Gestion de portefeuille 3 203 99 Albert Lee

Gestion de portefeuille 3 -203 -99 Albert Lee Chun Construction de portefeuilles: Markowitz et la frontière efficiente Séance 4 25 Sept 2008 0

Plan de la séance Une petite révision n Portefeuille optimal des N titres risqués - Le problème de Markowitz - La frontière efficiente - Le théorème des deux fonds n Portefeuille optimal des N titres risqués et 1 titre sans risque - Droite du marché des capitaux - Portefeuille de marché - Le théorème de séparation - Différents taux d’emprunt et de placement n Albert Lee Chun Portfolio Management 1

Une petite révision Albert Lee Chun Portfolio Management 2

Nous avons commencé par un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué Albert Lee Chun Portfolio Management 3

Décision de répartition du capital Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans l’actif risqué va dépendre de l’aversion au risque. w*< 1 = Prêteur w*> 1 = Emprunteur. E(r) E Emprunteur Rf Prêteur p = 22% Droite de répartition du capital (CAL) L’allocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction d’utilité de l’investisseur. Albert Lee Chun Portfolio Management 4

Maximiser l’utilité de l’investisseur La solution est: w* est l’allocation optimale. Albert Lee Chun Portfolio Management 5

Après ça, nous avons vu un univers avec deux titres risqués Albert Lee Chun Portfolio Management 6

Corrélation et risque f E(r) E g h j i k ρDE = +1. 00 D ρDE = + 0. 50 ρDE = -1. 00 Albert Lee Chun Portfolio Management 7

Le portefeuille à variance minimale (PVM) 1> > -1 =0 =1 S’il n’y pas de ventes à découvert, alors le PVM est égal à l’actif avec le minimum de variance*. *Avec des ventes à découvert, c’est possible d’avoir 0 variance. Albert Lee Chun Portfolio Management 8

Le portefeuille optimal CAL E(r) E P Le proportion de capital à investir dans le portefeuille D dépendra de l’aversion au risque A. P rf D Albert Lee Chun Portfolio Management 9

Maximisez l’utilité de l’investisseur La solution est: Albert Lee Chun Portfolio Management 10

Un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque Albert Lee Chun Portfolio Management 11

Le portefeuille optimal est le portefeuille tangent. E(r) CAL 3 Ce portefeuille risqué est optimal pour tous les investisseurs! CAL 2 CAL 1 E La solution optimale est le CAL qui maximise la pente! D Albert Lee Chun Portfolio Management 12

Les pondérations du portefeuille optimal Trouvez le CAL qui maximise la pente. La solution est: Albert Lee Chun Portfolio Management 13

Le portefeuille optimal r u e nt u r 1 p > m E w* E(r) E ur e t Prê *<1 w rf CAL P Le proportion de capital à investir dans le portefeuille risqué P dépendra de l’aversion au risque A. D Albert Lee Chun Portfolio Management 14

Maintenant, imaginez un univers avec une multitude de titres risqués Albert Lee Chun Portfolio Management 15

Harry Markowitz 1990 : Prix Nobel d’économie Pour avoir développé la théorie de la diversification efficiente des portefeuilles. The multidimensional problem of investing under conditions of uncertainty in a large number of assets, each with different characteristics, may be reduced to the issue of a trade-off between only two dimensions, namely the expected return and the variance of the return of the portfolio. Albert Lee Chun Portfolio Management 16

Frontière efficiente de Markowitz Frontière efficiente E µ* D σ* Albert Lee Chun Portfolio Management 17

Le problème de Markowitz I Soumis à la contrainte de: La somme de la pondération égale à 1 Le maximum de rendement avec la contrainte de la variance du portefeuille égalera le niveau de risque cible. Albert Lee Chun Portfolio Management 18

Le problème de Markowitz II Soumis à la contrainte de: La somme de la pondération égale à 1 Le minimum de variance avec la contrainte du rendement du portefeuille égalera le niveau de rendement cible. Albert Lee Chun Portfolio Management 19

Est-ce que le risque d’un seule titre est important? n n n Est-ce qu’un titre qui a un grand risque demande une prime de risque élevée? Le modèle de Markowitz démontre qu’un risque idiosyncrasique n’est pas important par rapport à la contribution de cet actif dans l’ensemble du portefeuille. Mais le modèle de Markowitz n’explique pas comment les rendements sont déterminés. Albert Lee Chun Portfolio Management 20

