Norda). P (___3) = 4 P (___4) = 4 P (___5) = 4 P (___6) = 5 dato che 25 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 1. dato che 32 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 2. dato che 41 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 3. dato che 50 è la prima cifra nelle parentesi più elevata della colonna 4. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 28

Esercizi (12) Risoluzione Esercizio 4 Ora considerate la funzione di reazione della Norda N (3___) = 4 N (4___) = 4 N (5___) = 4 N (6___) = 5 dato che 25 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. dato che 32 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. dato che 41 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. dato che 50 è la seconda cifra nelle parentesi più elevata della riga 1. L’equilibrio di Nash è ovviamente dove N (4___) = 4 e S (___4) = 4 e cioè il punto (4, 4). Capitolo 10 - Giochi Dinamici 29

Esercizi (13) Risoluzione Esercizio 4 b) Se Norda dovesse scegliere per prima e fosse consapevole del fatto che Pellegrino è second mover allora la funzione di Payoff di Norda dipende dalla funzione di reazione della Pellegrino. I payoff di Norda sono i seguenti Payoff. N(N=3) Payoff. N(N=4) Payoff. N(N=5) Payoff. N(N=6) = Payoff. N(P(___3)) = = Payoff. N quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30. = Payoff. N(P(___4)) = = Payoff. N quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 32. = Payoff. N(P(___5)) = = Payoff. N quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30. = Payoff. N(P(___6)) = = Payoff. N quando Pellegrino sceglie 5, ovvero 36. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 30

Esercizi (14) Risoluzione Esercizio 4 L’equilibrio è ora al punto (5, 6) dove Norda sceglie per prima 6. Entrambe le imprese stanno meglio in questo gioco perché, appena Norda sceglie 6 e non può tornare indietro, la miglior risposta della Pellegrino è 5. Se ora la Norda potesse cambiare scelta, allora tornerebbe indietro e passerebbe a 4, ma a questo punto la Pellegrino cambierebbe andando a 4 tornando così all’equilibrio di Cournot. c) Norda non ricava alcun beneficio dall’essere first mover. In un gioco sui prezzi, l’impresa che muove per prima è “un bersaglio fermo” per l’impresa che muove seconda. Entrambe stanno meglio che nella scelta simultanea, ma il second mover è quello che ricava il maggior beneficio. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 31

Esercizi (15) Esercizio 7 La Eos. Tech ha un monopolio per la produzione di attrezzi. La domanda è: a un prezzo di 10. 000€ al pezzo => 25. 000 unità a un prezzo di 600€ al pezzo => 30. 000 unità Gli unici costi sono i costi iniziali di produzione irrecuperabili di costruzione di un impianto. La Eos. Tech ha investito per portare la produzione a 25. 000 unità. a) Un potenziale concorrente di questa industria è in grado di appropriarsi del 50% del mercato investendo 10. 000€. Tale impresa entrerebbe nel mercato? Perché? b) Se la Eos. Tech potesse investire 5. 000€ per arrivare a 40. 000 unità, tale strategia sarebbe efficace e redditizia per scoraggiare l’entrata dell’altra impresa? Capitolo 10 - Giochi Dinamici 32

Esercizi (15) Risoluzione Esercizio 7 a) La funzione di domanda inversa è P = 3. 000 – 0, 08 Q Con C’ = 0 l’esito di monopolio per la Eos. Tech è P = € 1. 500 Q = 18. 750 Profitti = € 28. 125. 000. Interpretiamo l’affermazione che il concorrente può appropriarsi del 50% del mercato nel senso che può competere in un duopolio simmetrico sulle quantità. In questo caso, l’equilibrio post-entrata è P = € 1. 000 Q = 25. 000 Ciascuna impresa produce qi = 12. 500 unità e ottiene un risultato operativo pari a € 12. 500. 000. Dato che il costo di entrata è pari a € 10. 000, l’entrata è profittevole. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 33

Esercizi (15) Risoluzione Esercizio 7 b) I profitti della Eos. Tech scendono da € 28. 125. 000 a € 12. 500. 000, ossia subiscono una riduzione di € 15. 625. 000. Se spendendo € 5. 000 Eos. Tech potesse scoraggiare l’entrata della rivale ed evitare la perdita di € 15. 625. 000, sicuramente sarebbe un ottimo investimento. Tuttavia, non è affatto evidente che l’acquisto di capacità produttiva addizionale permetta di raggiungere questo risultato. La capacità attuale dell’impresa è 25. 000 che è già superiore a ciò di cui abbisogna. Capitolo 10 - Giochi Dinamici 34