Citation de Markowitz So about five minutes into my defense, Friedman says, well Harry I’ve read this. I don’t find any mistakes in the math, but this is not a dissertation in economics, and we cannot give you a Ph. D in economics for a dissertation that is not in economics. He kept repeating that for the next hour and a half. My palms began to sweat. At one point he says, you have a problem. It’s not economics, it’s not mathematics, it’s not business administration, and Professor Marschak said, “It’s not literature”. So after about an hour and a half of that, they send me out to the hall, and about five minutes later Marschak came out and said congratulations Dr. Markowitz. Albert Lee Chun Portfolio Management 21

Le théorème des deux fonds Fait intéressant: N`importe quelle combinaison de 2 portfeuilles efficients générera la courbe de frontière efficiente! D C A Albert Lee Chun Portfolio Management B Chaque point de la frontière efficiente est une combinaison de portfeuilles efficients A et B, A et C, C et D, etc 22

Imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et 1 titre sans risque Albert Lee Chun Portfolio Management 23

Droite du marché des capitaux se i xim a m te. L n CM pe le l i u e f e ent t r Po tang M rf Albert Lee Chun la Droite du marché des capitaux E D Portfolio Management 24

Théorème de séparation de Tobin n n Dans un article de 1958, James Tobin a dit que si on a un portefeuille risqué, et que si on peut emprunter et prêter au même taux, la frontière efficiente est une combinaison de portefeuille de marché et d’un actif sans risque. Le théorème de séparation dit qu’on peut diviser le problème de choix du portefeuille optimal en 2 parties. Premièrement, on peut déterminer le portefeuille risqué de tangence. Ce portefeuille est optimal pour les investisseurs quelle que soit leur aversion au risque. C’est la décision d’investissement. Deuxièmement, la répartition du capital entre l’actif sans risque et le portefeuille de tangence est la décision de financement, laquelle dépend de l’attitude de l’investisseur par rapport au risque. Albert Lee Chun Portfolio Management 25

Portefeuille de marché Tobin a ensuite démontré que s’il y a un portefeuille tangent et un actif sans risque, qui permet d’emprunter et de prêter au même taux, le portefeuille de tangence équivaut au portefeuille de marché. Droite du marché des capitaux ille u e f te r Po de é h c ar m M rf Albert Lee Chun E D Portfolio Management 26

Théorème de séparation de Tobin r u e t n ru p m E Droite du marché des capitaux r eu t ê r P M rf Albert Lee Chun Portfolio Management Séparation de la décision d’investissement de la décision de financement. 27

Qui détient le portefeuille de marché? r u e t n ru p m E A M <A Droite du marché des capitaux M r u e t Prê =A A M A >A M rf Albert Lee Chun Portfolio Management 28

Remarquez qu’on a réduit la complexité de cet univers à 2 points Albert Lee Chun Portfolio Management 29

Seulement un taux de placement Le niveau d’aversion au risque minimum à partir duquel on veut investir au taux sans risque. r eu t ê r P ML r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 30

Frontière efficiente de e l l i u e rtf Le po peut être é march rte où ici o n’imp r eu t ê r P r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 31

Différents taux d’emprunt et de placement r Emprunteu r r. B P eu t ê r MB ML r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 32

Qui sont les prêteur et les emprunteurs? r Emprunteu MB A<A r r. B P eu t ê r MB ML A A> ML r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 33

Qui sont les prêteur et les emprunteurs? r Emprunteu MB A<A r r. B P eu t ê r MB ML A A> ML r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 34

Qui détient seulement un portefeuille risqué? r Emprunteu M A < B A AM < r r. B P eu t ê r L MB A<A MB ML A A> ML r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 35

Frontière efficiente r Emprunteu M A < B A AM < r r. B P eu t ê r L MB A<A MD ML A A> ML r. L Albert Lee Chun Portfolio Management 36

Ou est le portfeuille de marché? de e l l i u e rtf Le po peut être é march rte où ici o n’imp r. B rf Albert Lee Chun Portfolio Management 37

Pour la semaine prochaine La semaine prochaine on va - faire quelques exemples, à la fois numériques et dans Excel. - discuter de l'appendice A sur la diversification. - discuter de l’article dans recueil. - finir de parler du chapitre 7 et commencer à parler du modèle d’évaluation des actifs financiers. n Albert Lee Chun Portfolio Management 38

Le pouvoir de diversifier L’écart type de rendement Risque non systématique (idiosyncratique, diversifié) 90% des bénéfices de la diversification des actions obtenues après 12 -18 actions. Risque total L’`écart type de marché (risque systématique) Risque systématique Nombre d’actions dans le portefeuille Albert Lee Chun Portfolio Management 39